(完整版)多元函数微积分复习试题

1、word完美格式多元函数微积分复习题一、单项选择题1 .函数f x,y在点xo,yo处连续是函数在该点可微分的（B ）（A）充分而不必要条件；（B）必要而不充分条件；（C）必要而且充分条件；（D）既不必要也不充分条件.2 .设函数f x,y在点xo,yo处连续是函数在该点可偏导的（D ）（A）充分而不必要条件；（B）必要而不充分条件；（C）必要而且充分条件；（D）既不必要也不充分条件.3 .函数f x, y在点xo,yo处偏导数存在是函数在该点可微分的（B ）.（A）充分而不必要条件；（B）必要而不充分条件；（C）必要而且充分条件；（D）既不必要也不充分条件.4 .对于二元函数z f （x,

2、y）,下列结论正确的是（C ）.A.若 lim A,则必有 lim f (x, y)x x0yy。x x)A且有 lim f (x, y) A;y y。B.若在（*。,丫。）处二和都存在, x y则在点（x。，y。）处z f（x, y）可微;精心整理学习帮手C.若在（x。, y。）处-z和-z存在且连续，则在点（x0,y0）处z f（x, y）可微; x y2222D.若，2和哇都存在，则.一z.x yx y5 .二元函数z f （x, y）在点（x。）处满足关系（C ）.A. 可微（指全微分存在） 可导（指偏导数存在） 连续;B. 可微可导连续；C. 可微可导,D. 可导连续,或可微连续，但

3、可导不一定连续 但可导不一定可微.i r r1,2, 1 ,贝U agb(D) 2一口 rr6 .向量 A3, 1, 2 , b(A) 3(B)(C)25.已知三点M (1, 2,(A) -1(C) 01), A (2, 1,(B) 1(D) 21), B (2, 1, 2),则 MA?AB =6.已知三点M (0, 1,(A).2;(C)2 ;1),A (2, 2,(D)-2；1), B (2, 1, 3)，则 | MA AB |= ( B(B)22;7 .设D为园域x2y22 ax(a0),化积分F(x,y)dD为二次积分的正确方法A.C.2a dx0ad0D.aa f(x, y)dy2a

4、cosB.2adxf(x, y)dyf ( cos ,sinD.2a cosf ( cos ,sin ) d8.设3dx1ln x0 f (x, y)dy ,改变积分次序,A.C.ln30 dyln30 dyf (x, y)dxB.9.二次积分A.10dyC.1dx0100 f(x, y)dx02 dD.ln3 3c dy y0ey3ln xdy10f(x, y)dxf (x, y)dxcos0 f(cossin可以写成f (x, y)dx10 f(x, y)dy是由曲面x2 y2B.D.2z及z10dy1dx0；1 y20 f (x, y)dxJx x20 f(x, y)dy2所围成的空间区

5、域，在柱面坐标系下将三重积分f (x, y, z)dxdydz表示为三次积分，I202 f ( cos , sin , z)dzsin , z) dz222_B. d d 2 f( coso00'22ddoo22d doo22 f ( cos ,T2f( cos ,0sin , z) dzsin , z) dz11.设L为x0y面内直线段，其方程为L : x a, c 则 P x, y dxL(A) a(B) c(C) 0(D) d12.设L为x0y面内直线段，其方程为L : y a, c xd ,则 P x, y dyL(A)a(C) 0(B)c(D) d13.设有级数Un ,则li

6、m Un 0是级数收敛的n n 1(A)充分条件；(B)充分必要条件;(C)既不充分也不必要条件；(D)必要条件；14.幕级数nxn的收径半径R =n 1(A) 3(B) 0(C) 2(D) 115.幕级数-xn的收敛半径Rn 1 n(A) 1(B) 0(C) 2(D) 316 .若幕级数anxn的收敛半径为n 0(A) R(B)(C)R(D)R,则anxn 2的收敛半径为n 0R2无法求得17.若 lim Un 0,则级数 Un()n,A.收敛且和为B.C. 发散D.收敛但和不一定为可能收敛也可能发散18.若 Un为正项级数，则（Bn 1A.若 limun 0, n则 Un收敛n 1B.若

7、Un收敛, n 1则Un2收敛n 1C.若Un2 ,则n 1Un也收敛1D.若 un发散, n 1则 lim un0n则该级数在点1处（A ）19.设幕级数Cnxn在点x 3处收敛,n 1A.绝对收敛B. 条件收敛 C.发散 D.敛散性不定n 1 n!（x 0）,则该级数（A.是发散级数B.C.是条件收敛级数D.是绝对收敛级数可能收敛也可能发散.、填空题1 .设 f(x,y) sin x (y 1)ln( x2 y2),则 fx(0,1) 1.2 .设 f x, y cosx y 1 ln x2y2 ,贝Uf)(0,1) =03 .二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是f x, y dx

8、dy f cos , sin d d DD .三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是f x, y, z dxdydz f cos , sin , z d d dz .柱面坐标下的体积元素_dv d d d z .设积分区域D : x2 y2 a2,且 dxdy 9 ,则a 3D7.设D由曲线 asina所围成，则dxdy 3 a2 48 .设积分区域D为1 x2 y2 4, 2dxdy 6D，一 19 .设f x, y在0 , 1上连续，如果° f x dx 3,i i贝 dx f x f y dy =9.0010 .设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则x y d

9、s 2 . L11 .设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，贝 x y ds . 0 L12 .等比级数 aqn (a 0)当 q| 1时，等比级数 aqn收敛. n 1 n 1, 1 .13 .当1时，p级数方是收敛的.n 1 n P14 .当B寸，级数 1n 14是绝对收敛的.1p n 1n15 .若 f(x, y) jxy ,则 fx(2,1) .-、 y2216 .若 f(x, y) xy3 (x 1)arccos -,则 fy(1,y) .3y22x17 .设 u zxy,贝U du xyxyz y In xdx xln zdy dz z18.设 z2ylnx,则 V xIn

10、 y(ln y 1)In xy19.积分2dx ex2dy的值等于2(1 e4),20.设D为园域x2y2 a2,若x2 y2 dxdy 8 ,则aD21.设 I2dxdydz,其中：x2 y2 z2 a2, z 0,则 I三、计算题1 .求过点 2,0,1 且与平面2x 5y 4z 8 0平行的平面方程.解：已知平面的法向量n= (2,-5, 4), 所求平面的方程为2(x +2 ) -5 (y -0 ) +4 (z -1 ) =0即 2 x -75y +4z = 02 .求经过两点M ( 1,2, 2)和M2 (3, 0, 1)的直线方程。解：M1M2 = (4, 2 ,1 )所求直线方程

11、为工421为法线向量的平面方程3 .求过点(0, -3, 2) 且以 n =( 3, -2, 1 )解：所求的平面方程为3x0 2 y 3 1 z 20即 3x 2y z 8 024.设z f xy, y ,其中f具有二阶连续偏导数，求 x y解：yf； x-y f1f y xfn f12y5.设 ln4x2y2arctan, 求处x dx解：方程两边对X求导得12、x22 2x 2yy y121xxy y2x由此得f xy, yf具有二阶连续偏阶导数，求2-2。 x解:yfu,7.设x z解:解:x2 zxyfuxyfux2y fuu方程xzz z x x2zz zln zIny两边同时对x

12、求导得f ax,by ,其中f具有连续的二阶偏导数，求afi一 afiabfi2y9.设 sin y ex xy2解：方程两边对0,求 dy.dxx同时求导得cosy y ex y2 2xyy 0x 2由此得yey2xy cosy10.计算二重积分 3xD所围成的闭区域。2y dxdy,其中D是由直线x0, y 0, x y 2解:3x 2y dxdy22 x22 2 x)dx 0 3x 2y dy 0 3xy y 0 dx22x0_ 2.2x 4 dxx2 -x3 4x3202 2y11.改变二次积分I ° dy 丫2 f x, ydx的积分次序。解：积分区域为D :0y2,y2x

13、 2yD也可表不为D:0x4,xy «247xI 0 dx x f x, y dy212 .计算二重积分 3x 2y dxdy,其中D是由直线x 0, y 0, y x 1D所围成的闭区域。 1012 0角牛： 3x 2y dxdy dx 3x 2y dy 3xy y xdxD1 4x205x 1 dx13.改变二次积分I1 ydy f00x, y dx的积分次序。解：积分区域为y 1, 0 x yD也可表示为 D: 0x1, x y 1y11dy 0 f x, y dx0 dx x f x, y dy14.计算二重积分3xD2y dxdy其中 D:0 x 1,0 y 1.解:3x

14、2y dxdyD1dx013x02y dy12 10 3xy y 0 dx13x01 dx15.改变二次积分1dyyf x, y dx的积分次序。解：积分区域为D：y 1,D也可表不为x 1,x, y dy16 .利用格林公式计算曲线积分I =4)dx (5y 3x6)dy,其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界解：由格林公式(5y 3xD x6) (2xyy 4)dxdy4 dxdy =D1217.利用格林公式计算曲线积分?L(y)dxxdy,其中L为正向的圆周a2(a. 0).解：由格林公式x ( y)dxdy d x y 2 dxdy 2 a218.利用格

15、林公式计算曲线积分I =口L(2x y 4)dx (5y 3x 6)dy,其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3) 的三角形正向边界.解：由格林公式I =一 (5y 3x 6) (2x y 4)dxdyd xy4 dxdy D1=4 13 32=18.19.判别级数n 1n2 sin n的收敛性。3解:limnun 1Unlimn1 2 sin 3n 1n2 sin n 3n由比值判别法知级数n2sin-收敛n 0320 .求幕级数n 1xn的收敛区问。解:nlimn2,收敛区间为 2,221.求幕级数xn的收敛区问n 1 n 3n解:limnan 1an1n 13n1 limn

16、 1n3n13,收敛区间为（-3, 3）四、解下列各题题1 .利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz, 其中是由曲面z x2 y2与平面z 4所围成的闭区域解:2,zdxdydzz dz2 643162 .利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz,其中闭区域为半球体x2z2 1, z1, 02zdxdydz 。 dz dz121 dz03.利用柱面坐标计算三重积分x2dxdydz,其中是由曲面z 9 x2y2与平面z 0所围成的闭区域解:3, 02 .y dxdydzdz2d32454.计算曲线积分y dxy2 dy ,其中L是在圆周yJ2x x2上由点。（0, 解：QL0)到点 A (1, 1

17、)的一段弧。P 1, y2x y dx12°(x x)Px2曲线积分与路径无关,(x1(2x)dx = - 10y2 dyx2 )dx5 .计算曲线积分 x2 yL点 O (0, 0)到点 A (2,解：Q x y2 ,dx0)OA2x y dx x(y=x ,y2 dyy2 dy,其中L是在圆周yJ2x x2上由的一段弧。x2 yQ _P x y1,曲线积分与路径无关,x2 y dxLx y2 dy2 ,2,x y dy x y dxOA2 2=° x dx ( y=0,0x2 )836.计算曲线积分x2 y dx x y dy ,其中L是在圆周y V2x x2上由L点A

18、 (2, 0)到点0 (0, 0)的一段弧。解：Q x y2 , P x2 yQ_Px y1,曲线积分与路径无关,222 .iy dx x y dy x y dx x y dyAO由2到0)2,x dx (y=0 , x8.7.判别级数n 231n 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛? ln n解:记4人则11Un Un 1 (n 2,3, n,)ln n ln n 1且 lim un lim 0n n ln nn由莱布尼兹定理，级数 1。收敛ln n又 工 1,而级数 1发散，由比较判别法可知 ln n nn 2 n级数，发散，从而级数n 2 ln n1 n 为条件收敛n 2 ln n8 .判别级数 1 n ln 1 -n 2n是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛?1ln 1 一51n解： 记 un ln 1 ， lim 1n n -n而1发散，所以m1 1发散n 1 nn 1n又unIn 1 n1In 1 Un 1n 1(n 1,2,3,0,1lim un lim In 1 一nnn由莱布尼兹定理知1 n1 ln 1 -收敛且为条件收敛. n 1n9.判别级数1 nln(1 ')是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛?n 2n解：(1)n1ln(1 4)ln(1 工)nn1ln(