对2009年高考数学上海卷理科第22题的深入研究

1、.杜安利发稿对2009年高考数学上海卷理科第22题的深入研究卫福山（上海市松江二中）2009年高考数学上海卷理科第22题如下：已知函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a0)，函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足“a和性质”。若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足“a积性质”。（1）判断函数g(x)=x2+1(x0)是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f(x)(x0)对任何a0满足“a积性质”，求y=f(x)的表达式。这道题目的得分率很低，

2、特别是第（3）问的得分率低于0.1，算是一道难度偏大的题。但从数学研究的角度，笔者对这道题进行了较深入的研究，觉得还是有一定的价值的，对中学数学教师的教学有一定的启示。一、对题目的理解本题算是一道概念学习型问题，是从反函数的概念引发而来的，对高中生而言并不陌生，但反函数是学生学习中的难点。学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。1关于题设的理解（1）从代数角度，由于y=f-1(x+a)的反函数为y=f(x)-a，故函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数即满足f(x+a)=f(x)-a。同理，函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数，则。（2）从几何角度，不妨假

3、定a0，由于函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平行移动a个单位得到的，函数y=f-1(x+a)的图象是由函数y=f-1(x)的图象向左平行移动a个单位得到的，所以函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)的图象关于直线y=x+a对称。同理，函数y=f(ax)与y=f-1(ax)的图象关于直线y=ax对称。2关于问题的理解试题的第（1）问和第（2）问是让考生研究满足“a和性质”的特殊函数，这里起点很低，一个是给定一个具体函数，让考生按照定义去验证，一个是让考生利用待定系数法求出一类满足“a和性质”的函数（即一次函数）。第（3）问要求很高，让考生探求满足“a积性质”的函数表达

4、式,这里要深刻理解“给定”与“任何”的差异。对给定的实数a(a0)，则a视为（常）参数；对任何a0，则a视为（变）参数，因此第（2）问和第（3）问对参数a的要求不同。二、对问题的深入思考关于第（2）问，给出前提“一次函数”，解决起来问题不大。但是反问一下：满足“2和性质”的函数是否一定是一次函数呢？或者更一般地，满足“a和性质”的函数是否一定是一次函数呢？这里题目中“给定”两字尤为重要。事实上，对给定的实数a(a0)，函数f(x)不一定是一次函数，如满足“1和性质”的函数可以是f(x)=-x+b(bR)、f(x)=-x等，满足“2和性质”的函数可以是f(x)=-x+b(bR)、f(x)=(cR

5、)等，即满足“a和性质”的函数不一定是一次函数。如果对任何实数a，函数f(x)满足“a和性质”，结果如何呢？笔者经过研究发现结果是肯定的，有如下的命题。命题：设y=f(x),xR是初等函数，且对任何实数a(a0)有f(x+a)=f(x)-a，则f(x)=-x+b（b为任何实数）。证法1：令a=1有f(x+1)-f(x)=-1。当xN*时，有：f(2)-f(1)=-1,f(3)-f(2)=-1,f(n)-f(n-1)=-1, 相加得f(n)=-n+f(1)+1。因此，当xN*时，有f(x)=-x+f(1) +1。令a=(nN*)，则有，于是：相加得，即。同样，（nN* ,mN*）。于是对任何正有

6、理数x，f(x)=-x+f(1) +1。用-x代替x有f(-x+a)=f(-x)-a，同样得对任何负有理数x，f(x)=-x+f(1) +1。于是对任何有理数x，有f(x)=-x+f(1) +1。对任何xR，利用实数的稠密性，存在一串有理数xn，使得 利用初等函数的连续性，有f(x)=。又由已知条件f(1)的值无法确定，是（常）参数，令f(1)+1=b(bR)，得f(x) =-x+b。证法2：令x=1有f(1+a)=f(1)-a。由于a为任何实数，令1+a=x，则xR,a=x-1，于是有f(x)=f(1)-(x-1)=-x+f(1)+1。令f(1)+1=b(bR)，得f(x)=-x+b。证法3

7、：由于方程f(x+a)=f(x)-a对任何aR,xR成立，不妨先将x看作参数，a看成是变量，于是f(x+a)=-(x+a)+f(x)+x，且此时f(x)+x看成是参数。记f(x)+x=b(bR)，即f(x+a)=-(x+a)+b，再用x代替x+a有f(x)=-x+b(bR)。【评注】对任何实数a，则视a为变参数，这就是证法1中可以令a=1,a=,以及证法2中令1+a=x，xR的原因。证法3就是辨证看待变元a、x，使解题简单。关于第（3）问，有了第（2）问的深入理解就很简单了。简解如下.解：由于函数y=f(x)(x0)对任何a0满足“a积性质”，即，视x为参数，a为变量，将方程改写成，这里a0,

8、 x0，显然，否则与f(x)存在反函数矛盾，由于x为参数，不妨令xf(x)=k。用x代替ax，有。三、对试题编制的想法笔者认为这样一道高考试题的想法很好，将反函数的概念与函数图象的平移、伸缩变换结合起来，又涉及到最基本又最重要的加法、乘法运算，而进一步的研究又发现本题涉及含参数的问题中参数与变量的辩证看待。学生在学习反函数时，常常不能正确区分记号“f”与“f-1”，事实上，若f(x)存在反函数，则f(a)=ba=f-1(b)。y=f(x+a)的反函数是y=f-1(x)-a，y=f(ax)的反函数是，从中我们或许能感受反函数的“反”。从函数f(x)与f-1(x)互为反函数出发编制与f(x)及f-

9、1(x)均有关的试题，学生在平时的解题中也会遇到，如求满足f(x)= f-1(x)（即自反函数）的函数表达式，这样的函数很多，比如y=x，结合自己对问题的深入思考，笔者有以下的一些想法。（1）对给定的实数a，满足“a和性质”的函数不一定是一次函数，如前面的反例，但如果结合高等数学有关连续的知识后，若要求函数是连续函数时结果如何呢？即问题1.问题1：若函数f(x), xR是连续函数，且对给定的实数a(a0)，有f(x+a)=f(x)-a，则f(x) =-x+b（b为任何实数）是否成立？对满足“a和性质”有完全类似的想法，即问题2.问题2：若函数f(x), x0是连续函数，且对给定的实数a(a0)，有，则是否成立？1、 （2）受到本题理解上的启发，我们也可以研究对给定的实数a(a0)，函数y= f(x+a)与y=f-1(x-a)互为反函数及函数y= f(ax)与互为反函数的函数的相关性质，在此不一一写出，有兴趣的读者可以去尝试。对格式的要求 知网学位论文检测为整篇上传，上传论文后，系统会自动检测该论文的章节信息，如果有自动生成的目录信息，那么系统会将论文按章节分段检测，否则会自动按每一