定积分的计算方法VIP

1、1 53 定积分的计算方法定积分的计算方法 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页21定积分的换元积分法定积分的换元积分法;基础知识基础知识定积分的换元积分法定积分的换元积分法 设函数 xfb ,a在 上连 续，令 ,tx且满足： （1） ,a ; b（2） 当 t从 变化到 时， t单调地从 a变化到 b;（3） t在 ,上连续， 则有定积分的换元公式定积分的换元公式 dd .baf xxfttt首页首页上页上页返回返回下页

2、下页3证证设 xF是 xf的一个原函数，则 d.baf xxF aF b根据复合函数的求导法则，有ddd ( )( )( ) ( )( )dddFxFtf xtftttxt因此，有 d .ftttFtFFF bF a 所以 dd .baf xxfttt首页首页上页上页返回返回下页下页4例例1计算 402d .12xxx解解令 , tx 21则 ,tx212dd ,xt t且 当 0 x时， ; 1t当 4x时， .t3于是 243011222dd1 2txxt ttx33231111 1 =3 d322 3tttt12712293.2333首页首页上页上页返回返回下页下页5例例2计算 220d

3、 (0).aaxx a解解令 , tsinax则 dcos d ,xat t且当 0 x时， ; 0tax时， .t2于是 22222200dsincos daaxxaat at t22222001 cos2cosdd2tat tat222011sin2.224atta首页首页上页上页返回返回下页下页6 ( ) ( )d ( )d ( )ftttftt( )( )d .bautf uu 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页7

4、例例3 求定积分 2120d .ttet解解 2211222001d() d2tttetett 212201d().2tet 1122200d2uuteueu 110221.eee 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页82211222001dd()2tttetet 2111022201.teeee 讨论讨论：为什么后面的解法不需要换限？ 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Fo

5、reign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页92定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分法 设函数 xuu与 xvv在区间 b ,a上有连续的导数，则( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xv x u xx或简写成dd .bbbaaau vuvv u上列公式称为定积分的分部积分公式分部积分公式. 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations &am

6、p; Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页10证证因为.vuvu)uv(两边分别求在区间a，b上的定积分，得() ddd ,bbbaaauvxvuxuvx即dd .bbbaaauvvuxuvx移项，得dd .bbbaaauvxuvvux 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页11例例4 计算 10ln(1)d .exx解解 10ln(1)dexx1100ln(1)dln(1)eexxxx10(1)ln0d

7、1exeexx10(1) ln(1)eexx(1)(2)1.ee 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页12小结：小结：1换元积分法： ddbaf xxfttt2分部积分法：ddbbbaaau vuvv u 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页13应用案例应

8、用案例某 国 地 震 引 发 核 泄 漏 事 件 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页14 案例案例1（ 放射物的泄漏）放射物的泄漏）环保局近日对一起放射性环保局近日对一起放射性碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日，碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日，大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保局下令当地居民立即撤离这一地区局下令当地居民立即撤离这一地

9、区. 已知碘物质放射源已知碘物质放射源的辐射水平是按的辐射水平是按0.0040( )tR tR e0R是初始（是初始（t=0）时的辐射水平，）时的辐射水平，t是时间（单位：是时间（单位：h）. 的速度衰减的，其中的速度衰减的，其中R是是t时刻的辐射水平（单位：时刻的辐射水平（单位：mR/h），）， 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页15（1）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？

10、 （2）如果可接受的辐射水平的最大限度为）如果可接受的辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴毫伦琴/h，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总量是多少？量是多少？ 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页16解解 （1）设降低到辐射水平需要）设降低到辐射水平需要 1t小时，此时辐小时，此时辐 射水平为射水平为 0R的四分之一的四分之一. 于是，得于是，得 10.004001.4tRR

11、 e解得解得 1500ln2(h).t （2）因为可接受辐射水平的最大限度为）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴毫伦琴/h， 所以在所以在 0t 时的辐射水平为时的辐射水平为2.4毫伦琴毫伦琴/h，即，即 02.4.R 设泄露出去的放射物总量为设泄露出去的放射物总量为W，则有，则有 500ln20.00402.4d .tWet 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页17500ln20.00402.4d( 0.004 )

12、0.004tet500ln20.0040600te 0.004 500ln2600 1 e450.答：答：已经泄漏出去的放射物的总量是已经泄漏出去的放射物的总量是450毫伦琴毫伦琴. 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页18案例案例2（石油总产量）（石油总产量）经济学家研究一口新井的经济学家研究一口新井的 原油生产速度时，建立了下列数学模型原油生产速度时，建立了下列数学模型( )1 0.02 sin(2),R ttt 求该油

13、井开始求该油井开始3年内生产的年内生产的石油石油总量总量. 解解 设开始设开始3年内生产的石油总量为年内生产的石油总量为W，则有，则有30(1 0.02 sin(2)d .Wttt 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College首页首页上页上页返回返回下页下页1933001d0.02sin(2)dtttt33000.02d(cos2)2ttt33000.020.023cos2cos2d22ttt t230.020.0233sin2024t 0.0333.0095.答：答：该油井开始该油井开始3年内生产的石油总量约为年内生产的石油总量约为3.0095. 首页