常微分方程：4-1 线性微分方程的基本理论

1、 目录 上页 下页 返回 结束4.14.1 线性微分方程的基本理论线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理十分完善，本节将介绍它的基本理论论. . 目录 上页 下页 返回 结束一、基本概念一、基本概念及其各阶及其各阶x均为一次的均为一次的n n阶微分方程，阶微分方程，n阶线性阶线性微分方程微分方程: : 我们将未知函数我们将未知函数nndtxddtdx,1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt导数导数称为称为n阶线

2、性微分方程阶线性微分方程.它的一般形式为它的一般形式为:(4.1.1) 目录 上页 下页 返回 结束式中式中( )ftatb 上的连续函数。上的连续函数。),2 , 1)(nitai(4.1.1)及及是区间是区间n阶线性齐次阶线性齐次微分方程微分方程: : 如果如果( )0f t 式中的式中的则则(4.1.1)变为变为 1111( )( )( )0nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt(4.1.2)我们称以上方程为我们称以上方程为n n阶线性齐次微分方程，简称阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程齐线性方程,（4.1.1）称非齐线性方程。称非齐线性方程。 目录 上页 下页 返回

3、 结束2222222()04sind xdxtttnxdtdtd xxtdt上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的也有相类似的解的存在惟一性定理存在惟一性定理. 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.14.1：如果如果(4.1.1）的系数的系数 ( )(1,2, )ia t in及右端函数及右端函数 在区间在区间 上连续，上连续， ( )f tatb 则对任一个则对任一个 及任意的及任意的 0( , )ta b方程（方程（4.1.14.1.1）存在惟一的解）存在惟一的解 (

4、 )xt满足下列初始条件满足下列初始条件 1(1)(1)0000001( )( )( ),nnndtdttxxxdtdt)1(0)1(00,nxxx 目录 上页 下页 返回 结束引入引入 称称L L为线性微分算子为线性微分算子. .为常数为常数. .()( )L cxcL xc性质性质4.14.1 1212()()()L xxL xL x线性微分算子线性微分算子:性质性质4.1xtadtdxtadtxdtadtxdxLnnnnnn)()()(1111tnnnntetatatataeLn)()()()(12211例如例如: 目录 上页 下页 返回 结束二、齐次线性方程解的性质和结构二、齐次线性方

5、程解的性质和结构定理定理4.1 (4.1 (叠加原理叠加原理) ) 如果如果 12( ),( ),( )nxtxtxt是方程是方程（4.1.2）的的n n个解，个解， 则它的线性组合则它的线性组合 也是方程也是方程（4.1.2）的解，这里的解，这里1,ncc)()()(2211txctxctxcnn是常数是常数. 目录 上页 下页 返回 结束例例1 1 验证验证12sin ,cos , ( )sincostttctct是方程是方程 的解的解. .0 xx(sin )sin0tt(cos )cos0tt12( )( )(sin )sin (cos )cos 0ttcttctt解解: 分别将分别将

6、12sin ,cos , ( )sincostttctct代入方程代入方程, 得得所以为方程的解所以为方程的解. 目录 上页 下页 返回 结束基本解组基本解组:如果方程如果方程（4.1.2）的任意一个解的任意一个解都可以表示为都可以表示为 ,( ) t1( )niiic x t是方程组是方程组（4.1.2） 则称则称12( ),( ),( )nx tx tx t的基本解组。的基本解组。线性相关线性相关:对定义在区间对定义在区间(a, b)上的函数组上的函数组 12( ),( ),( )nx tx tx t如果存在不全为如果存在不全为0 0的常数的常数 ，使得，使得 1,ncc1 122( )(

7、 )( )0nnc x tc x tc x t 目录 上页 下页 返回 结束在在(a,b)(a,b)上恒成立上恒成立, ,称这些函数在所给的区间上线称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关性相关，不然称这些函数线性无关.例例2:2: 函数函数在任何区间在任何区间上都是线性上都是线性无关的，无关的，因为如果因为如果(4.1.5)只有当所有的只有当所有的 时才成立时才成立. . nttt, 12), 1 , 0(0nici02210nntctctcc 目录 上页 下页 返回 结束事实上事实上, 如果至少有一个如果至少有一个, 0ic则则 (4.1.5)式的左端是一个不高于式的左端是

8、一个不高于n次的多项式，它最多可次的多项式，它最多可有有n个不同的根个不同的根 . 因此因此, 它在所考虑的区间上不它在所考虑的区间上不能有多于能有多于n个零点个零点, 更不可能恒为零更不可能恒为零.注注1 1：在函数在函数 中有一个函数中有一个函数12( ),( ),( )kx t x tx t等于零等于零, 则函数则函数12( ),( ),( )kx t x tx t在（在（a,ba,b）上线性相关。）上线性相关。 目录 上页 下页 返回 结束注注2 2：考虑到两个函数构成的函数组考虑到两个函数构成的函数组 12( ),( )x t x t如果如果 12( )( )x tx t或或 21(

9、 )( )x tx t则在（则在（a,ba,b）上线性无关的充要条件为）上线性无关的充要条件为 12( )( )x tx t或或21( )( )x tx t在（在（a,ba,b）上不恒为常数）上不恒为常数. . 在在(a, b) 上有定义上有定义,例例3:3:在任何区间上都线性无关在任何区间上都线性无关. . sin ,costt22cos,1 sintt在任何区间上都线性相关在任何区间上都线性相关. . 目录 上页 下页 返回 结束注注3 3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取例例4:4: 函数函数 12( ),( )x tt x tt 在（，）上是

10、线性上是线性无关无关, 而而在在(,0)上是线性相关的上是线性相关的. . 的区间。的区间。事实上事实上), 0( 和和. 0, 1, 0, 1)()(21tttxtx在区间在区间),(上不是常数上不是常数, 分别在区间分别在区间), 0( 和和(,0)上是常数上是常数. 目录 上页 下页 返回 结束Wronskian 行列式行列式:由定义在区间（由定义在区间（a, b）上的）上的k个个k-1k-1次可微函数次可微函数 所作成的行列式所作成的行列式称为这些函数的称为这些函数的Wronskian行列式行列式, 通常记做通常记做 ).(tW12( ),( ),( )kx txtxt)()()()(

11、)()()()()()(),(),()1()1(2)1(1212121txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxWkkkkkkk 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.34.3 如果函数组如果函数组 12( )( ),( )nx tx tx t，在区间在区间(a, b) 上线性相关上线性相关, 则在则在(a, b) 上它们的上它们的 Wronskian证明证明: 由假设知存在一组不全为零的常数由假设知存在一组不全为零的常数,21nccc使得使得),(, 0)()()(2211battxctxctxcnn依次将此恒等式对依次将此恒等式对t微分微分, 得到得到n个恒等式个恒等式, 0)()

12、()(2211txctxctxcnn, 0)()()(2211txctxctxcnn行列式恒等于零行列式恒等于零, 即即0)( tW. 目录 上页 下页 返回 结束, 0)()()()1()1(22)1(11txctxctxcnnnnn,上述上述n个恒等式所组成的方程组是关于个恒等式所组成的方程组是关于nccc,21的齐次方程组的齐次方程组, 它的系数行列式就是它的系数行列式就是Wronskian行列式行列式, 由线性代数的知识知由线性代数的知识知, 要使方程组存在要使方程组存在非零解非零解, 则必有则必有. 0)(tW 目录 上页 下页 返回 结束0t处不等于处不等于0,0, 即即 0( )

13、0W t, ,则该函数组在区间则该函数组在区间注注: : 定理定理4.34.3的逆定理不一定成立的逆定理不一定成立. .例例 22,010,00,02,0( )( )ttttttx tx t推论推论 4.1如果函数组如果函数组12( )( ),( )nx tx tx t，的的Wronskian行列式在区间（行列式在区间（a, b）上某点）上某点 上线性无关。上线性无关。),( ba 目录 上页 下页 返回 结束显然对所有的显然对所有的t, 恒有恒有, 0)(),(21txtxW但但)(),(21txtx在在),(上线性无关上线性无关.事实上事实上, 假设存在恒等式假设存在恒等式, 0)()(2

14、211txctxc则当则当0t时时, 有有, 02c当当0t时时, 有有, 01c故故)(),(21txtx在在),(上线性无关上线性无关. 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.4 4.4 若函数组若函数组 12( )( ),( )nx tx tx t，是方程是方程（4.1.2）在区间（在区间（a,ba,b）上的）上的n n个线性无关的解个线性无关的解, ,则它们的则它们的Wronskian 行列式行列式12 ( )( ),( )nW x tx tx t，在该区间上任何点都不为在该区间上任何点都不为零零. .证明证明: 用反证法用反证法假设有假设有),(0bat . 0)(0tW使得使得考

15、虑关于考虑关于nccc,21的齐次线性代数方程组的齐次线性代数方程组 目录 上页 下页 返回 结束. 0)()()(, 0)()()(, 0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn其系数行列式其系数行列式, 0)(0tW故它有非零解故它有非零解,21nccc现以这组解构造函数现以这组解构造函数),(),()()()(2211battxctxctxctxnn由定理由定理4.1 知知,)(tx是方程是方程(4.1.2) 的解的解.又因为又因为 目录 上页 下页 返回 结束. 0)()()()(,

16、 0)()()()(, 0)()()()(0)1(0)1(220)1(110)1(0022011000220110txctxctxctxtxctxctxctxtxctxctxctxnnnnnnnnnn即这个解满足初始条件即这个解满足初始条件. 0)()()(0)1(00txtxtxn又又0)(tx也是方程也是方程(4.1.2)满足初始条件的解满足初始条件的解, 由解由解的惟一性知的惟一性知,),(, 0)()()()(2211battxctxctxctxnnnccc,21由由不全为零不全为零, 知矛盾知矛盾, 从而定理得证从而定理得证. 目录 上页 下页 返回 结束使得它的使得它的Wronsk

17、ian 行列式行列式12( )( ),( )nx tx tx t，在区间（在区间（a,ba,b）上的）上的n n个解。如果存在个解。如果存在 100 ( ),( )0nW x tx t，则该解组在（则该解组在（a,ba,b）上线性相关）上线性相关. .推论推论4.1：设设),(0bat 是方程是方程 (4.1.2)推论推论4.34.3 方程方程（4.1.2）的的n n个解个解 12( )( ),( )nx tx tx t，在其定义区间（在其定义区间（a,ba,b）上线性无关的充要条件是在）上线性无关的充要条件是在存在一点存在一点 0t使得使得 100 ( ),( )0nW x tx t，该区间

18、上该区间上 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.54.5 n n阶齐次线性方程组阶齐次线性方程组（4.1.2）一定存在一定存在n n个线性无关的解个线性无关的解. . 下面几个定理给出了线性无关解组下面几个定理给出了线性无关解组, 基本解组基本解组,及通解的关系及通解的关系.证明证明: 由定理由定理4.1 知知, 方程满足初始条件方程满足初始条件. 1)(, 0)(, 0)(, 0)(, 1)(, 0)(, 0)(, 0)(, 1)(0)1(000)1(202020)1(10101txtxtxtxtxtxtxtxtxnnnnnn 目录 上页 下页 返回 结束的解一定存在的解一定存在, 因为

19、因为, 01)(,),(),(00201txtxtxWn所以这所以这n个解一定线性无关个解一定线性无关, 故定理得证故定理得证.定理定理4.64.6 如果如果 是是n n阶齐次方程阶齐次方程12( )( ),( )nx tx tx t，（4.1.2）的的n n个线性无关的解。则它一定是该方程的个线性无关的解。则它一定是该方程的基本解组，即方程基本解组，即方程（4.1.2）的任一解的任一解 ( )x t都可以都可以表示成表示成niiitxctx1).()(证明证明: 设设)(tx是方程是方程 (4.1.2) 的任一解的任一解, 并且满足条件并且满足条件.)(,)(,)()1(00)1(0000n

20、nxtxxtxxtx 目录 上页 下页 返回 结束考虑方程组考虑方程组).()()(),()()(),()()(0)1(0)1(220)1(11)1(00022011000220110txctxctxcxtxctxctxcxtxctxctxcxnnnnnnnnnn由于它的系数行列式是方程的由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的个线性无关解的Wronskian 行列式在行列式在 处的值处的值, 故它不为零故它不为零. 0t因而上面的方程组有惟一解因而上面的方程组有惟一解,21nccc现以这现以这 目录 上页 下页 返回 结束组解构造函数组解构造函数niiitxct1).()(由解的叠加原理由

21、解的叠加原理和惟一性定理得和惟一性定理得),()(txt 即即niiitxctx1).()(定理定理4.7 (通解结构定理通解结构定理)12( )( ),( )nx tx tx t，若若 是方程（是方程（4.1.24.1.2）的的n个线个线性无关的解，则方程的通解可以表示成性无关的解，则方程的通解可以表示成 niiitxctx1).()(其中其中 12,nc cc是任意常数是任意常数 . 目录 上页 下页 返回 结束综上得到下列等价命题综上得到下列等价命题.定理定理4.84.812( )( ),( )nx tx tx t，是方程是方程（4.1.2）的的n n个解，个解， 设设 则下列命题等价则

22、下列命题等价 (1) (1) 方程方程（4.1.2）的通解为的通解为 niiitxctx1).()(2) (2) 是方程的基本解组是方程的基本解组. . 12( )( ),( )nx tx tx t，(3) (3) 在在(a,b)(a,b)上线性无关上线性无关. . 12( )( ),( )nx tx tx t，(4) 存在存在),(0bat 使使 .0)(0tW(5) 任给任给),(bat 有有 .0)(tW 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 4.9 (4.9 (刘维尔公式刘维尔公式) )注注1 1： 在在 内有一点为零，则在整个内有一点为零，则在整个)(tW),(ba),(ba上恒为零

23、上恒为零.设设 是（是（4.1.24.1.2）的任意）的任意n n个解，个解， 12( )( ),( )nx tx tx t，是它的是它的WronskianWronskian行列式，则对行列式，则对(a,b)(a,b)上上任意任意都有都有 )(tWttdssatWtW0).)(exp()()(10一点，一点，上述公式我们称为刘维尔上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式公式. 目录 上页 下页 返回 结束注注2 2：对二阶微分方程对二阶微分方程 ( )( )0 xp x xq x x若若 1( )x t是方程的一个解，则可得通解是方程的一个解，则可得通解. .设是设是 与与 不同解，则

24、由刘维尔公式可以推得不同解，则由刘维尔公式可以推得2( )x t1122exp( )x xx xcp t dt用用 乘以上式两端可得乘以上式两端可得 211x2211()exp( )xdcp t dtdtxx)(1tx 目录 上页 下页 返回 结束由此得由此得 21211exp( )xcp t dt dtcxx取取 则则10,1cc为另一个解，因为为另一个解，因为112112)(exp(1)(xcdtdttpxxctxdtdttpxxx)(exp(121120)(exp()(2121dttpxxxxtW所以所以1x与与2x线性无关线性无关. 目录 上页 下页 返回 结束例例5 5 求方程求方程

25、 的通解的通解. . 2(1)220txtxx解：易知解：易知 为通解，所以为通解，所以 1xt112212exp()1txx ccdt dtxt122(1)dtt cctt) 111ln2(1tttctc 目录 上页 下页 返回 结束三、非齐次线性方程解的结构三、非齐次线性方程解的结构定理定理4.104.10 n n阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程 1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt的通解等于它所对应的齐次方程的通解与的通解等于它所对应的齐次方程的通解与 它的一个特解之和。它的一个特解之和。(4.1.10) 目录 上页 下页 返回

26、 结束证明证明: 设设*x是方程是方程 （4.1.10) 的一个特解，的一个特解，x是方程是方程 （4.1.2) 的通解。首先我们证明的通解。首先我们证明xxx*是方程是方程 （4.1.10) 的解。事实上的解。事实上,*xLxLxxLxL).(, 0*tfxLxL所以所以),(*tfxxLxLxxx*是方程是方程 （4.1.10) 的解。的解。即即 目录 上页 下页 返回 结束xxx*是方程是方程 （4.1.10) 的通解。的通解。其次证其次证即证对于（即证对于（4.1.10）的任意一解）的任意一解, x总可以表示为总可以表示为,0*xxx0 x其中其中是由是由x中的任意常数取中的任意常数取

27、某一特定的值而得到的。事实上，某一特定的值而得到的。事实上， 因为因为, 0)()(*tftfxLxLxxL所以所以0*xxx是方程（是方程（4.1.2）的解，其中）的解，其中0 x可由可由x中的任意常数取某一特定的值而得到。中的任意常数取某一特定的值而得到。.0*xxx于是于是 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 4.114.11 设设 与与 分别是非齐次线性方程分别是非齐次线性方程1( )x t2( )x t11111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt和和11121( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t x

28、f tdtdtdt的解的解 ，则，则 是方程是方程 12( )( )x tx t111121( )( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t xf tf tdtdtdt的解。的解。 目录 上页 下页 返回 结束证明：由已知可得证明：由已知可得).()(),()(2211tftxLtftxL因为因为).()()()(2121tftftxtxL所以所以)()(21txtx是方程是方程)()(21tftfxL的解。的解。 目录 上页 下页 返回 结束常数变易法求特解常数变易法求特解12( )( ),( )nx tx tx t，是方程是方程（4.1.2）的的n n个线个线性性设

29、设 无关的解，无关的解， 因而因而 (4.1.2) 的通解为的通解为)()()()(2211txctxctxctxnn(4.1.11)为求为求 (4.1.1) 的一个特解的一个特解, 将将(4.1.11) 中的中的 常数看成常数看成关于关于t 的函数的函数, 此时此时(4.1.11) 式变为式变为)()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn(4.1.12)将将 (4.1.12) 代入代入 (4.1.1) 得到一个得到一个),(,),(),(21tctctcn所满足的关系式所满足的关系式. 目录 上页 下页 返回 结束我们还需要另外我们还需要另外 n-1个条件来求出个条件

30、来求出),(,),(),(21tctctcn在理论上这些条件是任意给出的在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件个条件.对对 (4.1.12) 式两边对式两边对t 求导得求导得)()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn).()()()()()(2211txtctxtctxtcnn令令, 0)()()()()()(2211txtctxtctxtcnn得到得到).()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn 目录 上页 下页 返回 结束对上式两边继续对对上式两边继续对t 求导求导, 并象上面的方法一样并象上面的方法一样, 我们得到我们得到, 0)()()()()()(2211txtctxtctxtcnn).()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn 继续上面的做法继续上面的做法, 直到获得第直到获得第 n-1 个条件个条件, 0)()()()()()()2()2(22)2(11txtctxtctxtcnnnnn).()()