第3章运算方法与运算器

1、第第3章章 运算方法与运算器运算方法与运算器 3.1 移位运算 3.2 定点数的加减运算及其实现 3.3 定点乘法运算及其实现 3.4 定点除法运算及其实现 3.5 浮点数的算术运算方法 3.6 逻辑运算及其实现 3.7 定点运算器的基本结构3.1 移位运算移位运算补码的移位运算：1、左移运算：各位依次左移，末位补0。 对于算术左移，若没有改变符号位，左移相当于乘以2。 算术左移和逻辑左移是等价的。2、右移运算： 算术右移：符号位不变，各位（包括符号位）依次右移。（相当于除以2） 逻辑右移：最高位补0，其余各位依次右移例1：已知X=0.1011 ,Y=0.0101求0.5X补；0.25X补；X

2、补；2X补；0.5Y补；0.25Y补； Y补；2Y补。解：X补=0.1011 Y补=1.10110.5X补=0.01011 0.5Y补=1.110110.25X补=0.001011 0.25Y补=1.111011X补=1.0101 Y补=0.01012-X补=0.1010 (溢出) 2-Y补=0.10103.2 定点加减法运算及其实现定点加减法运算及其实现由于计算机中的进行定点数的加减运算大都是采用补码。3.2.1 补码的加减运算方法(1)公式 XY补X补Y补 XY补X补Y补（证明过程见教材P38）例1 X0.001010 Y0.100011 求XY补，,XY补解： X补0.001010 Y补

3、0.100011 则 XY补 X补-Y补 0.001010 + 0.100011 0.101101X补0.001010 Y补1.011101则 XY补 X补Y补 0.001010 1.011101 1.100111例2：已知X0.25，Y0.625，求XY； XY 写出计算的过程.例3：已知X25，Y9，求XY； XY 写出计算的过程.例4：已知X25，Y9，求XY； XY 写出计算的过程.（8位二进制表示）解:例2：求XY ：X0.0100000 Y0.1010000 X补0.0100000 Y补1.0110000 则 X+Y补 X补+Y补 0.0100000 + 1.0110000 1.1

4、010000X+Y原 =0.0110000（0.375）D求XY ：X补= 0.0100000 ，Y补=0.1010000 则 X-Y补 = X补+Y补 = 0.0100000 + 0.1010000 = 0.1110000X+Y原 = 0.1110000 （0.875）D例3：求XY： X=0011001 Y=0001001 X补=00011001，Y补=11110111 则 X+Y补 = X补+Y补 = 00011001 + 11110111 = 00010000X+Y原 =0010000（16）D求XY： X补= 00011001 ，Y补= 00001001 则 X-Y补 = X补+Y补

5、 = 00011001 + 00001001 = 00100010X+Y原 = 0100010 （34）D例4：求XY： X=0011001 Y=0001001 X补=11100111，Y补=11110111 则 X+Y补 = X补+Y补 = 11100111 + 11110111 = 11011110X+Y原 =00100010（34）D求XY：X补= 11100111 ，-Y补= 00001001 则 X-Y补 = X补+-Y补 = 11100111 + 00001001 = 11110000X+Y原 = 0010000 （16）D从上述的例子可得出如下的重要结论：(1)采用补码进行加、减

6、法运算可变减法为加法，使得运算器中只需要设置一个加法器，便可完成加、减法运算。(2)补码加法运算中，符号位像数码位一样参加家法运算，能自然得到运算结果的正确符号。(3)定点小数的补码加法运算以“2”为模；定点整数的补码加法运算以“2n+1”为模。即符号位向更高位的进位自然丢失，并不影响运算结果的正确性。 3.2.2 溢出判断溢出：运算结果大于机器所能表示的最大正数或者小于机器所能表示的最小负数。溢出只是针对带符号数的运算。 比如：X补=0.1010，Y补=0.1001，那么 X补+Y补=1.0011(溢出)两个正数相加结果为负，运算结果错，产生溢出。溢出是一种错误，计算机中运算时必须能够发现这

7、个现象,并加以处理。判断溢出的方法：1、采用变形补码判断溢出 变形补码：采用2位符号位的补码 XY 变补X 变补Y 变补 XY 变补X 变补Y 变补例1 X=0.1011 Y=0.0011 求X+Y补解： X变补 = 00.1011 Y变补 = 00.0011 X+Y变补 = 00.1011 + 00.0011 = 00.1110所以 X+Y补 = 0.1110例2 X=0.1011 Y=0.1001 求X+Y补解: X变补 = 00.1011 Y变补 = 00.1001 X+Y变补 = 00.1011 + 00.1001 = 01.0100 运算结果的两符号位是01，不相同，发生溢出，因第一

8、符号位是0，代表正数， 所以称这种溢出为“正溢出”。例3 X=0.1101 Y=0.1010 求X+Y补解： X变补 = 11.0011 Y变补 = 11.0110 X+Y变补 = 11.0011 + 11.0110 = 10.1001结果的两符号位是10，不相同，发生溢出，因第一符号位是1，代表负数， 所以称这种溢出为“负溢出”。总结：采用变形补码判断溢出的原则：(1)当两符号位相同时，没有溢出，运算结果正确。“00”表正数，“11”表负数。(2)当两符号位不同时，发生溢出，运算结果错误；“01”表正溢出，“10”表负溢出2、利用符号位的进位信号判断 原理：设数码位向符号位的进位为C n-1

9、, 符号位向更高位的进位为C n 。则 OF= C n-1 C n当 OF为“0”表示无溢出，为“1”表示溢出了。比如： X补=0.1010，Y补=0.1001 X补+Y补=1.0011 C n-1=1， C n =0 则OF=13根据加数、被加数、和的符号判断(1)当操作数中的加数与被加数符号相同时,若结果的符号与操作数的符号不一致,表示溢出;否则,表示无溢出。(2)当两个符号不同的操作数相加时，肯定不会产生溢出。例：X补=0.1010，Y补=0.1001 X补+Y补=1.0011（溢出）3.2.3 补码加、减运算的实现 补码运算只需要设置一个加法器。采用串行进位方式的n位并行加法器的逻辑结

10、构。 n个全加器（FA n-1FA0)，进位信号C i从低位向高位逐位串行传送。两个n位长的补码A和B，连同C-1一起传送到全加器的输入端，得到n位运算结果S，最高位为符号位。左上方的半加器用来判定溢出。 如何区分加减运算？ M0时C-10实现加法运算 M1时C-11实现减法运算 1、全加器的结构设一位全加器的三个输入为Ai , Bi , Ci-1 二个输出： Si , Ci Ci-1 AiBiSiCi输 出输 入0 11 01 00 00 1 10 1 00 0 10 0 01 01 0 00 10 11 1 01 0 11 11 1 1 经分析化简得： Si = Ai Bi Ci-1 Ci

11、 = Ai Bi + Bi Ci-1 + Ai Ci-1 实现：可以用逻辑器件非门、与非门、与或非门和半加器（异或门）来实现。问题提出：加法器执行时间？一般整个加法器的执行时间主要取决于加法器的字长n 的大小，与全加器的延迟时间关系不大。要提高运算速度就是要提高加法进位信号的传送速度。（采用并行进位的方式实现）全加器的结构图 练习题及参考答案1.已知：X0.01111，Y0.11001，求X补，X补，Y补，-Y补， XY？XY？并判断是否溢出。2用补码运算方法求XY？并判断是否溢出。 (1)X0.1001，Y0.1100 (2) X0.0100，Y0.10013.用补码方法求XY?并判断是否溢

12、出。 (1)X0.0100，Y0.1001 (2) X0.1011，Y0.1010解1：X补1.10001，X补0.01111， Y补0.11001，Y补1.00111,XY0.01010(无溢出) XY0.11000(溢出，结果错) 解2：(1)XY1.0101(溢出，结果错) (2)XY0.0101(无溢出) 解3：(1)XY0.1101(无溢出) (2)XY0.0001(无溢出)3.3 定点乘法运算及其实现实现乘除法运算的方案： 1、使用乘除运算较多，速度要求高时，硬件直接实现； 2、一般情况，配置乘除法选件； 3、而对速度要求不高的机器，用软件实现.3.3.1 原码一位乘法1、手算过程

13、（两个无符号数） 例: 11011011 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1被乘数乘数2、计算机执行过程：运算规则：1）符号位不参加运算，乘积的符号位是参加运算的两个符号的异或。2）绝对值参加运算的过程： 存在3个寄存器，寄存器1用来存放部分积的初始值，初始值为0；寄存器2存放乘数；寄存器3存放被乘数。 运算时通过判断寄存器2的最低位来判断是加被乘数还是加0。每求一次部分积后部分积和乘数一起进行右移。（相加右移）例：已知X=0.1011 Y=0.1001 求(X Y)原 =0.1011 =0.1001则

14、按原码一位乘法运算规则，求XY原的数值部分。所以|X|Y| = 0.01100011,而Zs = Xs Ys = 1 0 =1最后求得XY原 = 1.01100011 YX执行过程 +) 0. 0 0 0 0 +) 0. 0 0 0 0 +) 0. 1 0 1 1 +) 0. 1 0 1 1 0. 0 0 0 10. 0 1 1 00. 1 1 0 00. 0 0 1 00. 0 0 1 00. 0 1 0 10. 0 1 0 10. 1 0 1 10. 0 0 0 0右移一位得部分积Z4，乘数同时右移一位右移一位得部分积Z3，乘数同时右移一位，Y1=1，加|X|右移一位得部分积Z2，乘数同时

15、右移一位， Y2=0，加0右移一位得部分积Z1，乘数同时右移一位， Y3=0，加0设部分积初值Z0=0， Y4=1，加|X|操作说明乘 数部 分 积1 0 0 11 1 0 01 1 1 00 1 1 10 0 1 1低 位 积高 位 积流程图 R1存放乘数，最低位Yn为判断位，R0放部分积，R0、R1具有右移功能并且是连通的。寄存器R2存放被乘数，加法器用来完成部分积与位积的求和。 乘法开始时，启动信号使计数器及 R0清0，每进行一次“相加右移”的操作，将计数器加1.加到计数器的内容为n。表示一次原码一位乘法运算结束。计数器给出信号使控制触发器为0。 运算结束，乘积的高n位数据在R0中，低n

16、位在R1中。 R1 中原来的乘数在移位中丢失了.原码一位乘法逻辑框图3.3.2 补码的一位乘法原码乘法的缺点: 1)符号要单独运算。 2)对于采用补码存储的计算机,那么计算的过程复杂。补码一位乘法中比较常用的是Booth算法,也称为比较法。1、运算规则：1)在乘数Y的最后附加一位Y n+1=02)从乘数的最低位Y n+1开始,倒序每次取2位乘数根据规定完成相应的“相加右移”操作。(算术右移的操作)Y iY i+1=0 0 直接右移一位 0 1 部分积+X补,右移一位 1 0 部分积+X补,右移一位 1 1 直接右移一位3)上面操作共进行n+1次,最后一次不移位。例1:已知 X=13,Y=11,

17、求XY 解：X补=01101 Y补=01011 X补=10011XY补=010001111 得XY=143例2:已知 X=0.10101,Y=0.11010,求XY解： X补=1.01011 Y补=0.11010 X补=0.10101 XY补=1.0111011110 XY原=1.1000100010得XY=0.1000100010例1的解题过程例2的解题过程补码一位乘法流程图：补码一位乘法器:1)各寄存器存放的是操作数部分积和乘积的补码。2)符号位和数码位一起参加运算，可得到乘积的正确符号。3)乘数寄存器R1应增加一位附加位,初始值为0。4)被乘数寄存器R2存放的是X补，应能以正反两种方式宋

18、加法器，正送时实现X补，反送时实现-X补。补码一位乘法逻辑图习题及参考答案习题1：已知X0.1101，Y0.1011，求XY的值。(分别用原码和补码两种方法求解)习题2：已知X0.011，Y0.011，求XY的值。(分别用原码和补码两种方法求解)答案：习题1：XY原1.10001111XY补1.01110001习题2：XY原0.001001XY补0.0010013.4 定点除法运算及其实现3.4.1 原码除法运算 运算规则1) 符号位单独运算，两个操作数的绝对值相除。2) n位的原码除法是指被除数为2n位，除数，商和余数都为n位，如果被除数为n位,需要扩展成2n位后运算。 原码除法包括：恢复余

19、数法和加减交替法1.恢复余数法恢复余数法与手算过程相似。例如：X0.1001，Y=0.1101，求X/Y=？解：Q fX f Y f =1最后应给商和 余数冠以正确的符号：Q0.1011R0.00012-4对上述手算过程作如下说明:(1)对于n位除数来说，为了保证商数的数码位n位，必须要求被除数的高端n位小于除数，否则，商数的小数点前将为1，表示除法运算产生溢出，对于定点除法运算来说这是不能允许的，遇到这种情况，除法运算应终止。(2)每次上商总是比较一下余数和除数的大小，若余数大于除数时，则商“1”，且将余数减去除数后左移1位得新的余数，若余数小于除数则商“0”，只将余数左移1位得新的余数，上

20、述过程重复进行n次，共上n位商数，完成n位除法运算的全过程。(3)最后根据符号位单独运算的结果，给商数冠以正确符号，余数的符号位应与被除数相同。 上述操作过程在计算机中实现，需要稍做如下改动：(1)为判定本次除法运算是否产生溢出，首先需要将被除数的高n位减去除数，若其余数大于“0”，则判定本次运算溢出，立即终止除法运算过程；若余数小于“0”，则应将除数加回去恢复被除数，继续除法运算过程。(2)每次上商之前总要做一次余数减除数的操作。若该余数大于或等于“0”，则表示够减，商“1”后将该余数左移一位得新余数；若该余数小于“0”，则表示不够减，商“0”，而且本次减法运算不该做，应将除数加回去，恢复原

21、来的余数后将其左移一位得新余数，“恢复余数法”因此面遇名。 上述手算例子采用原码恢复余数法在计算机中的操作过程如下：例题1：已知：X0.1001，Y=0.1101，求X/Y=？解：符号位单独运算：QfXf Yf1 X 原 X 原 0.1001, Y 原 Y 原 0.1101,- Y 原 1.0011, 最后给出结果，冠以正确得符号： 商数Q0.1011 余数R0.000124例题2：已知：X0.01010，Y=0.11001，求X/Y=？最后给商数和余数冠以正确的符号： Q=0.01100 R0.101002 2-5-5 从上述操作过程可以看出，恢复余数法存在两个明显的缺点：(1)商“0”时，

22、需要恢复余数，降低了除法运算得速度。(2)操作步骤不规则，商“1”时只需做3步操作，而商“0”时需要做5步操作。 2.加减交替法“加减交替法”又称做“不恢复余数法”它是由“恢复余数法”改进而来的。先分析恢复余数法的操作过程：第i次操作是将余数Ri左移一位后减去除数Y得新的余数Ri1，即Ri12RiY。若Ri10则商“1”，然后进入第i+1次的操作为： 2 Ri1Y若Ri+l0则商“0”，然后需恢复余数，即： 完成Ri+l+Y=2 Ri ，才进入第i+1次操作为：4RiY如果当第i次操作商“0”时，不恢复余数，而是直接进入第i+1次操作，将小于“0”的余数(Ri1)继续左移一位后“+Y”，即：

23、2Ri+1Y=2(2RiY)Y=4RiY可将恢复余数法改进为： 若Ri+l0，商“1”，下次作2Ri+lY 若Ri+ln则将操作数Y的尾数右移一位，Y的阶码n加1，直到mn。若mn则将操作数X的尾数右移一位，X的阶码m加1，直到mn。3.5 浮点数的算术运算方法 (2)尾数相加 尾数相加与定点数的加、减法相同。(3)结果规格化当运算结果的尾数部分不是11.0XXX或00.1XXX的形式时，则应进行规格化处理。当尾数符号位01或10需要右规 右规的方法是尾数连同符号位右移一位、左边补上一位与最高位相同的位，和的阶码加1，右规处理后就可得到11.0XXX或00.1XXX的形式，即成为规格化的数。

24、当运算结果的符号位和最高有效位为11.1或00.0时需要左规。 左规的方法是尾数连同符号位一起左移一位、和的阶码减1，直到尾数部分出现11.0或00.1的形式为止。(4)溢出判断 阶码的符号位出现01或10时，表示溢出； 尾数的符号位出现01或10时，给出的是运算结果需要右规的信号。 说明：1.关于舍入的操作 在进行对阶和规格化的过程中，都会遇到舍入的问题，采用不同的舍入法，可以使算结果具有不同的精度。比较常用的舍入法有： 截尾法：遇到舍入时，不管被舍掉的是什么值，应全部将其舍弃，这是最简单的舍入法。这种方法精度低。 恒置“1”法：遇到舍入时，不管右移多少位，总是将右移后保留的最后一位恒置“1

25、”。这种方法精度稍高于前者。 “0”舍“1”入法：遇到舍入，若被舍弃的最高位为“0”则舍弃，若为“1”则在保留的最末位上加1。这是一种精度较高的舍入法，但速度较慢，“1”入时要增加一次加法操作。2 .浮点加减法运算中的溢出问题 尽管浮点数表示数的范围很大，但是在加减法运算中，同样有可能出现运算溢出的情况。 而浮点运算中溢出判定的方法与定点运算完全不同，浮点加减法运算的溢出与尾数无关，由它的阶码来决定。当运算结果的阶码大于它所能表示的最大正数或小于它所能表示的最小负数时，表示浮点运算产生了溢出。 例如，若某次浮点加减法运算的结果为： XY补00.111，10.1011100111 则应对其进行向

26、右规格化操作，即将尾数右移一位成为：11.0101110011，阶码应加l，即应进行如下操作： 00.111 + 00.001 01.000这是因为阶码已超出它所能表示的最大正数(+7)，表明本次浮点运算产生了“溢出”。 同样，若某次浮点加减法运算的结果为： XY补11.010，00.0000110111应对它进行向左规格化操作，即将尾数左移4位成为：00.1101110000；阶码应减4，即进行如下操作： 11010 + 11100 4补 10110这是因为阶码已超出它所能表示的最小负数(-8)，表明本次浮点运算产生了“溢出”。 由此可以看出，浮点加减法运算是否产生了“溢出”是由运算结果的阶

27、码来确定的，当阶码的两位符号位相异时，表示产生了溢出，这也正是阶码要采用两位符号位的原因。但是溢出的性质是由尾数的符号位来确定的，若其尾数的符号位为正，则为“正溢出”，否则为“负溢出”。 例1：已知某计算机模型浮点数格式如下：阶码3位，外加符号位，尾数7位，外加符号位。现有两个十进制数X105.3，Y33.5。(1)请将X和Y这两个数转换成二进制浮点数。(2)请按计算机浮点运算操作步骤，求X+Y的二进制数值。 解：(1)(105.3)10=(1101001.0100110)2转化为规格化浮点形式为：阶码为00111，尾数为00.1101001(010)(括号中为移掉的数位)。(33.5)10=

28、(100001.1000000)2转化为规格化浮点形式为：阶码为00110，尾数为00.1000011。 (2)求阶差和对阶：E为1。Y的阶码小，应使Y的尾数右移1位，阶码加1。此时Y的阶码为00111，尾数00.0100001(1)(括号中为移掉的数位)。尾数求和：00.1101001(010)+00.0100001(1)=01.0001010(110)。规格化处理：两个符号位不同，要执行右规处理。结果为001000101(0110)，阶码为01000。舍人处理：按照0舍1人，将其舍掉。判溢出：阶码的符号位为01，发生溢出，置溢出标识。 例2：设浮点数的阶码为4位(含阶符)，尾数为8位(含尾

29、符)，按机器补码浮点运算步骤，完成下列XY补运算。 X=5(18/32）， Y=12(8/16) 解：X=010110010=23 0.10110010 , Y=11001000=240.11001000 X补=0011，0.1011001 , Y补=0100，0.1100100对阶：E0011+1100=1111，其真值位1，即X的阶码比Y的阶码小1，X的尾数应右移1位，阶码加1得：X=0100，0.0101101 (0舍1入)。尾数相加减用双符号，即X Y补 00.0101101 00.0101101+ 00.1100100 + 11.0011100 01.0010001 11.10010

30、01结果规格化由于加运算结果的尾数为01.XX的形式，所以应右规，尾数右移一位，阶码加1，所以结果为：XY补0101，0.1001001 (0舍1入)，XY=21010.1001001由于减运算结果的尾数为11.1XX的形式，所以应左规，尾数左移一位，阶码减1，所以结果为：XY补=0011，1.0010010，XY=0.1101110 20113.5.2浮点乘法运算 设X=2mMx，Y=2nMy 则XY=2m+n(MxMy)， 其中，Mx，My分别为X和Y的尾数。 浮点乘法运算也可以分为3个步骤： 1.阶码相加： 2.尾数相乘： 尾数相乘可按定点乘法运算的方法进行运算。 3.结果规格化：3.5

31、.3浮点除法运算 X=2mMx，Y=2nMy则XY=2mn(MxMy)，其中，Mx，My分别为X和Y的尾数。浮点除法运算也可以分3步进行： (1)如果被除数的尾数大于除数的尾数，则将被除数的尾数右移一位并相应调整阶码。 (2)阶码求差 (3)尾数相除 两个尾数相除与定点除法相同。 下面通过一个实例来说明其运算过程例如：已知X0.01002111，Y+0.11112010，求QXY?解： X原11.111，11.0100 X补11.001，11.1100 Y原11.010，00.1111 Y补11.110，00.1111(1)阶码相减 Xe补11.001 + Ye补00.010 Qe补11.01

32、1 (2)尾数相除(拟采用补码除法) Xm补11.1100 Ym补00.1111 Ym补11.0001 于是：Qm补11.1100 Rm补11.110024(3)对结果规格化 商 Qm原0.0100 左移1位得： Qm原0. 1000 阶码Qe原101001110最后得：商数Q0.10002110 余数R0.010024习题及参考答案：例3：设数的阶码为4位，尾数9位，均含符号位，用浮点运算方法计算： 23(-13/16)(2411/16) 。例4：设数的阶码为4位，尾数9位，均含符号位，用浮点运算方法计算： (2-213/32)(2311/16)。 解3：X=23(13/16)=2011(0

33、.1101) ， Y=2411/16=21000.1011 XY=2111(0.1101)0.1011 设X=0.1101，Y=0.1011，下面用补码一位乘法求：(0.1101)0.1011补 X补=1.0011，Xl补=0.1101， Y补0.1011 0.11010.1011补1.01110001最后求得：XY补201111.01110001 解4：X=(2-213/32)=2010(0.1001) ， Y=2311/16=20110.1011 XY=2-101(0.1001)0.1011利用补码的不恢复余数除法求：(0.1001)0.1011求解得：Q1.0011 R1.11112-4

34、 (余数与被除数同号)所以：XY210111.00113.6 3.6 逻辑运算及其实现逻辑运算及其实现 计算机中除了进行加、减、乘、除等基本算术运算以外，还可对两个或一个逻辑数进行逻辑运算。所谓逻辑数，是指不带符号的二进制数。利用逻辑运算可以进行两个数的比较，或者从某个数中选取某几位等操作。例如，当利用计算机做过程控制时，我们可以利用逻辑运算对一组输入的开关量做出判断，以确定哪些开关是闭合的，哪些开关是断开的。总之，在非数值应用的广大领域中，逻辑运算是非常有用的。计算机中的逻辑运算，主要是指逻辑非、逻辑或、逻辑与、逻辑异或等四种基本运算。1逻辑非“逻辑非”由反相器来实现。2逻辑与“逻辑与”由与门来实现。3逻辑或“逻辑或”直接由或门来实现。4逻辑异或 “逻辑异或”由异或门来实现。 3.7 3.7 定点运算器的基本结构定点运算器的基本结构1. 运算器中数据传送通路由于计算机内部的主要工作过程是信息传送和加工的过程，因此在机器内部各部件之间的数据传送非常频繁。为了减少内部数据传送线并便于控制，通常将一些寄存器之间数据传送的通路加以归并，组成总线结构，使不同来源的信息在此传输线上分时传送。 根据总线所处的位置，总线分为内部总线和外部总线两类。内部总线是指CPU内各部件的连线，而外部总线是指系统总线，即CPU与存储器、