复合函数求导法则与隐函数的求导

1、复合函数求导法则与隐函数的求复合函数求导法则与隐函数的求导导一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则二、隐函数的求导法则二、隐函数的求导法则三、对数求导法三、对数求导法一、一、复合函数的求导法则定理3.6 设u=g(x)在x可导，y=f(u)在相应点u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x)在x可导，且有).()(ddddddxgufxuuyxy证 由 得到)(lim0ufuyu, 0lim)(0uufuy，其中.)( uauufy即当 时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续，0 xxuuufxyxyxx)( limlimdd00).()(limlimlim)(000 xgufxuax

2、uufxxx复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)就可导，且有).()()(ddddddddxhvgufxvvuuyxy此时必有 或者 .因而总有 .故0u0u0lim0 x例8 设y=sin3 x，求 .y解 令，则，xuuysin3xuuyxyddddddxu cos32.cossin32xx例9 设y=lncos x，求 . y解 令，则，xuuycoslnxuuyxydddddd)sin(1xu. tan)sin(cos1xxx.etanyyx，求例10 设解 令则，

3、. tan,exvvuyuxvvuuyxydddddddd.21sece2tanxxxxvu21sece2.) 12(sin3yxy，求例11 设解xy)12(sin3xxx) 12() 12cos() 12(sin322) 12cos() 12(sin32xx. ) 12cos() 12(sin62xxxx)12(sin) 12(sin332例12 设y=ln(x+tan x)，求 .y解xxy)tan(ln( )sec1 (tan12xxx.tansec12xxxxxxx)tan(tan1例13.21sin2y，yxx求设 )1(1cos1sin2 2ln221sin2xxxxxxx)1(

4、1cos1sin2 2ln2221sin2xxxxxxx解xxyxxxx)1sin(2ln2)2(21sin1sin22)1(sin1sin)(2ln2221sin2xxxxxx).1cos1sin2(2ln21sin2xxxxx.)1ln(2xx例14 计算 若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.解) 12121(11)1ln(222xxxxxx.11) 11(11222xxxxx例15. ) 1(2xx计算解xxxxxx21211) 1(222.11222xx例16. )sin(sinnxxn计算解nxxn)sin(sinnnxxnxxxnnnco

5、ssinsincossin1)cossinsin(cossin1nxxnxxxnn.) 1sin(sin1xnxnn例17 一人以2米/秒的速度通过一座高为20米的桥，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度与桥垂直方向前进，求第5秒末人与小船的分离速度.，222)2()34()20(tts34解经过t秒人走过的距离为x=2t，船走过的距离为y= t,此时人与船的距离为s,则s满足34.)2()34()20()4916(dd222tttts两端关于t求导，得则,2126|dd5tts即所求的分离速度为 米/秒.2126二、二、隐函数的求导法则自变量x和因变量y是通过一个方程建立起函数关系.比如

6、建立了x和y之间的关系，此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数.13yyx隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 .容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求y导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可.yy例18 设y=y(x)由 确定，求 .xyyx2ey解 两边对x求导，得，2eyxyyyx解方程得

7、.2eyxyyx例19 求隐函数 的导数yxye2.|0 xyy及, 2e yxy若注意到解，yxyyyee.e1e yyxy 从而.3e)2(1e yyyyy也可得.e| 2e2020 xyy，yxy，x于是可解得由时例20 求椭圆曲线 处的切线方程和法线方程.)2, 1 (14222上点yx解，021yyx,2yxy切线斜率, 222|)2, 1(1 yk法线斜率.22112kk所以切线方程为. 222 ),1(22xyxy即法线方程为. 2222 ),1(222xyxy即三、三、对数求导法在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类是一系列函数的乘、

8、除、乘方、开方所构成的函数.)()(xgxf 所谓对数求导法，就是在y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.解用对数求导法，则两边分别取对数. )(sinyxyx，求设 .sin ln )ln(sin ln xxxyx所以).cotsin(ln)(sin )cotsin(lnxxxxxxxyyx两边对x求导，得,cossin1sinln1xxxxyy例24,cotsinln1xxxyy. ,) 1tan(32sin) 1(322yxxxxxxy求设解)2ln(31sinln2) 1ln(2ln21ln xxxxy) 1cos(ln) 1sin(ln)3ln(21xxx2131cossin121121211xxxxxyy) 1cos() 1sin() 1sin() 1c