随机过程：第六章 平稳随机过程

1、第六章：平稳随机过程v严平稳过程的定义v宽平稳过程的定义v平稳过程的数字特征v平稳过程自相关函数的性质v时间平均和集合平均的概念v平稳过程遍历性定义v遍历性判定定理v遍历性应用举例严平稳过程的定义设X(t),tT是随机过程，如果对任意常数和正整数n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳过程或侠义平稳过程。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。宽平稳过程的定义设X(t),tT是随机过程，如果1. X(t),tT是二

2、阶矩过程；2. 对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；3. 对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)则称X(t),tT为广义平稳过程，简称为宽平稳过程。均值：mX(t)=EX(t);均方值： X(t)=EX2(t)；方差：DX(t)=EX2(t)-E(X(t)2= X(t)-mX2(t);自相关函数：RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)；协方差函数：Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)平稳过程的数字特征对于宽平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令=-t1，则F1(X1,t1)=F1(X1

3、,0)=F1(X1)因此宽平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。XXmdxxftm)()(122)()(XtXEtX常数)(tXCov若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。对于宽平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令=-t1，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= ，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; )随机过程X(t)的自相关函数)();,(),;,()(),(),(21212212121221XXRdxdxxxfx

4、xdxdxttxxfxxtXtXEttR平稳过程的自相关函数是时间的单变量函数。例题1：设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。例题2：设Xn，n=0, 1, 2, 是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0,DXn=2。试讨论随机序列的平稳性。例题3：设S(t)是一周期为T的函数， 在(0,T)上均匀分布，称X(t)=S(t+)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。例题4：X(t)只取+I和-I，且PX(t)=+I=PX(t)=-I=1/2，而正负号在(t,t+ )的变化次数N(t,t+)是随机的，且事件AK=N(t,t+)=k的概率为, 2 , 1 , 0,!|)|()(

5、|kekAPkk试讨论X(t)的平稳性。联合平稳过程)()(tYtXE设X(t),tT和Y(t),tT是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和 仅与有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 )()(tXtYE当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。设x(t),tT为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：1. 2. 3. 4. RX()是非负定的，即对任意实数t1,t2, ,tn及复数a1,a2, ,an，有5. 若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX()=RX(+T)；6. 若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|时，X

6、(t)与X(t+)相互独立，则平稳过程自相关函数的性质0)0(XR)()(XXRR)0(| )(|XXRRnjijijiXaattR1,0),(XXXmmR)(lim|收敛性概念收敛性概念对于概率空间(,F,P)上的随机序列Xn每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列Xn处处收敛，处处收敛，即满足XXnnlim称二阶矩随机序列Xn(e)以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，即1)()(lim:eXeXePnn或称Xn(e)几乎处处收敛于X(e)，及作XXean.称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给0，有0|lim2XXEnn记作XX

7、Pn设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，若有0|lim2XXEnn成立，则称Xn均方收敛于X，记作XXsmn.称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量X，若Xn相应的分布函数列Fn(x)，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有)()(limxFxFnn记作XXdna.em.sPd不收敛定理6.3设Xn,Yn,Zn都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，Cn为常数序列，a,b,c为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z， 则有1. 2. 3. 4. 5. 6. ccnnlimccmcilnnnlim. .UmUil.cUUcmi ln)(. .bYaX

8、bYaXmi lnn)(. . .limnnnmXilEXEXE). .)(. .(lim,mnmnmnYmi lmXi lEYXEYXE定理6.2设Xn为二阶矩随机序列，则Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在：lim,mnmnXXE定义6.6设有二阶矩过程X(t),tT，若对每一个tT，有0|)()(|lim20tXhtXEh则称X(t)在t点均方连续，记作若T中一切点都均方连续，则称Xt在T上均方连续。)()(. .0tXhtXmilh定理6.5二阶矩过程X(t)，tT在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。均方导数定义6.7设X(t),tT为二阶矩过程，

9、若存在另一个随机过程X(t)，满足0|)()()(|lim20tXhtXhtXEh则称X(t)在t点均方可微，记作htXhtXmi ldttdXtXh)()(. .)()(0定理6.6二阶矩过程X(t),tT在t点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。二阶矩过程的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶矩导数记作21212),(ttttRX均方积分定义6.8设X(t),tT为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=a,b，如果当n0时，Sn均方收敛于S，即0|lim20SSEnn则称f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，记作badttXtfS)()(定理

10、6.7f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为 babaXdtdtttRtftf212121),()()(存在。二阶矩过程X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在a,ba,b上可积。定理6.8设f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，则有1. 2. babadttXEtfdttXtfE)()()()(babadttXEdttXE)()( babaXbabadtdtttRtftfdttXtfdttXtfE212121222111),()()()()()()( babaXbadtdtttRdttXE21212),(|)(|定理6.9设X(t),tT为二阶矩过程在区间

11、a,b上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程Y(t), tT在区间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。badXtY)()(时间平均和集合平均概念)(tXEmXTTTdttXTtX)(21lim)(集合平均mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。时间平均是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。对于一个确定的样本常数TTTdttXTtx)(21lim)(时间平均集合平均大数定理设独立同分布的随机变量序列Xn,n=1,2, ，具有EXn=m,DXn=2,(n=1,2, )，则1|1|lim1NkkNmXNP随时间n的无限增长，随机过程的样本函数

12、按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能的状态。例题：随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常数，为(0,2)上均匀分布的随机变量，试分析X(t)集合平均和时间平均值。定义6.10设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。XTTTmdttXTmil)(21.)()()(21.XTTTRdttXtXTmil定义6.11如果均方连续的平稳过程X(t),tT的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。定理6.10设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为0|)()2|1 (21. .222TTXXTdmRTTmil证明定理6.11设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为0| )(|)()2|1 (21lim22121TTXiTd