傅立叶变换的推导(原文档排版有问题,此为经重新修正版本)

1、第二章第二章 确定信号分析确定信号分析 第一节第一节 确定信号的傅里叶变化及其推导确定信号的傅里叶变化及其推导第二节第二节 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换第三节第三节 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第四节第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理周期信号的傅里叶变换及抽样定理第一节第一节 确定信号的傅里叶变换确定信号的傅里叶变换及其推导及其推导1 1，傅里叶变换的基本结论傅里叶变换的基本结论2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析4 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形式的傅里叶级数的推导5 5，指数形式的

2、傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导7 7，傅里叶变换的分析傅里叶变换的分析（1 1）三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数（2 2）复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数（3 3）傅里叶变换傅里叶变换0111( )cos()sin()2nnnaf tantbnt1( )jntnnf tF e2( )( )jftf tF f edf1 1，傅里叶变换的基本结论傅里叶变换的基本结论 式式根据三角函数的正交性，对式两边积分，得：根据三角函数的正交性，对式两边积分，得：0111( )cos()sin()2nnnaf tantbnt0022211122

3、2()cos()sin()22TTTnnTTTnaaf tdtdtan tbn tdtT2022( )TTaf t dtT2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导对式两边同乘对式两边同乘 再在再在 积分，得：积分，得：1cos()nt,2 2T T212( )cos()TTf tnt dt20221111122cos()cos ()sin()cos()2TTnnTTnant dtantbntnt dt2naT2122( )cos()TnTaf tnt dtT2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导同理，对式两边同乘同理，对式两边同乘 再在再在 积分，得：

4、积分，得：1sin()nt,2 2T T212( )sin()TTf tnt dt2nbT20221111122sin()cos()sin()sin ()2TTnnTTnant dtantntbnt dt2122( )sin()TnTbf tnt dtT2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导由此可得三角形式的傅里叶级数：由此可得三角形式的傅里叶级数：其中：其中：0111( )cos()sin()2nnnaf tantbnt2022( )TTaf t dtT2122( )cos()TnTaf tnt dtT2122( )sin()TnTbf tnt dtT2 2，三角形式的

5、傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导式式式式式式（1 1）奇偶性奇偶性 为偶函数为偶函数 为奇函数为奇函数2122( )cos()TnTaf tnt dtT2122( )sin()TnTbf tnt dtT3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析（2 2）同频合并同频合并： 其中：其中： 被称为频率谱，被称为频率谱， 被称为相位谱。被称为相位谱。011( )cos()2nnncf tcnt00ca22nnncabarctan()nnnba ncn3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析令令 ，则，则 （奇偶性）（奇偶性）令令 ，则得：，则得：111

6、1cos()()2jntjntntee1111sin()()2jntjntnteej0111( )cos()sin()2nnnaf tantbnt111101()()222jntjntjntjntnnnaabeeeej1101()()222jntjntnnnnnaajbajbee1()2nnajbF n1()2nnajbFn0(0)2aF1( )jntnnf tF e4 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形式的傅里叶级数的推导1()2nnajbF n21121( )(cos()sin()TTf tntjnt dtT1221( )TjntTf t edtT4 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形

7、式的傅里叶级数的推导2211221 22( )cos()( )sin()2TTTTf tnt dtjf tnt dtTT（1 1）指数形式的傅里叶级数对指数形式的傅里叶级数对 式式 式式 （2 2）思考：思考： 其中的其中的2 2到哪去了？到哪去了？1( )jntnnf tF e1221( )( )TjntTF nf t edtT2122( )cos()TnTaf tnt dtT1221( )( )TjntTF nf t edtT5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析（3 3） 其中频率谱其中频率谱 相位谱相位谱（4 4） 当当 为偶函数时，为偶函数时， ，则，则 为实函

8、数，为实函数， 当当 为奇函数时，为奇函数时， ，则，则 为纯虚函数，为纯虚函数，11()()2njnnajbF nF ne2211()22nnncF nabarctan()nnnba 2122( )cos()TnTaf tnt dtT2122( )sin()TnTbf tnt dtT( )f t0nb 1()F n( )f t0na 1()F n5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析由上一节的推导可知，由上一节的推导可知，两边同乘两边同乘T T， 得：得： ，其，其中中当当 时，时， 令令 , , 得 则则12121()( )TjntTF nf t edtT1212()

9、( )TjntTTF nf t edt2TT 120T1n112()( )j tF nf t edt112( )()FF n()( )j tFf t edt1111()( )jntnF nf te6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导 ，且且 ， 112( )()FF n1d( )1( )( )22j tj tFf tedFed6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导2( )jftF f edf（1 1）傅里叶变换对：傅里叶变换对： 式式 式式 规律：正变换为负，反变换为正。规律：正变换为负，反变换为正。（2 2）傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积2

10、( )( )jftf tF f edf2( )( )jftF ff t edt7 7，傅里叶变换的分析傅里叶变换的分析第二节第二节 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换1 1，冲击函数冲击函数2 2，冲击偶函数冲击偶函数3 3，单边指数信号单边指数信号4 4，双边指数信号双边指数信号5 5，符号函数符号函数6 6，指数函数指数函数7 7，余弦函数余弦函数8 8，矩形窗函数矩形窗函数( )( )f tt2( )( )1jftF ft edt1 1，冲击函数冲击函数思考：思考：0 0频率与冲击的区别。频率与冲击的区别。( )( )f tt22( )( )( )jftjftF ft edtt e

11、2jf2( )(2)jfttjf edt2 2，冲击偶函数冲击偶函数( )0atef t00tt2( )( )jftF ff t edt3 3，单边指数信号单边指数信号2012atjfteedtajf( )atf te2( )( )jftF ff t edt2211222(2)aajfajfaf4 4，双边指数信号双边指数信号0220atjftatjfte edteedt 可以看成是可以看成是 ，1( )sgn( )1f tt00ttsgn( ) t0limatae22( )( )jftjatjftF ff t edteedt2202 21lim(2)ajfjfaf5 5，符号函数符号函数02

12、0( )()jf tf teff( )1t2( )jfttedf2( )jftfedt0222( )( )jf tjftjftF ff t edteedt6 6，指数函数指数函数0001( )cos(2) ()()2f tf tffff002201cos(2)()2jf tjf tf tee001( ) ()()2F fffff7 7，余弦函数余弦函数( )( )0TAf tG t22TTtother 2( )( )jftF ff t edt22 sin()22fTAjjf8 8，矩形窗函数矩形窗函数2222222()2TTTjfjfjftTAAedteejf()sin ()ATSinfTAT

13、c fTfT第三节第三节 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1 1，对称性对称性2 2，尺度变换尺度变换3 3，时移特性时移特性4 4，频移特性频移特性5 5，奇偶虚实性奇偶虚实性6 6，傅里叶变换综合例题傅里叶变换综合例题1 1，对称性对称性若若 则则推导：推导： 互换互换 和和 ，得：，得： 也即也即( )( )f tF f( )()F tff2( )( )jftf tF f edf2()( )jftftF f edfft2()( )jftffF t edt( )()F tff2 2，尺度变换尺度变换若若 ，则，则推导：推导： 令令 则则 ( )( )f tF f1()()ff atFaa2

14、1( )()jftF ff at edtxat1dtdxa2111( )( )()fjxafF ff x edxFaaa2111( )( )()fjxafF ff x edxFaaa1()()ff atFaa0a 0a 3 3，时移特性时移特性若若 ，则，则推导：推导： 令令 则则 ( )( )f tF f020()( )jftf ttF f e210( )()jftF ff tt edt0 xtt 0txt02()1( )( )jf x tF ff x edx002221( )( )( )jftjftjfxF ff x edxeF f e4 4，频移特性频移特性若若 ，则，则推导：推导： 令

15、令 则则( )( )f tF f020()( )jf tF fff t e210( )()jftf tF ff edf0 xff0fxf02 ()1( )( )jxftf tF x edx022( )jf tjxtF x edxe02( )jf tf t e5 5，奇偶虚实性奇偶虚实性若若 ，则：，则：（1 1） （2 2） （3 3）推导：推导：（1 1） ( )( )f tF f()()ftFf*( )()ftFf*()( )ftFf2( )( )jftF ff t edt21( )()jftF fft edtxt ( 2)( )( 1)jf xf x edx( 2)( )()jf xf

16、x edxFf( 2)()()()( 1)jftft edt5 5，奇偶虚实性奇偶虚实性（2 2）2( )( )jftF ff t edt*21( )( )jftF fft edt2* ( )jftf t edt( 2)*( )jf tf t edt*()Ff（3 3）由由(1)(2)(1)(2)即可得。即可得。6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）( )sin ( )f tc t( )()2TTf tgt( )()tf tT 1( )f tt2( )()2jffH freceW 0( )cos(2)cf tf t6 6，傅

17、里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（1 1）( )sin ( )f tc t( )sin ()TG tATc fT1( )sin ( )G tc f11sin ( )()( )c tGfG f6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（2 2）( )()2bTTf tG t( )sin ()TG tATc fT( )sin ()Tb bbG tATc fT22()sin ()2bTjfTb bbTG tATc fT esin ()bjfTb bbATc fT e6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（3 3）( )()tf tT ( )sin ()sin ()jfTjfTf

18、 tAc fT eAc fT esin ()2 sinAc fTjfTsin2sin ()fTATjfc fTfT22sin()ATjfcfT2( )()sin()tf tATcfTT 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（4 4）1( )f tt1sgn( ) tjf1sgn( )jtf1sgn()sgn( )jfjft 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（5 5）0( )cos(2)cf tf t00(2)(2)1( )2ccjf tjf tf tee002212ccjf tjjf tjeeee001( ) ()()2jjccF fff eff e特别地：当特别地

19、：当 时时0906 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（6 6）2()( )2sin ( 2)2WtrectGtWc f WW22sin (2)()WWc WtGf222sin (2()( )jfWWc W tGf e 2( )()2jffH freceW 22sin (2)( )WWc WtGf第四节第四节 周期信号的傅里叶变换及周期信号的傅里叶变换及抽样定理抽样定理1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2 2，抽样抽样3 3，对抽样的理解对抽样的理解4 4，低通抽样定理低通抽样定理5 5，带通抽样定理带通抽样定理1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换设设 为周

20、期信号，周期为为周期信号，周期为T T。则。则 可以展成傅里叶级数：可以展成傅里叶级数： 式对式两式对式两边进行傅里叶变换可得：边进行傅里叶变换可得： 式式其中其中 为数值。为数值。由傅里叶变换的知识，由傅里叶变换的知识，式变为：式变为：()f t112( )jntjnf tnnnnf tF eF e12( )()jnf tnnF fFenF121()jnf tefnf( )f t1( )()nnF fFfnf1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换其中其中 为为 的傅里叶级数的系数，即：的傅里叶级数的系数，即： 式现在构造式现在构造函数函数 为为 在在 的一段，其他部分为的一段，其他

21、部分为0 0，则，则 的傅的傅里叶变换为：里叶变换为： 式式对照式与式可知，对照式与式可知， 12221( )( )Tjnf tTF nf t edtT,2 2T T1( )f t22212( )( )( )TjftjftTF ff t edtf t edt1111()( )fnfF nfF fTnF( )f t( )f t1( )f t1111( )() ()nF fF nffnfT1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换特例：特例：( )()nf ttnT1( )1f t 11( )()nf tfnfT当周期信号为冲击序列时：当周期信号为冲击序列时：1( )( )f tt 周期冲击

22、序列的傅里叶变换为：周期冲击序列的傅里叶变换为：1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：11( )()TntfnfT11( )( )f tF f111( )( )()nf tF ffnfT1111() ()nF nffnfT（1 1）抽样的概念理解抽样的概念理解（2 2）设连续信号设连续信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 ，抽样序列，抽样序列 的的傅里叶变换为傅里叶变换为 。抽样之后所得序列。抽样之后所得序列 ，其，其傅里叶变换为傅里叶变换为 。（3 3）抽样序列为周期信号，抽样序列为周期信号， 其中用到了其中用到

23、了 函数的卷积性质函数的卷积性质( )f t( )F f( )P f( )( ) ( )sf tf t p t( )sF f1( )()nnP fPfnf1( )( )* ( )( )*()snnF fF fP fF fPfnf1()nnPF fnf( ) t ( )p t2 2，抽样抽样3 3，对抽样的理解对抽样的理解这是在这是在 影响下，影响下， 在频域的平移，平移的周期是在频域的平移，平移的周期是 。1( )()snnF fP F fnfnP( )F f1f3 3，对抽样的理解对抽样的理解（1 1）若若 是理想冲击序列，则其傅里叶变换是理想冲击序列，则其傅里叶变换 为：为： 由周期信号傅里叶变换的性质，由周期信号傅里叶变换的性质， 也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以前也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以前的的 ，也即一种无失真的抽样。，也即一种无失真的抽样。( )p t( )P f1( )()nnP fPfnf1111()( )fnfF