复变函数第二章答案

1、第二章解析函数1 用导数定义，求以下函数的导数： f(x) zRe z.解：因f(zZ) f(z)zlim (zz 0z) Re(z z) z RezzzRe z zRez zRe z limz 0lim(Re zz 0Re zRe z、z )zlim(Re zz 0Re z、z )zlim(Re zx 0y 0zTy)，当z 0时，上述极限不存在，故导数不存在；当z 0时，上述极限为0,故导数为0.2 .以下函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？(1) f(z) z z2.解:f(z)_ 2 z zz zz |z|2z(x2y2)(xiy)x(x2y2)iy(x2y2),这里u(

2、x,y)x(x2y2),v(x, y)y(x2y2).2Ux x2y2x2,vy2 22x y 2yUy 2xy,Vx 2xy.要 Ux Vy,UyVx，当且当 x y 0,而 Ux,Uy,Vx,Vy 均连续，故 f(Z)ZZ.仅在z 0处可导，处处不解析.(2) f (z) x3 3xy2 i (3x2y y3).解：这里 u(x, y) x3 3xy2,v(x, y) 3x2y y3.Ux 3x2 3y2,Uy6xy,Vx 6xy,Vy 3x2 3y2,四个偏导数均连续且UxVy ,UyVx处处成立，故f (z)在整个复平面上处处可导也处处解析.3.确定以下函数的解析区域和奇点，并求出导数

3、.(1) az b (c, d至少有一不为零).cz d解：当c 0时，f(z) 壬丄除z -外在复平面上处处解析,z -为奇点, cz dccaz bf(z)()cz d(az b) (cz d) (cz d) (az b)(cz d)2a(cz d) c(az b) ad cb2 2 .(cz d)(cz d)当c 0时，显然有d 0,故f (z) az b在复平面上处处解析，且f (z). ddf (z)在区域D内解析,并满足以下条件之一，试证f (z)必为常数.(1) f(z)在区域D内解析； v u2;arg f在D内为常数；(4) au bv c(a,b,c为不全为零的实常数).证

4、(1)因为f(z)在D中解析，所以满足C R条件又f(z) u iv也在D中解析，也满足C R条件u ( v) u ( v)从而应有u 0恒成立，故在D中u, v为常数，f (z)为常数.y x y 因f(z)在D中解析且有f(z) u iu2,由C R条件，有uu2u ,xyuu2u yx那么可推出C(常数).故f(z)必为D中常数.设f(z) uiv，由条件知arcta nv uC,从而i(v/u)x (v/u)2(v/u)°，山 0,计算得u2 (-% v) /u2X X2 2u v-v)/u y0,化简，利用C所以x yR条件得0,同理丄xuuyuux0,-v 0. y-0,

5、即在D中u,v为常数，故f (z)在D中为常 yub vubvxa x'yay由C R条件u buv bvx ayx aybv)/a,求导得法一：设a0,那么 u (c故u,v必为常数，即f (z)在D中为常数.设a 0,b0,c0那么bv c,知 v为常数，又由C R条件知u也必为常数，所以f (z)在D中为常数.法二：等式两边对x, y求偏导得:auxauybVxbVy0 '由C R条件，我们有auxbuxbuyauy0,即ab uxa uy而 a2 b20 ,故 uxUy0，从而u为常数,即有f (z)在D中为常数.f (z)在区域D内解析,试证：(一2x2 2-)1 f

6、(z) |2 y4|f (z)|2.证：设 f(z) u iv,|f(z)|2 u2 v2,f (z)xi 丄，|f(z)| y(丄)2x(丄)2.y而2(rx2-)1 f(z)| y22 (u2xv2)22 (u2yv2)2u、2 u-)u 2x x(J2 vx2v2x(节2u2yv 2()2y又f(z)解析,那么实部u及虚部v2uu1 x0,2v2x0.2-)I f(z) I2yu、24(U)(上)2)y4| f (z) I2.f(z) u iv.(1)u (xy)(x24xyy2);解：因上 3x2 6xy 3y2,所以x yv(3x26xy3y2：)dy3x2y3xy23y(x),vc

7、又6xy3y2(x),而-3x2 6xy3y2,所以(x)3x2,那么xx3(x)xC .故f(z)uiv(xy)(x24xyy2)i (3x2 y3xy2 y3 x3 C)(1i)x2(xiy)y2(1i)(x iy)2x2y(1 i) 2xy2(1 i) Ciz(1i)(x2y2)2xyiiz(1 i)Ci(1i)z(x22y2xyi)Ci(1i)z3 'Ci v 2xy 3x;解:因丄x2y 3,-2x,由f(z)解析，有 y2u2xdx x(y).uxvy2x,又-uv2y3,而-u(y),所以(y) 2y 3,那么(y)y2 3y Cyxy故f(z)2 x2y3y C i(2

8、 xy 3x). u 2(x 1)y, f(2) i;解：因丄 2yu 2(x 1),由f(z)的解析性，有上2(x 1),xyx yv2(x 1)dx(x 1)(y),又丄uv2y,而(y),所以(y)2y,(y) y2 C,那么yxyv2 2(x 1) yC,故f(z) 2(x1)y i( (x1)2y2 C),由 f(2) i 得 f(2) i( 1 C)i,推出 C 0.即2 2f (z) 2(x 1)y i(yx 2x 1)i( z2 2z 1) i(z 1)2.v epxsin y,求p的值使v为调和函数，并求出解析函数f (z) u iv.解：要使v(x, y)为调和函数，那么有

9、v Vxx Vyy 0.即p2epxsin y epxsiny 0,所以p 1时,V为调和函数，要使f (Z)解析，那么有Ux Vy,Uyvx.x 1 xu(x, y)uxdxepxcosydx epxcosy (y),p1uy epxsi ny (y) pepx si n y.p所以(y)(宀八y)(p)epxcosyPC.即 u(x,y) pepxcosy C,故pxf(z)ex(cos y i sin y) C(cos y i sin y)C, pez C, p1,1.8 试解方程:(1)2(cos i sin )33i( 2k )2e 3ln zie2ln 2 i(2k e3)k 0, 1,2.ln2 i(2k3), k 0,1, 2.cos 2i sin2i.9求以下各式的值。(1) cosi;解 cos iei(i)ei(i)2 Ln( 34i)；解：Ln( 34i) In5iArg ( 34i)ln 5i(2k4、 arcta n).3(1 i)1 i;解：(1 i)1 ie(1i)Ln(T(1i) In J