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1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理7.3.4 刚体的重心刚体的重心7.3.5 典型例子典型例子上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上

2、一点的角动量1.转轴为对称轴转轴为对称轴 zm1m2Or1r2 2r1r L1L2L如图如图,对对O点点 k 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 因因m1= m2= m kLL coscos222111vmrvmrL 22mr rrr 21rvv 21故总角动量故总角动量 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学2.转轴为非对称轴转轴为非对称轴 zm1m2O 2 12r 1r L1L2Lk 如图如图, 对对O点同样有点同样有 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 21LLL 总角动量与转轴成总角

3、动量与转轴成 角角. 刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量与角速度方向相同与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上一般情况，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之成一定夹角成一定夹角.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量iiiivmrL 质点系对点的角动量质点系对点的角动量 设刚体绕设刚体绕Oz 轴转动，刚体角动量在轴转动，刚体角动量在 z 轴的投影轴的投影 iizzLL iiirm

4、)(2ziizrv 22rmIiz刚体对刚体对 z 轴转动惯量轴转动惯量 刚体对刚体对 z 轴角动量轴角动量 zzzIL 转动惯量是转动惯性的量度转动惯量是转动惯性的量度. 22ML mkg 单单位位：1.转动惯量转动惯量 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学质量连续质量连续分布的刚体分布的刚体 VmSmlmmrJddddddd2 体体面面线线其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体分别为质量的线密度、面密

5、度和体密度密度.转轴的位置转轴的位置; 质量分布质量分布. 总质量；总质量；转动惯量的决定因素：转动惯量的决定因素：上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学例例1求均质圆盘求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量转动惯量 .解解242121mRhR xyzrdr盘由许多环组成盘由许多环组成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学2.几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量 圆筒圆筒 )(212221RRmI 圆环圆环I=m

6、R2 RmO O 圆柱圆柱 221mRI LRR2R12121mlI 细圆棒细圆棒l上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学R圆球圆球 252mRI 球壳球壳 R232mRI 3. 回转半径回转半径 任何转动惯量均有任何转动惯量均有 I = mk2 k称为回转半径称为回转半径 Rk52 圆球圆球Rk21 圆柱圆柱质量相同的刚体，质量相同的刚体，I ，k 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学(1)平行轴定理平行轴定理 ABCdxmi i i i iiCmI2 对对C A轴平行轴平行C 轴（质心轴）轴（质心轴）对对AiiAmI2 由图

7、由图 iiiidd cos2222 iiAmI2 )cos2(22iiiiddm dmdmmiiiiii2cos22 iiiiixmm cos故：故： 2mdIIcA 平行轴定理平行轴定理 0 cmx4.反映转动惯量性质的定理反映转动惯量性质的定理 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学(2)垂直轴定理（正交轴定理）垂直轴定理（正交轴定理）mi ixyz yixiOyxzIII (3)可叠加原理可叠加原理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形则这个复杂物体的对某轴的转动惯

8、量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加体对同一转轴的转动惯量之叠加.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理zzzizIttLM dddd iizzLLzziiiIrm )(2刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 角动量定理微分形式角动量定理微分形式 0dzzzzzIItM 角动量定理积分形式角动量定理积分形式 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学刚体定轴转动刚体定轴转动 I = 常量常量zzizIM 刚体定轴转动的转动定理刚体定轴转动的转动定理说

9、明：说明：地地位位相相当当与与amFIM )1(式式中中各各量量对对同同一一转转轴轴)2(.00 , ,3转转动动第第一一定定律律恒恒量量，若若则则常常量量）（ MMI IM 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学验证刚体定轴转动定理的演示实验验证刚体定轴转动定理的演示实验 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.4 刚体的重心刚体的重心重心重心刚体处于不同方位时刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那重力作用线都要通过的那 一点一点. 如图如图,被悬挂刚体处于静止被悬挂刚体处于静止,C为重心为重心,因因C不动不动,可视为

10、可视为转轴转轴.因为刚体静止因为刚体静止,所以诸体元重力对所以诸体元重力对C 轴合力矩为零轴合力矩为零.xzCiWyABDWCCABDW0)( ciixxW上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学WzWziic gmWii 则重心坐标与质心坐标同，但概念不同则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质心是质量质心是质量中心，其运动服从质心运动定理中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作用线通过的那一点用线通过的那一点.WxWxiic WyWyiic 若取若取上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.5 典型例

11、子典型例子例题例题2如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴质心在距转轴 处，处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为闸门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度为重力加速度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力.297mRI R32图图(a) 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚

12、体力学刚体力学（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力和质点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门图图(b)需拉力是多少？需拉力是多少？TF W图图(b) 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学xyONFTFW图图(a) 解解（1）以弧形闸门及钢架）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图为隔离体，受力如图(a)所示所示. 建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy，camWFF NT向向x及及y轴投影得轴投影得 根据转动定理根据转动定理x

13、cxmaF NzmRRmgRF 2T9732 ycymaFmgF NT0 xcaRaz Razcy 32 起动时起动时根据质心运动定理根据质心运动定理 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点，质点O 对闸门钢对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.mg9067TF W图图(b) mgFy9029N mgF9067T 0N xF(2) 用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：用牛顿第二定律，得：TF mg

14、F1011T 比较上面结果，可见提升弧形闸门比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小所用的拉力较小.mamgF T上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得，并测得m自静止开始下落自静止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t ,求待测物体的转动求待测物体的