常微分方程：5-1 非线性方程研究的例子与概念

1、 目录 上页 下页 返回 结束5.1 非线性方程研究的例子与概念非线性方程研究的例子与概念 5.1.1 例子例子5.1.3 基本定义基本定义5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、自治微分方程与非自治微分方程、动力系统动力系统 目录 上页 下页 返回 结束例例 讨论当时下面方程组解的性态讨论当时下面方程组解的性态.4444()()dxyx xydtdyxy xydt （5.1.1） 目录 上页 下页 返回 结束解解 由于由于(5.1.1)是一个非线性方程组，无法求出其是一个非线性方程组，无法求出其故我们故我们用定性分析法用定性分析法来讨论来讨论(5.1.1)当当t 时解的性态时解的性态.将将

2、(5.1.1)满足满足00(0), (0)xxyy的解记为的解记为0000( ,),( ,)xx t xyyy t xy在时刻在时刻 ，该解在平面上的点为：，该解在平面上的点为：t0000( ( ,), ( ,)P x t xyy t xy 目录 上页 下页 返回 结束点随着时间点随着时间t而变化，而变化， 点到坐标原点点到坐标原点PP(0,0)O220000( )( ,)( ,)R tx t xyy t xy由于由于0000( ,)( )2 ( )2 ( ,)dx t xydR tR tx t xydtdt0000( ,)2 ( ,)dy t xyy t xydt利用解满足的方程利用解满足的

3、方程(5.1.1)得得440000( )( )( ,)( ,)0dR tR tx t xyy t xydt 目录 上页 下页 返回 结束于是，于是， 随时间单调减少，随时间单调减少，再利用反证法可以再利用反证法可以( )R t得到得到 。我们得结论是。我们得结论是lim( )0tR t0000lim ( ,)0, lim( ,)0ttx t xyy t xy即设有求解方程组即设有求解方程组(5.1.1)，我们也成功地解决了，我们也成功地解决了解的性态分析问题。解的性态分析问题。本章就是要给出通过方程的形式来分析解的本章就是要给出通过方程的形式来分析解的法。接下来先给出一些基本概念。法。接下来先

4、给出一些基本概念。 目录 上页 下页 返回 结束我们考虑一般的方程我们考虑一般的方程 :1112221212( ;,.,)( ;,.,).( ;,.,)nnnnndxf t x xxdtdxf t x xxdtdxf t x xxdt（5.1.2）方程组（方程组（5.1.2）可以记为向量形式）可以记为向量形式5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程自治微分方程与非自治微分方程, ,动力系统动力系统),(xtFdtdx（5.1.3） 目录 上页 下页 返回 结束其中其中:1121221212( ;,.,)( ;,.,),( ,).( ;,.,)nnnnnf t x xxxxf t x xxXF

5、t Xxf t x xx如果还有初始值条件如果还有初始值条件 :00( )X tX102000.nxxXx(5.1.4) 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.3)和和(5.1.4)就是一个初始值问题。就是一个初始值问题。我们称向量函数为初始值问题我们称向量函数为初始值问题(5.1.3)，(5.1.4)的的解。如果它满足解。如果它满足:0000( ; ,)( ,( ; ,)dX t tXF t X t tXdt和和0000;,X t tXX关于初始值问题关于初始值问题(5.1.3)，(5.1.4)也有解的存在惟也有解的存在惟一性定理一性定理 目录 上页 下页 返回 结束微分方程微分方程(5.1

6、.3)在在 维空间维空间1n112;,.,nnRt x xx中确定了一个向量场，而满足中确定了一个向量场，而满足(5.1.3),(5.1.4)的解的解0( ; ,)X t tX就是向量场中的一条积分曲线就是向量场中的一条积分曲线。当当(5.1.3)中的中的 函数满足解的存在惟一性条件函数满足解的存在惟一性条件F时，向量场中的任一点只有一条积分曲线经过。时，向量场中的任一点只有一条积分曲线经过。如果把如果把t理解为时间参量而只考虑空间变量理解为时间参量而只考虑空间变量 目录 上页 下页 返回 结束12,.,nx xx所在的空间所在的空间,即即 构成的构成的12,.,nx xx空间空间 称之为方程

7、组称之为方程组(5.1.3)的的相空间相空间,积分曲线在积分曲线在nR相空间的投影曲线称为方程组的相空间的投影曲线称为方程组的轨线轨线。一般地方程组一般地方程组(5.1.3)中的函数中的函数 是与是与 相关的相关的,Ft这时的这时的(5.1.3)就称为就称为非自治微分方程组非自治微分方程组,如果如果 函函F函数中不显含函数中不显含 ,即即t()dXF Xdt(5.1.5) 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.5)就称为就称为自治微分方程组自治微分方程组。可以从运动的观点来解释方程可以从运动的观点来解释方程(5.1.3)或或(5.1.5),即把即把 理解为时间理解为时间(不管它在实际问题中是否

8、确为不管它在实际问题中是否确为t时间时间), 理解为维空间理解为维空间 中点的坐标中点的坐标.因而在任因而在任XnR意时刻意时刻 ,(5.1.3)在空间中定义了一个速度场在空间中定义了一个速度场t12( ;,.,)inf t x xx即为即为 时刻点时刻点t12(,.,)nX xxx 目录 上页 下页 返回 结束处的第处的第 个速度分量个速度分量,方程的解方程的解i00( ; ,)XX t tX即给出了质点的运动规律即给出了质点的运动规律.因而称之为一个因而称之为一个运动运动。在以上的意义下在以上的意义下,我们称方程我们称方程(5.1.3)为一个动力系为一个动力系统。相应的统。相应的(5.1.

9、3)称为称为非自治系统，非自治系统，(5.1.5)称为称为自治系统自治系统。 目录 上页 下页 返回 结束5.1.3 基本定义基本定义一般情况下方程一般情况下方程(5.1.3)是无法用初等积分的方是无法用初等积分的方法求解的，这当然为研究带了不便。但正因为这样法求解的，这当然为研究带了不便。但正因为这样才使得非线性问题的研究更加丰富多彩。在许多应才使得非线性问题的研究更加丰富多彩。在许多应场合没必要求出其精确解的具体形式。我们更感兴场合没必要求出其精确解的具体形式。我们更感兴趣的是方程趣的是方程(5.1.3)的解的定性性态，在应用中比较的解的定性性态，在应用中比较重要的问题包括重要的问题包括:

10、 目录 上页 下页 返回 结束(1)是否存在常数值是否存在常数值123.xxXx( )X tX使得使得 是是(5.1.3)的解的解.(2)设设 是是(5.1.3)的解的解, 是是(5.1.3)的另的另一个( )X t( )Y t解，解， 与与 很接近时，对于一切很接近时，对于一切 是否有是否有(0)Y(0)Xt( )X t( )Y t有有 与与 都很接近都很接近?这个问题就是后边涉及到的稳定性问题。这个问题就是后边涉及到的稳定性问题。 目录 上页 下页 返回 结束(4)当当 时时(5.1.3)任一解任一解 有何趋向？有何趋向？t ( )X t它是否趋向于常数解或周期解它是否趋向于常数解或周期解

11、?本章将着重解决这些问题，下边是几个基本定义本章将着重解决这些问题，下边是几个基本定义:定义定义5.1 系统（系统（5.1.3）的常数解）的常数解 称为称为XX系统的平衡点系统的平衡点(奇点或驻点奇点或驻点)，常数解，常数解 满足：满足：X( ,)0F t X它是否趋向于常数解或周期解。它是否趋向于常数解或周期解。()( )(0)X tTX t T(3) (5.1.3)是否有解是否有解 ，满足，满足( )X t 目录 上页 下页 返回 结束例例 求下列系统的平衡点：求下列系统的平衡点：1232121dxxdtdxxxdt 2312100 xxx解解 由定义，令由定义，令解得解得121,1xx

12、所以方程组有惟一的平衡点。所以方程组有惟一的平衡点。 目录 上页 下页 返回 结束如果系统如果系统(5.1.3)的某个解的某个解 满足对一切满足对一切( )XX ttR均有()( )X tTX t其中其中 为一个常数，则称此解为一个常数，则称此解 为(5.1.3)0T ( )X t的一个周期解。的一个周期解。周期解定义周期解定义 目录 上页 下页 返回 结束连续，关于连续，关于 满足满足李普希兹条件李普希兹条件。且。且 (5.1.3)tRX设设(5.1.3)的右端函数的右端函数 ，对于，对于 和和( ,)F t XnXGR有一个解定义于及有一个解定义于及( )Xt 0tt 00( )t ( )

13、0, 如果对于任意的如果对于任意的0,存在一个存在一个使得对于使得对于(5.1.3)的任一满足的任一满足 的解的解00( )X tX00( ; ,),X t tX只要：只要：下边我们给出系统下边我们给出系统(5.1.3)解的稳定性定义。解的稳定性定义。 目录 上页 下页 返回 结束( )Xt 是是李雅普诺夫意义下稳定的李雅普诺夫意义下稳定的，简称，简称稳定的稳定的。00,X(5.1.6)就有就有00( ; ,)( ),X t tXt(5.1.7)对于所有的对于所有的 成立，则称方程（成立，则称方程（5.1.3）的解）的解:0tt如果如果(5.1.3)的解的解 不是稳定的，则称它是不是稳定的，则

14、称它是不不( )Xt 稳定的稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.3)零解稳定的几何意义是对任意给定的半零解稳定的几何意义是对任意给定的半径总能在中径总能在中 找到一个以原点为中心、半径为找到一个以原点为中心、半径为nR的开球的开球 ，使得，使得(5.1.3)在时刻从出发的解曲线当在时刻从出发的解曲线当B时总停留在半径为时总停留在半径为 的开球的开球 内。内。B 目录 上页 下页 返回 结束如果方程如果方程(5.1.3)的解的解 是稳定的，而且是稳定的，而且( )Xt 存在一个常数存在一个常数 ，使对于一切满足，使对于一切满足00000X(5.1.8)的解的解 ,都有都有00( ;

15、,)X t tX00lim( ; ,)( )0tX t tXt(5.1.9)则称解则称解 是是渐近稳定的渐近稳定的。( )Xt 如果如果(5.1.3)的解的解 是渐近稳定的是渐近稳定的,且存在且存在( )Xt 区域区域 ，只要，只要 ，就有，就有0D00XD 目录 上页 下页 返回 结束稳定域或吸收域稳定域或吸收域。00lim( ; ,)( )0tX t tXt则称区域则称区域 为为(5.1.3)的解的解 的的渐近渐近0D( )Xt 如果解如果解 的渐近稳定域是全空间，则的渐近稳定域是全空间，则( )Xt 称此解是称此解是全局渐近稳定的全局渐近稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束关于稳定性还

16、有几点要注意的关于稳定性还有几点要注意的:注注1 上边的定义中是针对上边的定义中是针对 或或 ，0ttt 以有时把上边定义中的稳定性称为正向稳定的（不以有时把上边定义中的稳定性称为正向稳定的（不稳定的，渐近稳定的等），如果把稳定的，渐近稳定的等），如果把 的趋向改为的趋向改为t0ttt 或或 ，相应地可定义负向稳定的，相应地可定义负向稳定的(不稳定的，渐近稳定的等不稳定的，渐近稳定的等)，以后如无特别声明我，以后如无特别声明我们所说的稳定性均指正向稳定性。们所说的稳定性均指正向稳定性。 目录 上页 下页 返回 结束注注2 当定义中的当定义中的 为系统的奇点时为系统的奇点时( ) tX即可得出奇点的稳定性。即可得出奇点的稳定性。注注3 由于在研究（由于在研究（5.1.3）的某一特解）的某一特解( )Xt 的稳定性时，总可以用变换的稳定性时，总可以用变换( )( )( )Y tX tt(5.1.10)将将(5.1.3)化为化为( , )dYG t Ydt(5