二次函数的图像和性质知识点与练习

1、二次函数的图像和性质知识点与练习多教学目碣一一2,1,能够利用描点法做出函数V= ax2, y=a（x-h） 2,y = a（x-h） 2+k和y = ax+bx十c图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2.2,理解二次函数y=ax +bx+c中a、b、c对函数图象的影响。拿知一识梳灌）一、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法2 2五点绘图法：利用配方法将二次函数y-ax +bx+c化为顶点式y-a（x-h）+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点（0，c）、以及（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c）、

2、与x轴的交点（X，0 ）, （x2, 0 ）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.例1.在同一平面坐标系中分别画出二次函数y = x2,y = -x2 ,y = 2x2 ,y =-2x2 ,y =2 （x-1 ） 2 的图像。一、二次函数的基本形式2 ,1. y = ax的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a >0向上(0,0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x _ 0时，y有最小值0 .a <0问卜(0,0)y轴x>0时，y随x

3、的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x_0时，y有最大值0 .2. y = ax2+k的性质： （k上加下减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a >0向上(0,k)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值k.a <0问卜(0,k)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值k.3. y=a （x-h） 2的性质：（h左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a >0向上(h,0)直线x=hxh时，y随x的增大而增大；x<h时，

4、y随x的增大而减小；x = h时，y有最小值0 .a <0问卜(h,0)直线x=hxh时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x = h时，y有最大值0 .4. y = a (x h)2 + k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a >0向上(h,k)直线x=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x - h时，y有最小值k .a <0问卜(h,k)直线x=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x _ h时，y有最大值k .5. y =ax2+bx+c 的性质:a的符号

5、开口方 向顶点坐标对称轴性质(增减性)a >0向上/2、b 4acb直线bx =2abx>2a时，y随x的增大而增大；bx -2a时，y随x的增大而减小； 2b4ac-bx =-:2a时，y有最小值4a .2a' 4a ,a <0问卜22、b 4ac-b 2a4a直线bx =2abx > 2a时，y随x的增大而减小；bx <2a时，y随x的增大而增大；, 2b4ac-bx =-2a时，y有最大值 4a .二、二次函数图象的平移1.平移步骤:2方法一：将抛物线解析式转化成顶点式 y =a(x h)+k ,确定其顶点坐标(h，k ).2保持抛物线y=ax的形状

6、不变,将其顶点平移到k)处，具体平移方法如下：y=aX2向右(h>0)或左(h<0)平移|k|个单位向上(k>0)或下(k<0)】平移凶个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k由单位 > y=ax2+k向右(h>0)或左(h<0) 平移|k|个单位平移|k1单位向上(k>0)或下(k<0)】"y=a(x-h)2向右(h>0)或左(h<0)平移|k|个单位y=a(x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：2.2

7、.y=ax +bx+c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y=ax +bx+c变成2.2,y=ax +bx+c+m (或 y=ax +bx + cm)2.2.y=ax +bx+c沿x轴平移：向左(右)平移 m个单位，y = ax +bx + c变成22y 二 a(x m) b(x m) c (或 y = a(x - m) b(x m) C) ,2,2四、二次函数y=a(x-h)+k与y=ax +bx+c的比较22.从解析式上看，y =a(x h)k与y =ax +bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者y=a'xL4ab2，即 I 2al 4a ，其中. b .h = ,

8、 k =2a, 24ac-b4a六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称22y=ax +bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax -似-c；22y =a(X-h )+k关于x轴对称后，得到的解析式是y =-a(x-h) -k .2.关于y轴对称22y =ax +bx +c关于y轴对称后，得到的解析式是y =ax -bx +c ；2 2y=a(xh)+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h) +k；3 .关于原点对称22y=ax +bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax +bx-c；22y =a(x _h) k关

9、于原点对称后，得到的解析式是y =-a(x+h) -k.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.争典例讲练)例1、抛物线y= 2x2 + 6x 1y=2x2+ 6x- 1对称轴顶点坐标开口方向ag增减性最值例2、已知直线y=2x+3与抛物线y=ax2相交于 A B两点，且A点坐标为(3,m)(1)求a、m的值；(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；(3) x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；(4)求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积.例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：(1) y=ax2 经过

10、(1,2);1(2) y=ax2与y=2x2的开口大小相等，开口方向相反;21(3) y=ax2与直线 y=±x+3 交于点(2,m).例4、试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐 标。2 ,(1)右移2个单位；(2)左移三个单位；(3)先左移1个单位，再右移4个单位。3例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移 3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析 式是y=x2 3x+5,试求b、c的值。,当堂总司多一当堂检一测）训练题：1 . 抛物线 y= 4x2 4的开口向, 当 x=时,y 有最 值,y=.2 .当m=时,y= （m- 1）

11、 xm.一3m是关于x的二次函数.3 .抛物线 y=3x2上两点 A （x, 27） ,B （2,y ），则 x= ,y=.4 .当m二日,抛物线y= （m+ 1） xm ' + 9开口向下，对称轴是.在对称轴左侧,y随x的增大而 ；在对称轴右侧,y随x的增大而 .5 .抛物线y=3x2与直线y=kx + 3的交点为（2,b ），则k= ,b=.6 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（一1, 2）,则抛物线的表达式为7 .在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）1 2122A. y="x2B. v= - 3 弋C y= - 2x22D. y=

12、x8.抛物线，y=4x2,y= 2x2的图象，开口最大的是（）1 222A. y= 4 x2B. y=4x2C. y= 2x2D.无法确定9.对于抛物线y=1x2和y=1x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）33A.两条抛物线关于 x轴对称B.两条抛物线关于原点对称8 / 8D.两条抛物线的交点为原C.两条抛物线关于 y轴对称点11.已知函数y=ax2的图象与直线 y=-x+ 4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为()1A. 4B. 2C.二21、 41512 .已知二次函数 y= 7 x?2 x +6,当 x=时,y 最小=; 当 x 时,y 随 x的

13、增大而减小.13 .抛物线 y=2x2向左平移 1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线表达式为14 .若二次函数 y=3x2+mx 3的对称轴是直线 x=1，则m=。15 .当n=,m =时，函数y=(m+ n)xn+ (m-n)x的图象是抛物线，且其顶点在 原点，此抛物线的开口 .16 .已知二次函数 y=x22ax+2a+3,当a=时,该函数y的最小值为0.17 .二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y随x的增大而 ;当x<1时,y随x的增大而;当x=1时，函数有最 值是。18 .如果将抛物线y=2x2 1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式 为。19 .将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2- 4x- 1则a = ,b = ,c =20 .将抛物线y= ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3,1),那么移动后的抛物线的关系式为 21、右图是二次函数 y1=ax2+bx+c和一次函数 y2=mx+n的图像，？观察图像写出 y2>y1时,x 的取值范围.22、函数 y=ax2 (a w 0)的图像与直线y=-2x-3 交于