多元复合函数与隐函数的微分法

1、7.5多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法一一. 多元复合函数微分法多元复合函数微分法 1. 复合函数的中间变量为一元函数的情形复合函数的中间变量为一元函数的情形定理定理1如果函数u=u(t),v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 在 点 t 可导，且有 ,zf u tv t ddddddzzuzvtutvt上式也称为z对t的全导数全导数.定理1中的函数z通过中间变量与自变量t相关联，其复合关系如下图所示.例1设 ,而u=sint,v=cost,求导数lnzuvddzt解解ln ,cos ,sin ,zzu dudv

2、vttuvv dtdt 因此ddztddddzuzvutvt(l n )cossi nuvttvcoslncostansi ntttt例2 设 而 求导数 .2sin ,zu vte ,cos ,tuvtddzt解解ddztddddzuzvzutvtt222si nsi n ( si n )costuvt euttu vt22222cossinsincosttttett eetet2(cos22cos ).tett2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理定理2如果函数u=u(x,y),v=v(x,y)都在点(x，y)具有对x及y的偏导数，函数z=f(u

3、，v)在对应点(u，v)具有连续偏导数，则复合函数z=f u(x,y),v(x,y)在点(x，y)的两个偏导数存在，且有zzuzvxuxvx.zzuzvyuyvy定理2中的函数z通过中间变量u，v与自变量x，y相关联的复合关系如下图所示.注注：如果函数的自变量只有一个，则求导时要用微分符号d；否则，就要用符号.例3 设 ,而u=xy,v=x+y,求 和e sinuzvzx.zy解解zxzuzvuxvxsi ncos1uuev yev( si ncos )ue yvv si n() cos(),xyeyxyxyzyzuzvuyvysi ncos1uuev xev( si ncos )ue xvv

4、 si n() cos().xyexxyxy定理2可进一步推广到多个中间变量的情形：设z=f(u，v，w)，u=u(x，y)，v=v(x,y)，w=w(x,y),则zzuzvzwxuxvxwxzzuzvzwyuyvywy例4 设 求 和2222, ,e,sin ,xyzuf x y zzxyux.uy解解uxffzxz x 222222222 si nxyzxyzxezexyuyffzyz y222222222cosxyzxyzyezexy定理2还可推广到多个中间变量是三元及三元以上函数的情形：设w=f(u,v)，u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，则wwuwvxuxvxwwuwvyu

5、yvywwuwvzuzvz例5 设w=f(x+y+z，xyz)，f具有二阶连续偏导数，求 及 wx2wx z 解解令u=x+y+z，v=xyz，则w=f(u，v).引入记号： 其中下标1表示对第1个变量u求偏导数，下标2表示对第2个变量v求偏导数.同理有 等.由定理2可得 ,上式再对变量z求偏导数，得到1( , )f u vfu12( , )f u vfu v 21122,fff12ffwuvfyzfxuxvx212122()ffwfyzfyfyzx zzzz 1111112fffuvfxyfzuzvz又2222122fffuvfxyfzuzvz2wx z 2111222122fxyfyfyz

6、fxy zf21112222()fy xz fyfxy zf得.3. 复合函数的中间变量既有一元又有多元函数的情形复合函数的中间变量既有一元又有多元函数的情形定理定理3如果函数u=u(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数v=v(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=fu(x,y),v(y)在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且有,zzuxu x d.dzz uzvyuyvy 例6求 的偏导数.cos2223yzxy解解设 , ,则223uxycos2vyvzu.1,vzv uul n ,vzuuv6 ,uxx2 ,uyyd2si n2

7、dvyy 则 zxzuu x 16vv ux22 cos216 (3)cos2yxxyyddzz uzvyuyvy 12l n( 2si n2 )vvv uyuuy 22 cos212 (3)cos2yyxyy22 cos2222(3)si n2l n(3).yxyyxy二二. 全微分形式不变性全微分形式不变性. 如果z=f(u，v)具有连续偏导数，而u=u(x,y),v=v(x,y)也具有连续偏导数，则dddzzzxyxy()d()dzuzvz uz vxyuxv xuyv y (dd )(dd )zuuzvvxyxyuxyvxyddzzuvuv.由此可见，无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微全微分形式不变性分形式不变性.例7利用全微分形式不变性解本节的例3.即：设 sinuzev, 而u=xy,v=x+y,求 zx.zy和解解dd e sine sin de cos d .uuuzvv uv v因dddd ,dddd ,uxyy xx yvxyxy代入后归并含dx及dy的项,得 udz(e sincos )d(e sincos )d ,uuuv yevxv xevy即d