(完整版)胡不归问题模型

1、胡不归问题模型及其应用原蒜重现：（来源：高邮市赞化学校魏立壕习（6）如圉1所示r抛物线2x3与X轴交于A、B两点，过8的直线交抛物线于E,HtanzEBA=4/3,有一只蚂蚁从A出发，先以1单位在的速度爬到线段BE上的点施，再以L25单位A的速度沿着DEFINE点处反食,则奥蚁从A到E的龈短时间是5-图1要想轻决这八所谓"港题*,不得不提起F蓍名的、大名房晶的、古老的"胡不归”问题.一、模型我故（W不归“问题）,下文来通于网络有一则古老的历史故事：说的是f身在他乡的小伙子*彳剥父兼病危的消息后便日夜赶路回家.然而，当他气咤吁吁地来到父亲的面前时.老人刚刚咽气了.人们告诉他，

2、在弥留之际，老人在不断喝咤地叨念：“胡不归？胡不归？*旦期的科学家冒为这则古老传说中的小伙子设想了一条路废：如圈1-1所示，A是出发tfi,B是目的地:AC是一条驿道r而道靠目的地的一01全是砂土地带为了题切回家，小伙子选择了直线路程AB.但是，他根略了在驿道上行走要比在砂土如帝行走快的这一因素.如果他智条舍适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度却可以5唳）,是可以提前抵达家匚的图1那么，他应该选择那条路箕呢？显然,根据两种路面的状;兄和在其上行走的速度®,可以在A（:上选定一点Dr小伙子从A走到D,然后从D#f4£Br可望吊早到达目的地B.用现代的数学碧言表达出来就是：已

3、知在驿道和砂地上行走的速度分别为VI和V2.在AC上找一走点D,使从A至D、再从D至B的行走时间S®.于是问题在于如何去找出D点.这个古老的"胡不归”问题风靡了T多年一直到十七世纪中叶.才由法国著名科学家羞尔马鬼开了它的面纱.二. 模型解决第一步（设出时间t,将数学问通字母化:设剥寸间为t,则仁4?罗，这里vx>vlt要求的就是I的最小值，这是一个系数不为1的最值问越，而且有两个系数均不为，第二步援取“大系数”，化为只有一个系数不为1的景值问貌）:般情况下，遇到两个系数不为1的最值问首先要将其转化为里个系敬不为1的景值问甄，这个转化还是比较好实现的，只需提取一个系数出

4、来即可；问题是该提取哪个系数比较好呢？一般情况下.报取数值比较大的那个系数：菱本例来说，由v.>v.知t的表达式中两个系«1<1,因而应该提取L出来，即t=K*七上（幺Q+DB）,注意这里与七均为常数，这样要求t的最小值，只要求*2*1的最小值即可，从而问题被转化为单个系数不为1的最值问题;第三步构造三角的数，化为系戮均为1的常艰最值问趣）:如何求-ADDB的最小值问15呢？还是要想办法处理不为1的系数，将系数都化为1.但是问题来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？教学是门神奇的科学，只有你想不到，没有她做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角函教，可以构造一个直

5、角三角形，将不为1的系数无形中化为1,这也是解决所谓“胡不归"问题的核心与难点所在，具体擦作如下：由匕联想到三角函数值，如图12所示，过定点A在直线AC的下方构造锐角匕CAE=a,使其满足sina=j再过动点D作DG1AE于点G,则血（1=女=丝，从而有DG=ADfVxADVx要求-ADDB的最小值问题，就被顺利转化为DG+DB的最小值问甄，变成了一个系数均为1的常规最值问题J需要特别提醒大家的是，这里的关键角a是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到品原始的”胡不归"问题是一个,两定一动型"品值问题，只不过系数不为1了而已；如图1-2,点A和点B是两个定点，点D是一个

6、动点,且定点A与莉点D在同一条定直统AC上;上面的角a其实就是依托于这里的定点A及定直线AC做出的，即工定点A作一条射线与定直线AC所交锐角为角a即可！说到底就是"抓不变量”的解题策略，依托于定点A及定直线AC作角a,使其满足sina=V2/V1,即可顺利将所谓"胡不归""难题“转化为系故均为1的常规昴值问题！第四步（利用“垂城段最短燎理”，解决系数均为1的常艰最值问题）:注意到构造的AE也是一条定射线，要求DG+D8的最小值问题，区实就是在两定直线AC、AE上分别找点.D、G,aDG1AE,使QG+ZX5展小.先利用“两点之间线段最短”易知DG+DB2

7、8G,当且仅当B、D、G三点共线时取等号J如困1-3所示，再利用“垂线段最短”只需过点B作BG1AE于点G,此时BG最小,则BG与AC的交点即为所要寻找的点D;因而+=JL(DG+DB)=.sinZBG,H中、*KvKKAB及CBAG均为常值，故所求时间的晨小值为ABnZBAG.至此，“胡不归"模型得到完美解决！如果奄奄一息的父亲能够坚持到-ABsinZBAG这个时间，那么就能够见他的儿子易后一面了！三, 原题解决一'回到我们最初的考短上，设蚂效从点A到点E所需的时间为t,如g1-4,则t=+=D+,要求的就是t的最小值，即AD的最小值：11.2555很明显，这就是一个曲型的

8、“胡不归”问题，可按照上述解决模型的步骤进行操作：图14第一步（构三角的数，化系数为1）:由系数：1联想到三角函数值，如S1-5所示,4过定直线EB上的定点E在直线EB的上方构造税角匕BEF=a,使其满足sina=y；4DG4再过动点D作DG1EF于点G,则sina=,从而有DG=-DE5DE5这样+=ADH）G,转化为了常规的系数均为1的最值问短;第二步（寻箱目特殊性，函新调整网形）:但先不要忙于计算，我们还要敏锐地意识44到此题有个角很特味，那就是tanZEEA=-,由此易知sinZEBA=-,因而刚刚我们所作35的ZBRF=ZEEA,从而发现此题的特味性'RPEF/X轴'

9、接下来我们把图形调整成图123图16第三歹（利用“垂线段是炒原理”，解决系数均为1的常短品价问蠢）:注意到构造的EF也是一条定射线，要求AD+X的最小值问短，其实就是在两定直线EB、EF上分别找点D、G,且DG1EF,使ADDG最小.先利用“两点之间线段最短”易知AD+DGAGf当且仅当A、D、G三点共线时取等号；如S1-7所示，再利用“垂线段最短"只需过点A作AG1EF于点G,此时AG最小,则AG与EF的交点即为所要寻找的点D;BHc4DE因而t=JD+5标的值，下面求出点E的坐标即可;=AD+DG>AG,故所求时间t的最小值即为AG的长,即点E的级坐图17第四步（求定点E的

10、坐标）:这里提供两种方法求点E的坐标；方法一（求交点坐株）:设直线EB与y轴交于点如图18所示.由题易知点B4的坐标为3,0），在RtAMOB中由tanZEBA=一知01=4,则点11坐标为0,4）j3由B（3,0）及I<0,4）可得直线EB的解析式为y=-?x+"f44联立直线EB与抛物线的解析式得：K3，即L2jt3=£x+4，即y=x2-2x333土2u21=0,解之得&毛=3（舍去），故点E的坐株为，）j339方法二（设坐标法：设点E的坐标为（t,尸-2,-3）,过点E作EHlx轴于点H,如图19所示，在RtAEHB中由tanZEBA=-可得即站公E=

11、，即3BH33-f347764（r+1）=,解得r=故点E的坐标为（9）；3339因此，所求时间t=JD+的最小值为竺.59此题搞定，所谓的“谁欧看来也不是太难啊，我的都是“套路”！图19解题后反思：平时宴路”积累多了，a的遇到了所谓的"套路题"，同学们就能立于不败之地了!这题也给我们的教学一定的启发性，即应该重视模型教学这一块！有人说"成也模型.败也模型“，但我想说如舆具的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的湖E出模型达到更高境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该审视模型的积氛与应用过程，可以这样说，每一节新课，每一道题目可能都能称之为一个模型！其实名称都是回事

12、，或者说叫某某模型也无所谓，之所以起名称，更主要的还是希望学生能做到"顾名思义"之效，最终达到熟能生巧之目的！【来龙】“有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刖刖咽,了。人们告诉他，在弥留之际,老人还在不断哺tt的叨念：“胡不归？胡不归？早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线（见图DoJ是出发地,B是目的地，M是一条罪道，而牌道靠目的地的一侧全是砂土地带。为了急切回家，小伙子邸了直线路程MoV（图1）但是他忽吝了在驿道上行走荽比在砂土地芾行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路

13、线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达冢门的。那么这应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以在北上选定一点，小伙子从X走到然后从D折往3,可望最早到达8。用现代的科学语言表达就是：“已知在驿商眦地上行走的速度分别为n和V2,在XC上求一个定点。使得LZ>"的行走时间最短。”于是问题在于如何去找出D点【建模起点4和终点8固定，在过才点的定直线上取一点，使得r=+的值跃小，vi巧可以转化为求DA-兰.DB（0<-<1）s-DA-DB（Ck-<1型的最值问题*mmmm【解模】，具体例子：如图，一条笔直的公路/穿过草原

14、，公路边有一消防站X,距商公路5千米的地方有一居民点3,A.B的直线距离是13千米.一天，居民点3看火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米"N寸，而在草地上的骸快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点3.友情提酸：消防车可从公路的任直位置进入草地行驶.）/解析:设消防车从公路上点D进入草地行驶。醐是蛔间尸普+导=土（顼.4+施）的最小值，问题立即转化为求dadb的最小值。“接下来就是“套路”:构造一条线段等于DAf并将新绑吗线段贝“接起来”，在初中数学中我们学习过三个“一半"定理：石直角三角形中30。根角所对直甬边等于斜边一半

15、（sS30。：）；三角形中位线平行箓三边且箓壬第三边长的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。它们是解决线段骸关系的利器。我仰艮据血30°来解决任务：在直线/的下方作ZC4A/=30e,过点D作DEL4M于点DM=-DAy23、再往下来就太容易了。问题转为求折线段的最小值。你会解决了明？直接上图算了。由“垂线段最短”的基本数学事实出发，可以过点8作"1_双于点巳交AC于点则点网为所求，此时DT旦ZX4。2由对顼三瓠显然有匕C8D：3（T,进而C&T可机求出8：和3D洲长后，就能求出此题的最终答案了。，ZCBDf=30o,CD'=4【归纳"胡不

16、归问题模型的解题方案：“&叩将所求线段和H换为旦以成（0<-<1）的形式（成上题为例Jmm物、在直线I的算于AB的一刨作Za,使且正弦值为-j"m&甲3:过点8向匕a的另一边上引垂线段，其与直线/的交点即为所求。“»野4:剩下的就是计蔓了，可以借助三角蹄、相似形、萄股定理等知识完成。【用模】"重点感受一下中考里面是如何考查“胡不归问题”的。/例1、如图，在NCE中，CA=CE,ZC4E=3O。经过点C,且圆的直径加在线段曷上n（1）试说明CE是。的切线3。（2）若ZUCE中.妃边上的高为如试用含力的代数式衰示院的直径.也；，（3）设点D

17、是线段4C上任意一点（不合竭点），连接0D,当§CZHOZ）的最小值为6时,求。的直径加的长.“/_£VC4=CE,ZC4£=30e,/.ZE=ZC4£=3O#,ZC0E=2乙4=60',.匕。CK二90°,.C5是。的切陵j（2）过点C作CH1AB于H,连接9C,如图2,w由题可得C*如URtAOHCcp,CH=OOsm/COH,：,h=OC,smOOfOC,WA2则ZAOF二匕COfAzaOC（180°-60°>=60°./22"A2F=OC,&4OF、<?（?尸是等边三角

18、形>.AF=ASOC=FC,/.四边形以是菱形，二根据对称性可得"=QO过点、D作DH1OC于-'：OA=OC,二匕OC4=/Q4C=30°,：DH=QQUDCH=DC5柄30。令DC,：.、CD¥OD二DH+FD.2根据两点之间线段最短可得：当F、D、月三点用£时，DH+FD(CEH-OD)最小，/此时FH=OF”mFOH巫OF=6,则0已巫,.&20心气。2,当护2D的最小值为6时，。的直径加的长为。例2.如图，在平面直甬坐标系中，二次I的数)的图惹经过点x(-1,0),5(0,-V3)>C(2,0),其对称轴与x轴交于点加求二;欠幽数的表达式及其顶点坐科