(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳

1、高等数学(上)重要知识点归纳第一章函数、极限与连续、极限的定义与性质1、定义(以数列为例)limXna0,N,当nN时,|Xna|n2、性质(1) limf(x)Af(x)A(x),其中(x)为某一个无穷小,xX0o(2)(保号性)假设limf(x)A0,那么0,当xU(x0,)至Xx0f(x)0.(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小.二、求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式(1)1叫"1(2)lim(1-)2、两个准那么(1)*夹逼准那么(2)单调有界准那么3、*等价无穷小替换法(1)sin常用替换：当0时(2) tan(3) arcsin(5)ln(1)12cos2(4)

2、 arctan(6)e1(8)n/11-n5、分解因式法6用定积分定义高阶、同阶、等价4、分子或分母有理化法三、无穷小阶的比拟*四、连续与间断点的分类1、连续的定义*f(x)在a点连续lim0y0limf(x)f(a)f(a)f(a)f(a)x0xa可去型极限存在第一类跳跃型左右极限存在但不相等2、间断点的分类无穷型极限为无穷大第二类震荡型往返波动其他3、曲线的渐近线*水平渐近线：假设ljmfxA,那么存在渐近线：yA2铅直渐近线：假设limfx,那么存在渐近线：xaxa五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念1、导数的定义*y|xaf(

3、a)dyy.f(ax)f(a)|xalimlim-dxx0xx0xlimxaf(x)f(a)a2、左右导数左导数f(a)limylimf(x)f(a)x0xxaxa右导数f(a)limx0limxaf(x)f(a)a3、导数的几何意义*y|xa曲线f(x)在点(a,f(a)处的切线斜率k4、导数的物理意义假设运动方程：ss那么s(t)v(t)(速度),s(t)v(t)a(t)(加速度)5、可导与连续的关系：可导连续,反之不然.、导数的运算1、四贝U运算(uv)uv(uv)uvuv(u)uv2uvvv2、复合函数求导设yf(x),一定条件下dyy-duYuUxdxdudx3、反函数求导设yf(x

4、)和xf1(y)互为反函数,一定条件Vx1xy4、求导根本公式*(要熟记)5、隐函数求导*方法：在F(x,y)0两端同时对x求导,其中要注意到：y是中间变量,然后再解由y6、参数方程确定函数的求导*设xx(t),一定条件下yy(t)VxdydxVxdVxdxVKV(可以不记)(xt)7、常用的高阶导数公式(1) sin(n)xsin(xn),(n0,1,2)2(2) cos(n)xcos(xn),(n0,1,2.)2(3) ln(n)(1x)(1)n17n-)n,(n12.)(1x)(4) (,)n(1)n!1,(n0,1,2.)1 x(1x)n1一n(5)(莱布尼茨公式)(uv)(n)C：u

5、(nk)v(k)k0三、微分的概念与运算1、微分定义*假设yAxo(x),那么yf(x)可微,记dyAxAdx2、公式：dyf(x)xf(x)dx3、可微与可导的关系*两者等价4、近似计算当|x|较小时,ydy,f(x)f(xx)f(x)x第三章导数的应用一、微分中值定理*1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在a,b上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导(3) g(x)0,那么：f()f(b)f(a)(a,b),使得：一g()g(b)g(a)当取g(x)x时,定理演变成：2、拉格朗日中值定理*(a,b),使得：f()f(?f(a)f(b)f(a)f()(ba)ba当加上条件f(

6、a)f(b)那么演变成：3、罗尔定理*(a,b),使得：f()04、泰勒中值定理在一定条件下：f(x)f(Xo)f(Xo)(XXo).f"n!(xXo)nR(x)f(n1)()、其中Rn(x)-(xx0)n1o(xx0)n),介于x0、x之间.(n1)!当公式中n=0时,定理演变成拉格朗日定理.当儿0时,公式变成：f(n)(0)n5、麦克劳林公式f(x)f(0)f(0)x.一(02xnR(x)n!6、常用麦克劳林展开式(1) ex12!1Xno(Xn)n!(2) sinx1)n12n13!5!(2n1)!o(X2n)(3) cosx12!4X4!工2n(2n)!o(X2n1)23n1

7、(4) ln(1x)x.-Xno(Xn)23n、罗比达法那么*记住：法那么仅能对0,型直接用,对于0,1,00,0,转化0后用.哥指函数恒等式*fgeglnf三、单调性判别*1、y0y,y0y2、单调区间分界点：驻点和不可导点.四、极值求法*1、极值点来自：驻点或不可导点可疑点2、求生可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号,由正变负为极大,由负变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0,二阶导不为0时,是极值点.正为极小,负为极大.五、闭区间最值求法*找由区间内所有驻点、不可导点、区间端点,比拟大小六、凹凸性与拐点1、y0y,y0y2、拐点：曲线上凹凸分界点(am).横坐标不外乎f(

8、x0)0,或f(%)不存在,找到后再加以判别X0附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径1、曲率公式K1y|3(1yTi2、曲率半径RK第四章不定积分一、不定积分的概念*假设在区间I上,F(x)f(x),亦dF(x)f(x)dx,那么称F(x)为f(x)的原函数.称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分,记为f(x)dx.二、微分与积分的互逆关系1、 f(x)dxf(x)df(x)dxf(x)dx2、 f(x)dxf(x)cdf(x)f(x)c三、积分法*1、凑微分法*2、第二类换元法3、 分部积分法*udvuvvdu4、常用的根本积分公式(要熟记).第五章定积分bn一、定积分的定义f(

9、x)dxlimf(i)xiax0i1二、可积的必要条件有界.三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调.四、几何意义定积分等于面积的代数和五、主要性质*1、可加性2、估值在a,b上,m(ba)baf(x)dxM(ba)3、积分中值定理*当f(x)在a,b上连续时：:f(x)dxf()(ba),a,bbf(x)dx4、函数平均值：ba六、变上限积分函数*xx1、右f(x)在a,b连续,那么F(x)af(t)dt可导,且af(t)dtf(x)(x)2、右f(x)在a,b连续,(x)可导,那么：af(t)dtf(x)(x)七、牛-莱公式*假设f(x)在a,b连续,那么:f(x)dxf(x)

10、dx|：F(b)F(a)八、定积分的积分法*1、换元法牢记：换元同时要换限2、分部积分法:udvuv|；abvdu3、特殊积分(1)af(x)dx0,当f(x)为奇函数时20af(x)dx,当f(x)为偶函数时(2)当f(x)为周期为T的周期函数时:nTT(3)f(x)dxn°f(x)dx,nZ定条件下:0xf(sinx)dx0f(sinx)dxn是正奇数时(4) 2sinnxdx2cosnxdxn0sinxuxocosxuxnJ)!,n是正偶数时n!2(5) 0sinnxdx2jsinnxdx九、反常积分*1、无穷区间上xf(x)dxlimaf(t)dtF(x)|aF()F(a)其

11、他类似2、p积分:1./-dx(axpp1时收敛p1时发散3、瑕积分：假设a为瑕点：bb.那么f(x)dxlimf(t)dtF(x)|axaxaF(b)F(a)其他类似处理第六章定积分应用、几何应用1、面积(1)Aa(y上-y下)dxA：(x右-x左)dy哽;(;卜t(3)C:A12(),与2()d),那么A|y(t)x(t)|dt,()围成图形面积2、体积*(1)旋转体体积*Vxb2ydxaVyd2,cxdy或Vy2:xydx(2)截面面积为AA(x)的立体体积为V:A(x)dx3、弧长(1) saJ1y2dx(axb)(2) sJx2y2(t)dt,(t)(3) s2d,()二、物理应用1、变力作功一般地：先求