(完整版)直线与圆专题讲义教师版

1、第9页共6页教学内容知识梳理axo byo c1 点到直线距离公式:点P(xo，yo)到直线l: ax by c 0的距离为：d2 .已知两条平行线直线11和12的一般式方程为11： Ax By C10, l2： Ax By C2 0,则li与12的距离为dC1C2,A2B23 .两条直线的位置关系:直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注11 : y k1x bik1 k2,b1 b2k1 k2111,12 有斜率12 : y k2x b24 .已知 11:A1x+B1y+C1=0, 12：A2x+B2y+C2=0,则 11，12 的充要条件是 A1A2+B1B2=0。5 .圆的方程：标准方

2、程：(x a)2 (y b)2 r2 ；x2 y2 r2。一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 表示圆A=C0 且 B=0 且 D2+E2 4AF>0;6 .圆的方程的求法：待定系数法；几何法。7 .点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)点与圆的位置关系：(d表示点到圆心的距离)d R点在圆上；dR 点在圆内；d R点在圆外。直线与圆的位置关系：(d表示圆心到直线的距离)d R相切；d R相交；d R 相离。圆与圆的位置关系：(d表示圆心'距，R,r表示两圆半径，且 R r)dRr相离；dRr 外切

3、；R r d R r 相交;dRr内切；0dRr 内含。8、直线与圆相交所得弦长|AB| 2 r2 d29 .过圆x，y2=r2上的点M(x 0,yO)的切线方程为：xOx+y0y=r2;10 .以 A(x1, y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是 (x x1)(x x2)+(y y1)(y y2)=0;二、课堂训练1 .(最值问题)已知实数x、y满足方程x2 y2 4x 1 0,(1)求Y的最大值和最小值； x(2)求x y的最大值和最小值；(3)求x2 y2的最大值和最小值。【小结】：方程求最值首推几何法，几何法应用的前提是要熟练的掌握所求表达式的几何含义。2 .(位置关系)设m,n

4、R,若直线(m 1)x (n 1)y 222,0与圆(x 1) (y 1)1相切，则m n的取值范围是()【小结】：直线与圆锥曲线相切条件一般情况下需要联立方程令A=而对于圆可特殊的表示为点到直线的距离。3 .(对称问题)圆 C-(x 3)2 (y 1)24关于直线x y 0对称白圆C2的方程为：(A. (x3)2(y1)24B.C. (x1)2(y3)24d.【思考】：圆关于直线的对称问题实际上是求(x 1)2 (y 3)2 4_ 22(x 3)(y 1)4圆心关于直线的对称点，那直线关于直线的对称问题?4 .(图像法)若曲线y x2与直线yx b始终有两个交点，则b的取值范围是5.(定点问

5、题) 圆 C: (x1)2+(y2)2=25,直线 l ： (2出 1)x+(/ 1)y=7饼 4 ( n R).(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求。C与直线l相交弦长的最小值.解析(1)将方程(2 m 1)x+ (1)y= 7m+ 4,变形为(2x + y 7)(x + y 4) =0.直线l恒过两直线2x+y 7=0和x+y 4=0的交点，2x+ y 7=0由得交点M(3,1).x+ y 4= 0又(3 1)2+(1 2)2=5<25, 点 M3,1)在圆C内，直线l与圆C恒有两个交点.(2)由圆的性质可知，当l工CM,弦长最短.又| CM=叱3 - 1)

6、2+(1 -2)2 =4,.弦长为 l = 2叱2| CM2= 2寸25- 5 = 445.【小结】：求直线与圆锥曲线相交弦长一般情况下需要联立方程计算I则一上，而对于圆可特殊的利用I =虱产一点进行计算。6.已知过点M 3, 3的直线l与圆x22y 4y 21 0相父于A, B两点,(1)若弦AB的长为2国,求直线l的方程;(2)设弦AB的中点为P,求动点P的轨迹方程.解：(1 )若直线l的斜率不存在，则l的方程为x 3 ,此时有y2 4y 12 0 ,弦|AB| |yA yBl 268,所以不合题意.故设直线l的方程为yy 3k 3将圆的方程写成标准式得y 2 2 25,所以圆心圆心0,

7、2到直线l的距离13k 11 ,因为弦心距、,k2 1半径、弦长的一半构成直角三角形，所以、而2当上25,即k 3 k2 10,所以k 3.所求直线l的方程为3x y 120.(2)设 P x,y ,圆心 O1 0, 2则OFAB .当 x 0且 x3时，ko1P kAB1,又 kABkMPy ( 3)X ( 3)则有y2x 0y-1,化简得x 3(1)3时，p点的坐标为0,2 , 0,3,2 , 3, 3都是方程(1)的解，所以弦AB2 3 中点P的轨迹方程为 x -22【切点弦万程： 过圆C:(x a) (y.22 .b) r外一点P(Xo, Yq)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,

8、则切点弦AB所在直线方程为：(Xq a)(x a) (y0 b)(y b) r2】7.过点C(6, 8)作圆x2+y2=25的切线于切点 A、B,那么C到两切点A、B连线的距离为()15A. 15B. 1C.D. 5【切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,即 pT|2 |PC| |PD| 】228.自动点P引圆x y 10的两条切线PA,PB,直线PA,PB的斜率分别为 兄*2。(1)若ki k2卜限1,求动点P的轨迹方程；(2)若点P在直线x y m上，且PA PB,求实数m的取值范围。R解析1(1)由题意设 P(x0,y0)在园外，切线

9、l：y y(o k(x x0)jkx09 y0 vTo, k 1(x。2 10)k2 2x0y0k y。2 10 0由k k2 k1k21得点P的轨迹方程为x y 2J5 0。P(x0,y0)在直线 x y m上，x° y m2 Arx又 PA PB , k1k21,-y02 1，即 x02 y02 20,将 x y m代入化简得x010222x02mx0 m 20 0又 0,-2a/10 m 2 Tic又 x02 y02 10恒成立， m 2或m2 <5m的取值范围是2/10, 2 <52V仁,2阮【小结】：求动点的轨迹方程是圆锥曲线部分的重要题型，解题思路为先假设动点

10、坐标再找相关关系式。三、综合强化1.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称,(1)求k、b的值；(2)若这时两圆的交点为 A、B,求/ AOB的度数.2 .若动圆C与圆(x-2) 2+y2=1外切，且和直线 x+1=0相切.求动圆圆心 C的轨迹E的方程.3 .已知圆C: x2+y2 2x+4y 4=0，是否存在斜率为1的直线l ,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点 若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.4 .设圆满足(1) y轴截圆所得弦长为 2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3 ： 1,在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l ：

11、x2y=0的距离最小的圆的方程.第 1 次课后作业学生姓名： 一、填空题(1)曲线y=|x-2|-3 与x轴转成的面积是 .(2)已知 M=(x,y)|x 2+y2=1,0<y w 1 , N=(x,y)|y=x+b,b C R,并且 MA Nw ,那么 b 的取值范围 是 .(3)圆(x3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y3=0对称的圆白方程是 .(4)直线x2y2k=0与2x 3yk=0的交点在圆 x2+y2=25上，贝U k的值是.二、选择题|(1)由曲线y=|x|与x2+y2=4所围成的图形的最小面积是()A. B.nC. D.44222(2)圆x y 1与直线xsin y 1 0的位置关系为()A、相交B、相切C、相离D、相切或相交22iA C 0,(3)已知二兀二次万程 Ax+Cy+Dx+Ey+F=Q则 99是万程表不圆的()D2 E2 4F 0A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件(4)圆x2+y2 2x+4y20=0截直线5