上海高考数学精品讲义等差数列与等比数列

1、 课题名称等差数列与等比数列一、等差数列及其前n项和1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，通常用表示，其符号语言为：（，为常数）2、等差数列的通项公式若等差数列的首项为，公差是，则其通项公式为注：已知等差数列的第项为，公差为，则其第项可以表示为：3、等差中项如果三个数，成等差数列，则叫做和的等差中项，且有4、等差数列的前项和公式：（一）等差数列的基本运算1等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解2等差数列前n项和公式的应用

2、方法等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数、首项和第项，则利用，该公式经常和等差数列的性质结合应用如果已知项数、首项和公差，则利用，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用例1、已知数列的首项，通项（，且、为常数），且，成等差数列求：（1）、的值；（2）数列的前n项和的公式（二）等差数列的判定相关链接1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，（为常数，），第二种是利用等差中项，即2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断（1）通项法：若数列的通项公式为n的一次函数，即，则是等差数列；（2）前n项和法：若数列的前n项和是的形式（A，B是常数），则是等差数列例

3、2、已知数列的前n项和为，且满足，（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为，若，则数列递增；若，则数列递减；若，则数列为常数列2、等差数列的简单性质：已知数列是等差数列，是其前n项和（1）若，则，特别：若，则（2）仍是等差数列，公差为kd；（3）数列也是等差数列；（4）；（5）若n为偶数，则；若n为奇数，则；（6）数列，也是等差数列，其中均为常数，是等差数列3、等差数列的最值：若是等差数列，求前n项和的最值时，（1）若，且满足，前n项和最大；（2）若，且满足，前n项和最小；（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数

4、最值问题，利用二次函数的图像或配方法求解，注意例3、已知在等差数列中，是它的前项和，（1）求；（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值例4、已知数列是等差数列（1）若，求（2）若，求（四）等差数列的综合应用例5、已知是正数组成的数列，且点（）在函数的图像上（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足， ，求证：方法提示：1解决等差数列问题，熟练掌握等差数列的有关性质，寻找项与前n项和之间的关系是解题关键2在等差数列中，有关的最值问题：（1），时，满足的项数使得取得最大值为；（2）当，时，满足的项数使得取得最小值为（3）关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，

5、等差数列的前n项和，可看成关于的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图像或配方法解决最值问题二、等比数列及其前n项和等比数列的相关概念相关名词等比数列的有关概念及公式定义（是常数且，）或（是常数且，）通项公式前n项和公式等比中项设、为任意两个同号的实数，则、的等比中项为：注：是a，b，c成等比的必要不充分条件，当，a，c至少有一个为零时，成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有方法提示：1、数列的项与集合中元素的区别：把数列中的项与集合中的元素相比较，数列中的项具有确定性、有序性、可重复性，不具有互异性；集合中的元素具有确定性、无序性、互异性2、求通项公式的技艺：根据数列

6、的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分（不变量），再找出不同的部分（可变量）与序号之间的关系，并用n表示出来，不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一（一）等比数列的的运算1等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解2解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程3在使用等比数列的前项和公式时，应根据公比的情况进行分类讨论，切不可忽视的取值而盲目用求和公式例6、设数列的

7、前n项和为，且=2-2；数列为等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求证：二、等比数列的判定等比数列的判定方法有：（1）定义法：若，则是等比数列；（2）中项公式法：若数列中，则数列是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公式可写成，则数列是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列的前n项和，则数列是等比数列；例7、在数列中，（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前n项和；（3）证明不等式对任意皆成立（三）等比数列性质的应用1等比数列的性质可以分为三类：（1）通项公式的变形，（2）等比中项的变形，（3）前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口2等比数列的常用性质（1）数列是等比数列，则数列（，是常数）也是等比数列；（2）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为（3）（4）若，则；（5）若等比数列的前n项和为，则、是等比数列3 由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可