第三章LTI连续系统的频域

1、第三章第三章 LTILTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析 数学上，任意一函数都可表示为一个数学上，任意一函数都可表示为一个完备正完备正交函数集交函数集中无限多个相互正交的函数的无穷级中无限多个相互正交的函数的无穷级数。数。 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数是常用的正交函数是常用的正交函数集，只要符合一定的条件，任意一信号都可集，只要符合一定的条件，任意一信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正弦分量即弦分量即频率函数频率函数，也就是说信号分析可以，也就是说信号分析可以从时域变换到频域分析即从时域变换到频域分析即频域分析法频域分析法。31

2、31 周期周期信号的傅里叶级数展信号的傅里叶级数展开开 一三角形式的傅里叶级数：一三角形式的傅里叶级数： 设任意周期信号设任意周期信号 f(t)=f(t+kT),（k为整数为整数），满），满足下列条件（荻里赫利条件）：足下列条件（荻里赫利条件）：（1）在一个周期内，函数是绝对可积的）在一个周期内，函数是绝对可积的dttfTtt 00)(（2）在一个周期内，函数的极值数目有限）在一个周期内，函数的极值数目有限（3）在一个周期内，函数是连续的或者有限个）在一个周期内，函数是连续的或者有限个一一 类间断点（左右极限存在但不等）类间断点（左右极限存在但不等）分解得分解得 110 sincos2)(nn

3、nntnbtnaatf)(2原原周周期期信信号号的的角角频频率率T/ TttttfTa00 0d)(12 )(n dcos)(2 00 的的偶偶函函数数 TnttttntfTa)(dsin)(200 的的奇奇函函数数nttntfTbTntt 傅傅里里叶叶系系数数 10)cos()( nnntnAAtf 22 nnnbaA )(arctg的奇函数的奇函数nabnnn 其中：其中：200 aA 直流分量直流分量(零次谐波零次谐波)，即，即f(t)在一个周在一个周期内的期内的平均值平均值；)cos(11 tA基波分量基波分量(一次谐波一次谐波)，其角频率，其角频率与与f(t)的相同，为的相同，为 )

4、2cos(22 tA二次谐波分量二次谐波分量，其角频率为基，其角频率为基波频率的两倍波频率的两倍 )cos( nntnA n次谐波分量次谐波分量，其角频率为基，其角频率为基波频率的波频率的n倍倍 将将周期信号周期信号f(t)在在虚指数函数集虚指数函数集ejn t，n=0, 1, 2， 3， 上展开就得到上展开就得到指数形式的指数形式的傅里傅里叶级数。叶级数。 ntnnFtf j e)(T/ 2 傅里叶系数傅里叶系数 ： TtnntttfTF00 j d(t)e1 “级数正，系数负级数正，系数负” 二指数形式的傅里叶级数二指数形式的傅里叶级数 注意此系注意此系数为数为复数复数 1jjjj010)

5、ee (2j)ee (22)sincos(2)( ntntnntntnnnnnbaatnbtnaatf000 2AaF 与指数形式对照与指数形式对照 ntnnFtf j e)( , 2 , 1 ,-21)j(21, 2 , 1 ,21)j(21 nAbanAbaFnnnnnnnnn )(21)(21210tjnnnntjnnnejbaejbaa 与三角形式傅里叶级数的关系与三角形式傅里叶级数的关系 三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 1偶函数偶函数: : f(t)=f(-t) , 2 , 1 , 0 ,dcos)(4, 02 00 nttntfTabT

6、nntt2奇函数奇函数: : f(- t)= -f(t) , 2 , 1 ,dsin)(4, 0 , 02 000 nttntfTbaaTnntt3奇谐奇谐(波波)(半波对称半波对称)函数函数: : )2()(Ttftf 和和偶偶数数为为为为奇奇数数0 , 0 ,dcos)(42 00 nnttntfTaTntt. , 0 ,dsin)(42 00 为为偶偶数数为为奇奇数数nnttntfTbTntt2TT23T)(tft04偶谐偶谐(波波)(半周期半周期)函数函数 )2()(Ttftf , 0 ,dcos)(42 00 为为奇奇数数为为偶偶数数nnttntfTaTntt. , 0 ,dsin)

7、(4 2 00 为为奇奇数数为为偶偶数数nnttntfTbTntt四、傅里叶系数的性质四、傅里叶系数的性质 ntnnFtf je)( ) 1 ( ntntnnFttf 0 jj0ee)( )2( e j)( )3( j ntnnFntf ntnnnntnnnFFttfFFttf j11j11ej2sin)( e2cos)( )4(例例1 1：求周期信号的三角型与指数型傅里叶级数：求周期信号的三角型与指数型傅里叶级数, 3 , 1 ,2)121(cos2 dsin.50 4dsin)(28, 05 . 004201 nnnnttnttntfbann / ttttnntfn 5sin513sin3

8、1sin25 . 0 sin25 . 0)(1 奇奇数数f(t)t0123-11f1(t)t0123-10.5)0 ,(2sine1 1j)j(21 ; 5 . 022j00都都成成立立对对nnnnbaFaFnnnn ntnnnntf)2 ( je2sin1)( )0 ,(2sine1)ee (e2j11 ) 1(21) 1(21212j2j2j2j10都都成成立立对对 nnnnejnejndteFnnnnjnjntjnn 例例2：求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数：求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数 f(t)t0T2T3T-T1解：解：可利用傅里叶性质可利用傅里叶性质3求解：求解：t0T2T3T

9、-T)( tft0T2T3T-T1/T(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)( tf j j0d)(e j)(e 1de)(1) j (2 20 j0 j2 2 j2 TnTnttntTttTFnTTnnTTtnn / 10 j0 sin115 . 0e2 j1 15 . 0)(0 ,2 j1 j1 , 5 . 0nnntnntnnntfnnTnFF 32 32 周期信号的频谱周期信号的频谱如果要确定某一谐波分量如果要确定某一谐波分量 )cos( nntnA tnnF j e或或只需确定和某一频率对应的只需确定和某一频率对应的谐波幅值和相位。谐波幅值和相位。 ),.2 , 1(单单边边频频谱

10、谱nnnAnn ),.2, 1, 0(双边频谱双边频谱 nnnFnn 频频谱谱幅度谱：幅度谱：以频率（角频率）为横坐标，以各谐以频率（角频率）为横坐标，以各谐波的振幅波的振幅An或或|Fn|为纵坐标画出的线图（离散）为纵坐标画出的线图（离散）为幅度频谱。简称幅度谱。为幅度频谱。简称幅度谱。相位谱：相位谱：以频率（角频率）为横坐标，以各谐以频率（角频率）为横坐标，以各谐波的初相角为纵坐标画出的线图（离散）为相波的初相角为纵坐标画出的线图（离散）为相位频谱。简称位频谱。简称相位相位谱。谱。一、周期矩形脉冲的频谱一、周期矩形脉冲的频谱 dede )(12 2j2 2j / tTAttfTFtnTTt

11、nnt0A2 2 T T)(tf , 2 , 1 , 0 ,2Sa22sinje22j nnTAnnTAnTAtn / ntnnTAtf je2Sa)( 1Sa44nnnF =T/ /4，A A=1=1时：时： |Fn|00.250.2250.0750.0530.1590.0452 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 包络线n023456-2-3-4-5-6由双边频谱由双边频谱单边频谱单边频谱|An|00.250.450.150.1060.3180.092 3 4 5 6 n02 3 4 5 6 由上可知周期矩形脉冲的频谱有下列特点：由上可知周期矩形脉冲的频谱有下列特点：(1)

12、谱线高度与脉冲高度谱线高度与脉冲高度A及宽度及宽度 成正比，与成正比，与周期周期T成反比，且受抽样函数包络线牵制；成反比，且受抽样函数包络线牵制； , 2 , 1 , 0 ,2Sa nnTAFn (2) 零分量频率零分量频率为为n/2=m 即即n =2m / / ，或，或 n= m T / 其中其中m= 1, 2,(3) 第第一个零分量频率一个零分量频率为为有效频谱宽度有效频谱宽度B = =2 / / ， Bf = =1/ / (4) 若若 而而T不变不变,谱线间隔不变，但谱线高度谱线间隔不变，但谱线高度B ，谱线个数，谱线个数T/ / (5) 若若T而而 不变不变谱线间隔谱线间隔谱线高度谱线

13、高度B 不变，不变，谱线个数谱线个数T/ / ，T ，连续频谱。连续频谱。二、任意周期信号频谱的特点二、任意周期信号频谱的特点 （1 1）离散性）离散性频谱是谱线，称为离散频谱或线谱；频谱是谱线，称为离散频谱或线谱； （2 2）谐波性）谐波性各分量频率都是基波频率的整数倍，各分量频率都是基波频率的整数倍，谱线间隔均匀；谱线间隔均匀； （3 3）收敛性）收敛性谱线幅度随谱线幅度随n 而衰减到零。而衰减到零。 三、周期信号的功率谱三、周期信号的功率谱 nnTTntnnTTFtFTttfTP22 22j2 22de1d)(1 /功率功率( (频频) )谱谱|Fn|2 n 的关系，也是一离散谱。的关系

14、，也是一离散谱。 周期信号在时域的平均功率等于频域中的直周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。 33 33 非周期信号的频谱非周期信号的频谱一、傅里叶级数到傅里叶变换一、傅里叶级数到傅里叶变换 周期信号周期信号 ntnnTFtf j e)(其中其中 2 2jde )(1 /TTtnTnttfTF非周期信号非周期信号 )(lim)(tftfTT ,2d21 ,d2 nTT 令令 j j j2 2jdede )(21ede )(1lim)( ttntnTTtnTTttfttfTtf /有有F( j ) jde )(21 t

15、jF 傅里叶正变换傅里叶正变换 jde )()j (ttfFt傅里叶反变换傅里叶反变换 (*)de )j (21)( j tFtf 对应关系记为对应关系记为 f(t)F( j) F( j) =F f(t)f (t) =F-1 F(j)二、非周期信号的频谱二、非周期信号的频谱(密度密度)函数函数 FFFFnTnT 2lim)j (d)j (21lim 将傅氏反变换（将傅氏反变换（* *）与傅里叶级数对照与可知）与傅里叶级数对照与可知 单位频带的振幅的量纲称单位频带的振幅的量纲称频谱频谱( (密度密度) )函数函数 ntnnTFtf j e)()(lim)(tftfTT jde )(21 tjF

16、1 1频谱密度函数的物理意义频谱密度函数的物理意义 2）非周期信号也可以分解成许多不同频率的）非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量，只不过其基波频率趋于无穷小，正弦分量，只不过其基波频率趋于无穷小，包含了所有频率分量；包含了所有频率分量；1 1）求非周期信号的）求非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换就是求其就是求其频谱频谱( (密度密度) )函数函数。3）各个正弦分量的振幅）各个正弦分量的振幅 |A |=2 | F | =|F( j )|d / / 趋于无穷小，只能用密度函数趋于无穷小，只能用密度函数|F( j )|来表示来表示各频率分量的相对大小各频率分量的相对大小。2、频谱密度函数的数

17、学特点：、频谱密度函数的数学特点： jdsin)(jdcos)( de )()j (tttftttfttfFt)( j)()()j ()j (XRFF )()(arctg)( , )()()j (22RXXRF . )(sin)j ()( , )(cos)j ()( FXFR 1、若、若f(t)为实函数，则为实函数，则|F( j )|、R( )为为 的的偶偶函数函数，而，而 ( )、X( )为为 的的奇函数奇函数。2 2、若、若f(t)为实偶函数，则为实偶函数，则F( j )为为 的实偶函的实偶函数数 即即 ( ) = X( ) = 0 3、若、若f(t)为实奇函数，则为实奇函数，则F( j)

18、为为 的虚奇的虚奇函数函数 即即 =90，R( ) = 0 。若若f(t)为实函数，则代入对应的奇偶性得为实函数，则代入对应的奇偶性得 )( j jde )j (21de )j (21)( ttFFtf d)( cos)j (21 tF 0 d)( cos)j (1 tF 非周期信号也可以分解为许多非周期信号也可以分解为许多不同频率的正弦分不同频率的正弦分量量，其，其基波为无穷小基波为无穷小d ，正弦分量的振幅也为无，正弦分量的振幅也为无穷小穷小,F(j )只是相对大小只是相对大小。三、常用信号的傅里叶变换三、常用信号的傅里叶变换 荻里赫利条件是荻里赫利条件是变换的前提变换的前提, ,不满足完

19、全可积不满足完全可积的条件引入冲激函数的条件引入冲激函数也可有相应的变换。也可有相应的变换。1 1、单边指数信号、单边指数信号 0 ),(e)( ttftf(t)0t1 arctg1 j1) j(edede )()j (220) j( 0 j j tttttettfF|F( j)|01/()0/2-/22 2、偶双边指数信号、偶双边指数信号 0 ,e)( ttff(t)0t1e-tet02 j1 j1dede)j (22 0 j0 j teteFtttt|F( j)|02/3 3、奇双边指数信号、奇双边指数信号 0 ),sgn(e)( ttft22 0 j0 j2 j1 j1dede)j (

20、jteteFtttt|F( j)|01/ /- ()0 / /2- / /2f(t)0t1e-t-et-14 4、符号函数信号、符号函数信号 )sgn()(ttf f(t)0t11 22jlim)j (220jF 符号函数不满足可积条件，它可看符号函数不满足可积条件，它可看作作奇双边指数信号奇双边指数信号在在 0的极限值的极限值|F( j)|0 ()0 / /2- / /25 5、单位冲激信号、单位冲激信号 )()(ttf f(t)t0(1)1ede )()j (00 0 j ttFt 01|F( j)|6 6、单位直流信号、单位直流信号 )( 1)( ttff(t)0t1|F( j)|0(2

21、 )(2)( jF0)( 7 7、单位阶跃信号、单位阶跃信号 )()(ttf f(t)0t1|F( j)|0()()0- / /2)(j1)( jF 90)(1arctg)( 8 8、门信号、门信号( (矩形脉冲信号矩形脉冲信号) ) 2 | , 02 | , 1)()(/ tttGtf)2(Sa22sinde)j ( 2 2 j /tFt 0)2(Sa , 0)2(Sa , 0)( ; 22sin)j (/ FG(t)t102 2 |F( j)|0 2 4 6 2 4 6 0() 2 4 2 4 -34 34 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 设设f1(t)F1(j )，f2(t)F2(j

22、)；a1、a2为为实数实数一、线性一、线性 则则：a1 f1(t) + + a2 f2(t)a1F1(j ) + a2 F2(j )二、对称性二、对称性 设：设：f(t)F(j ), 则：则：F(jt)2 f(- - ) 证明证明 de )j (21)( j tFtf jde )j (21)( tFtf jde )j (21)( ttFft jde )j ()(2 ttFft 正变换正变换例：求例：求Sa( (t) )的傅氏变换的傅氏变换)2(Sa 则则)2(Sa )(2 t G令令 2 )()(Sa 2 Gt解解：已知：已知G (t)三、尺度变换三、尺度变换 设：设：f(t)F(j )0(a

23、 )j (|1)(的实数的实数则：则： aFaatf 信号持续时间与占有频带成反比信号持续时间与占有频带成反比 ，即，即时域内扩时域内扩展频域内压缩展频域内压缩，即时域内压缩频域内扩展，即时域内压缩频域内扩展推论推论( (折叠性折叠性) ) f(- -t) F(- -j ) 四、时移性四、时移性: :： )(0ttf )j (e0jFt 时域内时域内时移时移，频域内为，频域内为相移相移.设：设：f(t)F(j )则则五、频移性五、频移性: ttf0je )( )( j 0F调调制制定定理理 )(21cos)(000tjtjeetfttf )( j )( j 2100 FF)( j )( j j

24、2100 FF)(21sin)(000tjtjeejttf 时域内时域内相移相移，频域内为反向，频域内为反向频移频移。设：设：f(t)F(j )门信号的调制门信号的调制: : G(t)102 2 t0)2(Sa 2G(t)cos0tt102 2 00-02 |F( j)|当当 0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时混叠极少，几乎不失真右复制时混叠极少，几乎不失真.六、时域卷积：六、时域卷积：f1(t)* * f2(t) F1(j )F2(j ) j 2121 ded)()()()(ttfftftft- F证明证明 j21 dde )()( ttf

25、ft-)j ()j (de )()j (de )j ()( 1 2 j1 2 j 21 -FFfFFf 时域卷积的重要应用时域卷积的重要应用求零状态响应的频域法求零状态响应的频域法 时域时域yf(t) = f(t)* * h(t) 频域频域Yf(j ) = F(j )H(j )时域卷积，频域乘积。时域卷积，频域乘积。七、频域卷积七、频域卷积 )()()()(22121 jFjFtftf 八、时域微分性八、时域微分性 设：设：f(t)F(j )，则：，则：)()( jFjdttdf推论推论： )()()( jFjdttfdnnn d)(ttf条条件件：例如例如 jtt )(1)(时域乘积的时域乘

26、积的2 倍倍，频域卷积。，频域卷积。九、时域积分性九、时域积分性 j)j ()()0( d )(-FFft 十、频域微分性：十、频域微分性： )(jFj ttf )()()(jFjtft(n)nn十一、频域积分性十一、频域积分性 ttftfj)()()0( d)j ( Ff(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的时频域微分性与频域积分性才是可逆的。十二、帕塞瓦尔定理十二、帕塞瓦尔定理： 若若f(t)为实函数为实函数 02 2 2 d)j (1d)j (21d )(FFttfW时域中求得的能量与频域中求得的能量相等时域中求得的能量与频域中求得的能量相等 例例1：利用对称性和时移性求下列傅里叶

27、变换：利用对称性和时移性求下列傅里叶变换的时间函数的时间函数f(t)()()1(0 jF)(2100 tje解解（1）)(2)(211)( ttjetf021)( )()(0200 GtSa)2()( SatG)()()()(0200 GtjF )(2)(2)2( GGtSa 02 令令)()(00tSatf )()()()2(00 jF例例2：求：求f(t)的频谱函数的频谱函数F( j)abA 解：应用时域微分性解：应用时域微分性 dttf)(条件：条件：t0-aAf(t)abb)(abA )(abA )(abA )(abA t t0 0-a-af”(”(t t) )a a-bb bt t0

28、 0-a-af(t)a a-b-bb b)()( )()()( btatatbtabAtf )( bjajajbjeeeeabAtf cos2cos2 ababA )coscos(2)(coscos2)(22 baabAjababAjF 35 35 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一、常见周期信号的傅里叶变换一、常见周期信号的傅里叶变换 1 1复指数信号复指数信号 ttft ,e)(0j)( 2e1)( 0 j0 ttf )( 21 |F( j)|0(2)o2余弦、正弦信号余弦、正弦信号 )e(e21cos)( j j0100 ttttf )()(00 F1( j)0()o()-o)(

29、)( j)ej(e21sin)(00 j j0200 ttttfImF2( j)0(-)o()-o3 3单位冲激序列信号单位冲激序列信号 nTnTtt)()( f(t)t0(1)(1)(1)(1)(1)T2T-T-2TF( j)0()- ()()()()2 -2 nnnnTF)()( 2)j ( ntnTTt je1)( 2 20 j1e1de )(1 /TTtnTnTTttTF 结论：周期信号的傅里叶结论：周期信号的傅里叶级数是离散的级数是离散的( (谱谱线线) )，其，其傅里叶傅里叶变换是离散的变换是离散的( (冲激序列冲激序列) ) ntnnTFtf j e)(一般周期信号一般周期信号

30、nnTnFF)(2)j ( )()()(0ttftfTT nnTnnFnTFF)()j ( )( 2)j ()j ( 例例1：求周期信号：求周期信号f(t)的频谱函数的频谱函数F( j)(cos)(10ttGtf )()(cos)()()(210tttGttftfT )()()(21 jFjFjF )2(21)2(21)(1 SaSajF nnnnTnTnjF)()2(2)()(2 解：解：t cos2 2-2-2- 0.5- tf(t)1 1 nnSaSajF)()2(21)2(21)( )()2()2(2 nSaSan )()2) 1()2) 1(2 nnSanSan )

31、( )()(0周周期期延延拓拓TTtftf )()()(0tGtftfTT 2TT23T02T T 23T )(tfT10)(0tf1分别求分别求Fn , F(j ) 22 022 )(1)(1TTtjnTTtjnTndtetfTdtetfTF 2200)()()(TTtjtjdtetfdtetfjF 二、傅里叶级数和二、傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶变换的关系比较上面两式可知比较上面两式可知Fn与与 F(j )的关系：的关系： nnjFTF )(10 nnTFjF)(0对于周期信号可据其一个周期内的信号求对于周期信号可据其一个周期内的信号求傅立叶变换后求级数；反之亦可。傅立叶变换后求级数

32、；反之亦可。 nnTnFF)(2)j ( 36 36 连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理 一、限带信号一、限带信号|F( j )|=0，（，（| | m） m为信号为信号f( (t t) )的最高频率的最高频率 F( j)0m-mG (t）t102 2 脉冲信号可以近似为频率为脉冲信号可以近似为频率为2 / 的限带信号的限带信号0)2(Sa 2二二抽样信号及其频谱：抽样信号及其频谱： f(t)fS(t)s(t)连续连续信号信号抽样序列抽样序列( (冲激串，矩形窄脉冲串等冲激串，矩形窄脉冲串等) )( (开关函数开关函数) )抽样信号抽样信号若序列等间隔，为若序列等间隔，为TS ，则为均匀抽样

33、，则为均匀抽样抽样周期0m-mf(t)t0S(t)t0(1)TS2TS-TS-2TSS ( j)0S-S(S)(S)(S) *fS(t)t0fS(0)TS2TS-TS-2TSfS(2TS)FS( j)0S- -SmS - -m 当当 S2 m时，时，FS(j)是是F( j)的的周期延拓周期延拓，因，因而而fS(t)包含了包含了f(t)的全部信息，从抽样信号的全部信息，从抽样信号fS(t)可可以以恢复原信号恢复原信号f(t)。当当 S2 m时，频谱出现重叠时，频谱出现重叠(称为称为混叠混叠现象现象)，不能从，不能从fS(t)恢复恢复f(t)，信号失真。，信号失真。 1、均匀冲激抽样均匀冲激抽样(

34、理想抽样理想抽样)：设抽样周期为：设抽样周期为TS ( (抽样角频率为抽样角频率为S) )， （周周期期冲冲激激脉脉冲冲） )()()( nSTnTtttsS nSSnSSSnFTnFF)( j 1 )()j ( 21)j ( nSSnS)()j ( )()()()()(ttftstftfSTS 2、矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样(自然抽样自然抽样) 抽样序列是周期矩形脉冲序列，周期为抽样序列是周期矩形脉冲序列，周期为TS( (S) ) )()2(Sa 2)j ()()( nSSSTnnTStptsS nSSSSTSnnTFFtptftstftfS)()2(Sa 2)j ( 21)j ()()()(

35、)()( nSSSSnFnTF)( j )2(Sa)j ( 三、时域抽样定理三、时域抽样定理1时域抽样定理时域抽样定理：一个一个最高频率为最高频率为fm m( (角频率角频率为为m m) )的限带信号的限带信号f( (t t) )可以用均匀等间可以用均匀等间隔隔TS 1/2fm 抽样信号抽样信号fS(t)= f(nTS)的样点值唯一确的样点值唯一确定；允许的最大抽样间隔称为定；允许的最大抽样间隔称为奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)间隔；间隔；允许的最小抽样频率称为允许的最小抽样频率称为奈奈奎斯特奎斯特(Nyquist)(Nyquist)频率频率. 该定理表明在该定理表明在满

36、足满足TS 1/2fm条件下所得到的条件下所得到的抽样点的值抽样点的值f(nTS)包含了原信号包含了原信号f(t)的全部信息，的全部信息，因此因此对对f(nTS)的传输可代替对的传输可代替对f(t)的传输的传输。)(21)100()(200 GtSatf )(100)(200 GjF 1002002 mm 100222 mmsff1001 ssfTtttf100100sin)( 例例2：信号：信号 ，将它进行冲激抽样，为，将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，求最低频率使抽样信号频谱不产生混叠，求最低频率fs和奈奎和奈奎斯特间隔斯特间隔Ts解：解：2原信号原信号f(t)的恢复的恢复 由

37、抽样定理知通过一个截止频率为由抽样定理知通过一个截止频率为 m C S- m的的理想低通滤波器理想低通滤波器(H(j )为门为门) )可从可从FS(j )中取出中取出F(j )，从而获得，从而获得f( (t t) )。F( j)0m-mf(t)t0H( j)0C-C理想低通滤波器fS(t)f(t)FS( j)0S-SmS-mfS(t)t0fS(0)TS2TS-TS-2TSfS(2TS)F F(j(j )=)=H H(j(j ) )F FS S(j(j ) )(Sa)j ()( CC1 tTHthS F)()()()()()(thttfthtftfSTS )(Sa )()( CCtTnTtnTf

38、SnSS nSSSnTtnTfT)(Sa)( CC若若TS取取1/21/2fm m，且，且 C取取 m，则上式化为，则上式化为 nSSnTtnTftf)(Sa)()(m四、频域抽样定理四、频域抽样定理 一个在一个在(tm , tm )区间以外为零的时限信号区间以外为零的时限信号f(t)的的F(j)，可以唯一地由其在均匀间隔，可以唯一地由其在均匀间隔fS 1/2tm上的样点值上的样点值F( jn S)唯一确定。因为唯一确定。因为当当fS=1/2tm时，频域中抽样频率间隔不大于时，频域中抽样频率间隔不大于1/2tm ，则在时域中波形不会产生混叠，此，则在时域中波形不会产生混叠，此时可以不失真恢复时

39、可以不失真恢复F( j)。 nmnttnFF) (Sa)j()j (m 37 37 调制与解调调制与解调 f(t)y(t)cos 0t00 jjj( -2+j( + 111()()242GFFF 2001( )( )cos()( ( )( )cos2)2g tf ttf tf tt 调制过程调制过程g(t)cos 0t低通滤波器f(t)解调过程解调过程0m-mF ( j)F ( 0)Y( j)00- -01/2F ( 0)G( j)01/2F ( 0)-2-20201/4F ( 0) c低通滤波器调制调制解调解调1. 频分复用频分复用2. 时分复用时分复用37 37 连续系统的频域分析连续系统

40、的频域分析H( p)f(t)yf(t)H( j )F( j )Yf ( j )()()(tfthtyf )j ()j ()j (FHYf 时域卷积性质时域卷积性质时域：时域： 频域频域： 一、基本信号一、基本信号e jt激励下的零状态响应激励下的零状态响应 设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，则在虚指数信号，则在虚指数信号e jt(- - t )激励下的零状态响应为：激励下的零状态响应为： )j (ee )(ee )()(e)(j jj )(j j Hdhdhthtyttttf )( )j ()j (e)(j tHHtytf结论：结论：e j t(- - t )激励下的零状态响

41、应只含激励下的零状态响应只含稳态响应分量稳态响应分量，且等于，且等于e j t乘以乘以h(t)的傅里叶变的傅里叶变换换H( j )(称为称为频域系统函数频域系统函数) 二、正弦周期信号二、正弦周期信号A Acos(cos( t+t+ ) )(-(- t t ) )激励激励下下的零状态响应的零状态响应ee2)cos()()( j)( j ttAtAtf)(cos)j (ee2)j ()j(e)j (e2)( )( j)( j )( j)( j tHAAHHHAtyttttf 结论：结论：Acos( t+ )(- t )激励下的零状态响激励下的零状态响应只含应只含同频率的正弦稳态响应分量同频率的正

42、弦稳态响应分量，且振幅为，且振幅为A|H( j )|，初相位为，初相位为 + ( )。 频域求正弦稳态响应频域求正弦稳态响应的方法的方法: :先先求出求出H( j )，再，再按上结论直接写出正弦稳态响应。按上结论直接写出正弦稳态响应。 三、非正弦周期信号激励下的零状态响应三、非正弦周期信号激励下的零状态响应 nnTTtnnntnnFttfTFFtf de )(1 , e)(2 2j j /其其中中 ntnnfnHFty j e ) j()( 1 0)( cos) j( 2)0(nnnntnnHFHF nnntnnnHF)( j e) j( 结论：非正弦周期信号激励下的零状态响应只结论：非正弦周

43、期信号激励下的零状态响应只含周期性的稳态响应含周期性的稳态响应(直流稳态响应与各次谐波直流稳态响应与各次谐波正弦稳态响应之和正弦稳态响应之和)分量分量四、非周期信号四、非周期信号f(t) (- t )激励下的零状态响应激励下的零状态响应 从时域与频域的相互关系已知从时域与频域的相互关系已知 )j ()j ()j ( )()()(FHYtfthtyff i ) 由由f(t)求求F( j )； ii) 由系统频率为由系统频率为 的频域模型的频域模型,实际上是将实际上是将“Lj , C 1/ j ”的的“相量法相量法”,求系统函数求系统函数H( j )；iii) 求：求： )j ()j ()j (F

44、HYf iv) 求：求： )j ()j ()( 1 HFtyf F用频域法求用频域法求LTI系统零状态响应的一般步骤为：系统零状态响应的一般步骤为：+ +f(t)- -i(t)4 2H4 + +F(j)- -I(j)j2 241)()()(jjFjIjH 例：图示电路例：图示电路V )(2)(10)(ttetft 解：画出频域电路解：画出频域电路求零状态响应求零状态响应i(t)1)( 2110241)()()( jjjjFjHjI )2(12)()1)(2(5 jjjj jjjj 25 . 05 . 02)(25151)(211525 . 5 jjj A)(21)(5)(5 . 5)(2ttetetitt 五、频域系统函数五、频域系统函数H( j ) 1定义定义 )( )j ()()j ()j ()j ( HthFYHfFH( j )的物理意义的物理意义 1)冲激响应冲激响应h(t)的频谱密度函数的频谱密度函数2)2)周期激励时零状态响应频谱的加权函数周期激励时零状态响应频谱的加权函数1、已知