ch2_4DFT分析信号频谱chen

1、)(txttxXtxtde)()j ()(jtx(t)0X(j)0图图1 连续非周期信号及其频谱连续非周期信号及其频谱 )(txTTtnTTdtetxTnXtx0j0)(1)()(t0)(tTxT-TX(n0)0图图2 连续周期信号及其频谱连续周期信号及其频谱 kxkkekxeXkxjj)(kxk0X(ej)0.22图图3 离散非周期信号及其频谱离散非周期信号及其频谱 kx102jNkmkNekxmXkx0kxkN-N图图4 离散周期信号及其频谱离散周期信号及其频谱 mmX0N-N.ttxXtxtde)()j()(jTtnTTttxTnXtxde)(1)()(0j0kkkxXkxjje)e(1

2、02jeNkmkNkxmXkx有限长序列有限长序列xNk的傅立叶变换的傅立叶变换DFT102je NkmkNNNNkxmXkx0 xkkN-1NmmX0N-1N 利用信号傅立叶变换具有的信号利用信号傅立叶变换具有的信号与与之间的对应关系，建立信号的之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信与四种信号频谱之间的关系。号频谱之间的关系。tx(t)0X(j)0t0)(txkxk00kxkX(ej)0.22mmX0N-N.X(n0)0)(tx抽样抽样离散化离散化kx周期化周期化kx)(jXmmA)(jeX22TA假设连续信号持续时间有限，频带有限假设连续信号持续时间有限，频带有限mNmXTAmNmXTA

3、NmXTA )(txmXkx22)(jeXN022)(jeX0TAm)j (X0AmmmX01N)(txkxN )(tx)j (X0A22)(jeX0mmX01N)(txkxmX )(txkxN)j (X0A22)(jeX022)(jeXN0mmX01Nkx)(txmX)j (X0A0A22)(j0eX)j (X0A0mm)(tx)2(1j (1)( j (1)(samnTXTnXTeXnnj)(0tx0kxmX)()()(jjjeWeXeXNNkwkxkxkxNNmX其中：其中：凯塞窗凯塞窗布拉克曼窗布拉克曼窗哈明窗哈明窗汉宁窗汉宁窗矩形窗矩形窗 kwN其它 001Nkkw051015202

4、5303500.20.40.60.81-1-0.500.51010203040其它 001Nkkw)(jeWNNN2N4N2主 瓣旁 瓣旁 瓣021jje)2/sin()2/sin(DTFT)e(NNNNkRWN/4N/2w其它 001Nkkw 主瓣在处有一个峰值，表示其主要是由主瓣在处有一个峰值，表示其主要是由组成。由于矩形窗函数在其两个端点的突然组成。由于矩形窗函数在其两个端点的突然截断，使得频谱中存在许多截断，使得频谱中存在许多。32)2/3(1)2/3sin()2/3sin()()(0 j/3 jNNNNeWeWNdB46.13)()(log200 j/3 j10eWeWAN其他 00

5、)/2cos(5 . 05 . 0NkNkkw0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520其他 00)/2cos(46. 054. 0NkNkkw0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520其他 00)/4cos(08. 0)/2cos(5 . 042. 0NkNkNkkw0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51051015NkINkIkw0 ,)()/21 (1(0200510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101

6、520窗函数类型窗函数类型主瓣宽度主瓣宽度旁瓣峰值衰耗旁瓣峰值衰耗(dB)矩形矩形4 / N-13Hanning8 / N-31Hamming8 / N-41Blackman12 / N-57Kaiser（ ）10 / N-5786. 5 为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，现分析一无穷长的余弦信号的频谱。现分析一无穷长的余弦信号的频谱。 tttx),cos()(0)()()j(00XkkkTkx),cos()cos(00)()()e(0202jXkx)(txkxNmXkwkxkxNN)()(5 . 0)e(00jNNNWWXkx)(txkxNm

7、X)j(X000()()j(32X000频率泄漏)j(64X000频 率 泄 漏已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。 )2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf)/2cos()/2cos()(sam2sam1fkffkftxkxkTt12fffsam222fffTN30/samffNN2w矩形窗矩形窗已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对

8、该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。 )2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱N=30; %数据的长度数据的长度L=512; %DFT的点数的点数f1=100; f2=120;fs=600; %抽样频率抽样频率T=1/fs; %抽样间隔抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);X=fftsh

9、ift(fft(x,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(X);ylabel(幅度谱幅度谱);已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。 )2cos()2cos()(21tftftxHz1001fHz1202f600samf-300-200-100010020030005101520幅度谱频率(Hz)-300-200-10001002003000246810幅度谱频

10、率(Hz)信号样点数信号样点数N=30信号样点数信号样点数N=20加矩形窗加矩形窗已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。分析其频谱。 )2cos(15.0)2cos()(21tftftxHz1001fHz1502f600samf利用利用Hamming窗窗计算有限长余弦信号频谱计算有限长余弦信号频谱N=50; %数据的长度数据的长度L=512; %DFT的点数的点数f1=100;f2=150;fs=600; %抽样频率抽样频率T=1/fs; %抽样间隔抽样间隔ws=2*pi*fs; t=(0:N-1)*T

11、;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);wh=(hamming(N);f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F);ylabel(幅度谱幅度谱)已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。分析其频谱。 )2cos(15.0)2cos()(21tftftxHz1001fHz1502f600samf-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-2

12、00-100010020030001020幅度谱频率(Hz)-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱矩形窗N=25矩形窗N=50海明窗N=25海明窗N=501, 1 , 0 ,| )e (2jNmXmXmNNkxN)(jeXN)Hz(samcNff1 010 LkNNkkxkxNLNLLff ),Hz(samc2 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kxkkkkekxekxkxeXj -30j -jDTFT)()21cos623cos4(23

13、 .j -ekmkkmNNkekxekxmX42j -302j -10j1 , 0 , j1 ,10j1 , 0 , j1 ,10mmeeXmX223 .j -42j)21cos623cos4()(，m=0,1,2,32 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kxkkkkekxekxkxeXj -701j -11j1DTFT)()21cos623cos4(23 .j -ekkekxj -301，m=0,1,2,7kmkkmkkmNNkekxekxekxmX82j -3082j -7012j -1011j6.52.7 j,1 j0.5,1.3 ,

14、0 j0.5,-1.3 , j1 j6.5,-2.7 ,102 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kx002468102 /32 /2kx| |mX| )(|jeX002468102 /32 /21kx| |1mX| )(|j1eX -300 -200 -100 0 100 200 300 0 10 20 幅度谱 频率(Hz) -300-200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)N=30, )(jNeXN=30, L=64, = 600/64 cfN=30, L=128, = 600/128 cfN=30, L=256,

15、= 600/256 cf-300-200-100010020030005101520幅度谱频率(Hz)-300-200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)2cos()2cos()(21tftftxmff2sammffT211samcpffNNTT1samminmax2pmcTfNTf) ,(mffc例：例： 试利用DFT分析一连续信号，已知其最高频率=1000Hz，要求频率分辨率fc2Hz，DFT的点数必须为2的整数幂次，确定以下参数：最大的抽样间隔，最少的信号持续时间，最少的DFT点数。解：解：(1)最大的抽样间隔Tmax为 )(105 . 0100021213maxsf

16、Tm(2)最少的信号持续时间Tpmin为 )(5 . 0211pminsfTc(3) 由最大的抽样间隔Tmax与最少信号持续时间Tpmin，可得最少DFT点数N为 1000105 . 05 . 03maxminTTNp选择DFT的点数N=1024，以满足其为2的整数幂次。 N/samNmsam的抽样值在12/NmN, mX对应于)(samsamsamNmNNm当0 m N/21, Xm对应于 X( j)在- - samsam/2/2 samsam/2/2X(j)Xm与与X(j )的对应关系的对应关系)(samXsam2sam例：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz, 用fsam=

17、8kHz对x(t)进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT，试确定Xm中m=600和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1 和f2 (kHz)。 解：对连续信号x(t)按fsam=8kHz进行取样，得到对应的离散序列xk，在利用离散序列xk的DFT Xm分析连续信号x(t)的频谱时，Xm 与X(j)存在以下对应关系： 当m=600时，由于0mN/21，所以 kHz360016008sam1mNff当m=1200时，由于N/2mN，所以 kHz2)16001200(16008)(sam2NmNffAmmX(j A/TmX(ej2/NXm 例例: 利用DFT近似计算x(t)=et

18、u(t)的幅度频谱并和理论值比较。解：x(t)=etu(t)1j1)j(X11| )j(|2Xd| )j(|21d| )(|22XttxE21d1121d22tet例例: 利用DFT近似计算x(t)=etu(t)的幅度频谱并和理论值比较。解：x(t)=etu(t)1j1)j(Xd1121d| )j(|212/2/22/2/2samsamsamsamXE)2/arctan(| )arctan(21sam2/2/samsam若取 fsam=16Hz, 4937.0)2/arctan(samE若取 fsam=8Hz, 4873.0)2/arctan(samE%74.98/EE%46.97/EE例例: 利用DFT近似计算x(t)=etu(t)的幅度频谱并和理论值比较。解：取 fsam=8Hz，N=32%