湖北省武汉二中20152016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

1、 武汉二中2015-2016学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试时间: 2016年1月27日上午8: 0010: 00 试卷满分: 150分一、选择题: (本大题共12小题; 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在答题卡上. ) 1.两个事件对立是两个事件互斥的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数据(xi, yi)(i1,2, , n), 用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.

2、71, 则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(, )C若该大学某女生身高增加1 cm, 则其体重约增加0.85 kgD若该大学某女生身高为170 cm, 则可断定其体重必为58.79 kg3.下列命题正确的是( )A.若, 为两个命题, 则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；B.若为：, 则为：；C.命题为真命题, 命题为假命题。则命题, 都是真命题；D.命题“若, 则”的逆否命题是“若, 则”.4.从2003件产品中选取50件, 若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件, 剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取, 则每件产

3、品被选中的概率 ( )A.不都相等 B.都不相等 C.都相等, 且为 D.都相等, 且为5.在下列命题中：若向量共线, 则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线, 则向量不共面；若三个向量两两共面, 则向量共面； 已知空间不共面的三个向量, 则对于空间的任意一个向量, 总存在实数, 使得；其中正确的命题的个数是（ ）A0 B 1 C 2 D 36. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为, 当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213, 341等）. 若, 且互不相同, 任取一个三位自然数, 则它是“有缘数”的概率是( )A. B. C. D.7. 如果B

4、, 则使P(k)取最大值时的k值为()A5或6 B6或7 C7或8 D以上均错8. 已知实数, 执行如图所示的程序框图, 则输出的不小于55的概率为( )A. B. C. D.9. 若的展开式的各项系数和为243,则的系数为( )A.10 B.20 C.30 D.6010. 若某同学连续三次考试的名次(第一名为1,第二名为2,依次类推且可以有名次并列情况)均不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据, 推断一定不是尖子生的是( )A.甲同学：均值为2, 中位数为2 B.乙同学：均值为2, 方差小于1C.丙同学：中位数为2, 众数为2 D.丁同学：众

5、数为2, 方差大于111. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和, 且各次射击相互独立, 若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击, 直到有一人击中目标就停止射击, 则停止射击时, 甲射击了两次的概率是（ ）ABCD12. 已知双曲线的左、右焦点分别是,过的直线交双曲线的右支于两点,若,且,则该双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.二、填空题: (本大题共有4个小题, 每小题5分, 共20分. 把正确答案填在答题卡的相应位置. ) 13. 有名数学实习老师,现将他们分配到高二年级的三个班实习,每班至少名,最多名,则不同的分配方案有 种（用数字作答）14甲、乙两个小组各名学生的英语口语测试

6、成绩的茎叶图如图所示现从这名学生中随机抽取一人, 将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于分”记为事件则的值是_ 第14题 第15题 15. 在一个正方体中, 为正方形四边上的动点, 为底面正方形的中心, 分别为的中点, 点为平面内一点, 线段与互相平分, 则满足的实数的值有_个16. 已知圆及抛物线,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点自左向右顺次记为,如果线段的长度按此顺序构成一个等差数列,则直线的斜率为_ 三、解答题: (本大题共6个小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. ) 17. (本小题满分10分)已知命题p：方程表示焦点

7、在y轴上的椭圆；命题q：双曲线的离心率, 若p、q有且只有一个为真, 求的取值范围.18. (本小题满分12分)设函数, 其中是某范围内的随机数, 分别在下列条件下, 求事件A “且”发生的概率. (1) 若随机数； (2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果(注: 符号“”表示“乘号”)19. (本小题满分12分) 如图, 在三棱柱中, ,顶点在底面上的射影恰为点, 且(1) 证明：平面平面(2) 求棱与所成的角的大小；(3) 若点为的中点, 并求出二面角的平面角的余弦值.20.(本小题满分12分)某市一高中经过层层上报, 被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特

8、色学校.该校成立了特色足球队, 队员来自高中三个年级, 人数为50人.视力对踢足球有一定的影响, 因而对这50人的视力作一调查.测量这50人的视力(非矫正视力)后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间, 将测量结果按如下方式分成6组：第一组, 第二组, ,第6组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.又知：该校所在的省中, 全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布.试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；求这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人数；在这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人

9、中任意抽取2人, 该2人中视力排名(从高到低)在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为,求的数学期望.参考数据：若N(, 2), 则 0.6826, ,21. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为, 以原点为圆心, 椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程；(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点, 问：在轴上是否存在点, 使为定值？若存在, 试求出点的坐标和定值, 若不存在, 说明理由.22. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中, 已知点是动点, 且三角形的三边所在直线的斜率满足 （1）求点的轨迹C的方程；（2）过点D(1,0)任作两条互相垂直的直线, 分别交轨迹C于点和

10、M, N, 设线段的中点分别为 求证：直线EF恒过一定点.武汉二中2015-2016学年度上学期期末考试高二理科数学参考答案一、 选择题：15ADBCB 610ABBCD 11-12 DD二、 填空题13. 14. 15.2 16. 三、 解答题：17. 解：将方程改写为，只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；4分因为双曲线的离心率，所以，且1，解得，6分所以命题q等价于； 8分若p真q假，则；若p假q真，则综上：的取值范围为10分18.解：由知，事件A “且”，即1分 (1) 因为随机数，所以共等可能地产生个数对，列举如下：， 4分事件A ：包含了其中个数对，即：

11、所以，即事件A发生的概率为 7分(2) 由题意，均是区间中的随机数，产生的点均匀地分布在边长为4的正方形区域中（如图），其面积. 8分事件A ：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：.10分所以，即事件的发生概率为 12分19.解：证明：,又,. 4分以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则,故与棱所成的角是. 8分因为为棱的中点，故易求得.设平面的法向量为,则,由,得,令,则,而平面的法向量.则.由图可知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值是. 12分20.解：由频率分布直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4.80.1+4.90.2+5.00.3+5.10.2+5.20

12、.1+5.30.1=5.03高于全省喜爱足球的高中生的平均值5.01. 4分由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5.15以上(含5.15)，其频率为0.2,人数为0.250=10,即这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人数为10人. 6分,即,. 8分所以全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5.25以上.这50人中视力在5.25以上的有0.150=5人,这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人分为两部分:5人在5.25以上,5人在5.155.25. 9分随机变量可取0,1,2,于是,. 12分21. 解答.(1)由得,即 1分又以原点O为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆为且与直线相切,所以代入得c=2, 2分所以.所以椭圆C的标准方程为 4分(2)由得 6分设,所以 8分根据题意,假设轴上存在定点E(m,0),使得为定值.则9分=要使上式为定值,即与k无关, 10分得. 11分 此时, ,所以在轴上存在定点E