利用向量证明垂直与平行问题

1、利用向量证明垂直与平行问题第一页，共26页。1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）第二页，共26页。2、平行与垂直关系的向量表示（1）平行关系设直线l，m的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ， abuvml /线线平行 /l线面平行 /面面平行baba /0 uauavuvu /点击点击点击

2、第三页，共26页。 （2）垂直关系设直线l，m的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ， abuv ml线线垂直 l线面垂直 面面垂直0 baba0 vuvuuaua /点击点击点击第四页，共26页。二、新课（一）用向量处理平行问题（一）用向量处理平行问题（二）用向量处理垂直问题第五页，共26页。11111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面XYZ1CABCD1D1A1B第六页，共26页。11111111.-,:/ /A B C DA B C DMNC CB CM NA B D例 1 在 正 方 形中分 别 是、的 中

3、点 。求 证平 面1CABCD1D（一）用向量处理平行问题1AMN1BXYZ第七页，共26页。1C1B1AABCM903013例3、如图，在直三棱柱 - 中， 是棱 的中点，求证： ABC111ABC190 ,30 ,1,6,ACBBACBCA A M1CC1ABAM（二）用向量处理垂直问题第八页，共26页。证明：分别以所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系1,CA CB CCxyzCxyz图中相应点的坐标为：13,1,6A3,0,0A所以：163,0,6 ,3,0,2ABAM 所以：0AB AM 即，1AB AM1C1B1AABCM903016xyz323,1, 60,1,03,0,

4、060,0,2,0,1,0B6,0,0,2M第九页，共26页。:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例4在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)第十页，共26页。:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例4在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ第十一页，共26页。 例例5正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED面A1F

5、DzxyABCDFEA1B1C1D1第十二页，共26页。 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), 于是 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 解之得 取z=2得n1=(-1,0,2) 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) n1 n2 = -2+0+2=0 面AED面A1FD) 1 , 0 , 2(AE)0 , 2 , 0(AD0202yzx021yzx第十三页，共26页。练习：棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证

6、:(I)A1E 平面DBC1;(II)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy第十四页，共26页。 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (I) =- n,从而A1E 平面DBC1 (II) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx) 1, 0 , 2(1EA)2 , 3, 1 (1AB1AB

7、第十五页，共26页。)., 1, 0( ), 1 , 0( ), 0 ,3( ).0 , 1, 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 ,3(., 2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为(3,1, ),(3, 1,),(0, 2, )ABh A Ch BCh 22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB ,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：坐标法第十六页，共26页。三、小结利用向量解决平行与垂直问题利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决

8、问题。 两种方法经常结合起来使用。第十七页，共26页。ABCDM1A1B1C011111111,90 ,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM1如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面四、作业 第十八页，共26页。2,/ /BCABBCk PAABCODPAB如图,在三棱锥P-ABC中,AB点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面。求证：平面AODPCB四、作业 第十九页，共26页。lmabml /baba /第二十页，共26页。 lua /l0 uaua第二十一页，共26页。 u v /vuvu /第二十二页，共26页。lamb ml0 baba第二十三页，共26页。 l uuaua /la第二十四页，共26页。 u v 0 vuvu第二十五页，共26页。ABCDM1A1B1CXYZ:, C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.111,0,0),( 2,1,0),(0,1,1),2 1 12(, , ),(,1,0),22 222 1 111(, , ),( 2,