随机过程：第7章风险中性定价

1、第七章第七章 风险中性定价风险中性定价二二叉叉树树定定价价模模型型无套利定价无套利定价鞅定价（风险鞅定价（风险中性定价、测中性定价、测度转换）度转换）随机分析随机分析框架框架伊藤积分伊藤积分伊藤伊藤- -德布林公式德布林公式连连续续时时间间模模型型连续时间无套利定价连续时间无套利定价（B-S-M公式）公式）连续时间鞅定价连续时间鞅定价（风险中性定价）（风险中性定价）概率论基础：样本空间、概率论基础：样本空间、 代数、概率（测度）、代数、概率（测度）、随机变量、分布、期望、条件期望随机变量、分布、期望、条件期望随机过程基本概念：随机过程、随机过程基本概念：随机过程、马尔科夫过程、鞅、状态价格马尔

2、科夫过程、鞅、状态价格布朗运动布朗运动2022-3-152CopyrightPei Zhang 2014提纲提纲 二叉树定价模型下的风险中性定价（回顾）二叉树定价模型下的风险中性定价（回顾） 风险中性定价风险中性定价 对冲资产组合存在性定理（鞅表示定理）对冲资产组合存在性定理（鞅表示定理） 风险中性定价，无套利定价之间的关系风险中性定价，无套利定价之间的关系2022-3-153CopyrightPei Zhang 2014一、二叉树定价模型一、二叉树定价模型风险中性定价公式：风险中性定价公式：资产定价第一基本定理（风险中性概率测度存在资产定价第一基本定理（风险中性概率测度存在无套利无套利) )

3、2022-3-154CopyrightPei Zhang 2014Radon-Nikodym导数导数2022-3-15CopyrightPei Zhang 201452022-3-15CopyrightPei Zhang 201462022-3-15CopyrightPei Zhang 201472022-3-15CopyrightPei Zhang 20148例例1.2.4 回望期权的价值（回望期权的价值（P12）不用到风险中性概率测度的情形不用到风险中性概率测度的情形2022-3-15CopyrightPei Zhang 20149二、风险中性概率测度二、风险中性概率测度（一）单个布朗运动

4、的哥萨诺夫定理（一）单个布朗运动的哥萨诺夫定理回忆：不可数无限空间回忆：不可数无限空间勒贝格积分勒贝格积分2022-3-1510CopyrightPei Zhang 20142022-3-1511CopyrightPei Zhang 20142022-3-1512CopyrightPei Zhang 2014随机变量随机变量随机过程随机过程2022-3-15CopyrightPei Zhang 2014132022-3-15CopyrightPei Zhang 2014142022-3-15CopyrightPei Zhang 201415哥萨诺夫定理哥萨诺夫定理2022-3-1516Copy

5、rightPei Zhang 2014（二）风险中性测度下的股价（二）风险中性测度下的股价2022-3-1517CopyrightPei Zhang 2014贴现过程贴现过程2022-3-1518CopyrightPei Zhang 2014贴现股价过程贴现股价过程2022-3-1519CopyrightPei Zhang 20142022-3-1520CopyrightPei Zhang 2014真实概率与风险中性概率比较真实概率与风险中性概率比较2022-3-1521CopyrightPei Zhang 2014（三）风险中性测度下的资产组合（三）风险中性测度下的资产组合过程的价值过程的价

6、值推论推论4.6.3 伊藤乘积法则伊藤乘积法则2022-3-1522CopyrightPei Zhang 2014（四）风险中性测度下的定价（四）风险中性测度下的定价 对于任何衍生证券在对于任何衍生证券在T时刻的支付时刻的支付V（T），），希望构造对冲组合，使得：希望构造对冲组合，使得：连续时间模型的风险中性定价公式连续时间模型的风险中性定价公式2022-3-1523CopyrightPei Zhang 2014例：例：BSM公式的推导公式的推导S（t）服从几何布朗运动）服从几何布朗运动（广义几何布朗运动当（广义几何布朗运动当 、 为常数为常数）：）：变量替换变量替换2022-3-1524Co

7、pyrightPei Zhang 2014BSM公式的推导（公式的推导（2）2022-3-1525CopyrightPei Zhang 2014BSM公式的推导（公式的推导（3）2022-3-1526CopyrightPei Zhang 2014三、鞅表示定理三、鞅表示定理 对于任何衍生证券在对于任何衍生证券在T时刻的支付时刻的支付V（T），），希望构造对冲组合，使得：希望构造对冲组合，使得：从而：从而：本节验证这一假定本节验证这一假定2022-3-1527CopyrightPei Zhang 2014单一布朗运动的鞅表示单一布朗运动的鞅表示当一个布朗运动生成了一个域流时，关于这个当一个布朗运

8、动生成了一个域流时，关于这个域流的每个鞅都可以表示成初始条件加上关于域流的每个鞅都可以表示成初始条件加上关于该布朗运动的一个伊藤积分该布朗运动的一个伊藤积分2022-3-1528CopyrightPei Zhang 2014单一股票的对冲单一股票的对冲问题的提出：问题的提出：补充假设：域流是由布朗运动生成补充假设：域流是由布朗运动生成2022-3-1529CopyrightPei Zhang 20142022-3-1530CopyrightPei Zhang 2014对冲实现的关键假定对冲实现的关键假定 波动率波动率 (t)(t)非零，这一条件保证了股票的非零，这一条件保证了股票的随机性由布朗

9、运动所引导随机性由布朗运动所引导 域流由布朗运动生成域流由布朗运动生成（衍生证券不包含任何其他随机过程）（衍生证券不包含任何其他随机过程） 风险同源风险同源2022-3-1531CopyrightPei Zhang 2014四、资产定价的基本定理四、资产定价的基本定理 本节将本节将5.2和和5.3节中讨论的问题推广到多维节中讨论的问题推广到多维布朗运动驱动的多个股票价格的情形布朗运动驱动的多个股票价格的情形（一）多维哥萨诺夫和鞅表示定理（一）多维哥萨诺夫和鞅表示定理2022-3-1532CopyrightPei Zhang 2014哥萨诺夫定理（多维情形）哥萨诺夫定理（多维情形）2022-3-

10、1533CopyrightPei Zhang 2014注释注释布朗运动布朗运动分量过程在分量过程在P下是独立性下是独立性，每一个，每一个 (t)过程是过程是路径路径依赖于所有依赖于所有的布朗运动的布朗运动2022-3-1534CopyrightPei Zhang 2014鞅表示定理（多维情形）鞅表示定理（多维情形）2022-3-1535CopyrightPei Zhang 2014（二）多维市场模型（二）多维市场模型2022-3-1536CopyrightPei Zhang 2014股价之间的相关性股价之间的相关性协方差：协方差：瞬时相关系数瞬时相关系数2022-3-1537Copyright

11、Pei Zhang 2014瞬时相关系数瞬时相关系数瞬时标准差瞬时标准差2022-3-1538CopyrightPei Zhang 2014股票价格的贴现过程股票价格的贴现过程2022-3-1539CopyrightPei Zhang 2014（三）风险中性测度的存在性（三）风险中性测度的存在性这意味着：这意味着：（风险的市场价格方程）（风险的市场价格方程）2022-3-1540CopyrightPei Zhang 2014套利套利2022-3-1541CopyrightPei Zhang 2014资产定价第一基本定理（存在性）资产定价第一基本定理（存在性） 具有风险中性概率测度的市场模型中具有风险中性概率测度的市场模型中不存在套利不存在套利2022-3-1542CopyrightPei Zhang 2014（四）风险中性测度的唯一性（四）风险中性测度的唯一性 如果任何衍生证券都能得到对冲，则称市如果任何衍生证券都能得到对冲，则称市场模型是场模型是完全的完全的。资产定价第二基本定理（唯一性）资产定价第二基本定理（唯一性） 考虑具有风险中性概率测度的市场模型。考虑具有风险中性概率测度的市场模型。模型是完全的当且仅当风险中性概率测度模型是完全的当且仅当风险中性概率测度是唯一的。是唯一的。2022-3-1543CopyrightPei Zhang 2014证明（必要性）证明