2016浙江省高考数学试题答案解析(理)

1、绝密考试结束前 2016年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷） 数学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 5页，选择题部分 1至 3 页，非选择题部分 4至 5 页.满 分 150 分，考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 选择题部分（共 50 分） 注意事项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题 纸规定的位置上. 2 每小题选岀答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上 . 参考公式： 如果事件 A, B互斥

2、，那么 柱体的体积公式 P A B 二 P A P B V =Sh 如果事件 A，B相互独立，那么 其中 S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 P A B =P A P B 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 1 V Sh 3 n 次独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中 S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 Pn k 二c： pk 1 -p 心，k =0,1,2,川,n 球的表面积公式 台体的体积公式 S =4TR2 v Jh（s 啊SSTP） 3 球的体积公式 其中S,S2分别表示台体的上底、下底面积， 4 3 V n3 3 h 表示台体的高 其中 R

3、表示球的半径 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A= x|1 V xv 4，B= x| x 2-2x 30; x - -1，得：y = 0;观察即得答案. 【答案】B 5 .设 a, b 是两个非零向量. 2 已知 i 是虚数单位，则 C. A.若 | a+ b| = | a| | b|，贝 U a 丄 b B. 若 a 丄 b,则 | a+ b| = | a| | b| C. 若| a+ b| = | a| | b|，则存在实数 人使得 a=血 D. 若存在实数 人 使得 a = Ab,则| a

4、 + b| = | a| | b| 【解析】禾 U 用排除法可得选项 C 是正确的，T |a + b| = | a| | b|，贝 U a, b 共线，即存 在实 数入使得 a = b 如选项 A: | a + b| = | a| | b|时，a, b 可为异向的共线向量；选项 B： 若 a 丄 b，由正方形得| a + b| = | a| | b|不成立；选项 D：若存在实数 人使得 a = Ab, a, b 可为同向的共线向量，此时显然 | a+ b| = |a| | b|不成立. 【答案】C 6.若从 1, 2, 2,，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法

5、共 有 A. 60 种 B. 63 种 C. 65 种 D. 66 种 【解析】1, 2, 2，9 这 9 个整数中有 5 个奇数，4 个偶数要想同时取 4 个不同的 数其和为偶数，则取法有： 4 个都是偶数：1 种； 2 个偶数，2 个奇数：C；C： =60种； 4 个都是奇数：Cs =5 种. 不同的取法共有 66 种. 【答案】D 7 .设 S n是公差为 d（d丰0）的无穷等差数列a n的前 n项和，则下列命题错误.的是 A. 若 d v 0，则数列Sn有最大项 B. 若数列Sn有最大项，则 d v 0 C. 若数列Sn是递增数列，则对任意的 N*，均有Sn 0 D. 若对任意的 N*

6、，均有 Sn 0,则数列S n是递增数列 【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：一 1, 0, 1, 2, 3,.满足数列Sn是递增数 列，但是 S n 0 不成立. 【答案】C2 2 =1 (a, b 0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 b FiB 与 C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x轴交于点 M .若 即e= 【答案】 9 .设 a 0, b 1 0. A.若 2a 2a =2b 3b , 则 a b B.若 2a 2a =2b 3b , 则 av b C.若 2a -2a =2b - 3b , 则 a b D.若 2a -2a =2b -3b

7、 , 则 av b f x =2x 2x在 x0 上单调递增，即 a b 成立. 余选项用同样方法排除. 【答案】A &如图，Fi, F2| MF2| = | F1F2|，则 C 的离心率是 C. 2 D. 3 【解如图：|0B| = b, |O Fi| = c. (第8题图) 直线 PQ 为: -(x+ c),两条渐近线为: c b y= x. a b y= (x+ c) 由 r y= x L a ，得: Q(竺 c - a )； c -a f b y= (x+ c) 由 c I b y= - x 得: P( c - a bc 正).直线 MN c a 为：y-旦 c +a -(x-

8、 c -ac ri丿, c a 令 y= 0 3 c 2 2 c -a c3 又 | MF2| = | FiF2| = 2c, 3c= XM = 2，解之得：e c -a c2 3 _2， 【解析】若 2a 2a = 2b 3b，必有 2a +2a A 2 + 2).构造函数： f (x) = 2x 2x , f x=2x 4n 2 2.恒成立，故有函数 2 2 10.已知矩形 ABCD, AB= 1, BC= 2 .将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着, 在翻着过程中， D.对任意位置，三直线“ AC 与 BD” “ AB 与 CD” “ AD 与 BC均不垂直 【解析 】最

9、简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可 知选项 C 是正确的. 【答案】CA 存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 绝密考试结束前 2016年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷） 数学（理科） 非选择题部分（共 100 分） 注意事项: i 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11.已知某三棱锥

10、的三视图 （单位：cm）如图所示，则该三 棱锥的体积等于 cm3. 正视图百罰视图 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于 （第】1题【答案】1 12 若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 T 1 1 2 1 6 1 24 1 120 i 2 3 4 5 6 r=ij=i j r r- 1 1 円十i 1 【答案】 120 13.设公比为 q（q0）的等比数列a n的前 n项和为Sn.若 S2 =3a2 2 , S4 = 3a4 2，则 q = （第12题图） 【解析】将 S2 =3a2 2，S4 =3a4 2 两个式子全部转化成用 a，

11、 q 表示的式子. 即；1爲鳥雹-3【解析】T, i 关系如下图: 足 3 解之得：q =2 or q - 一1 （舍去）. 3 【答案】3 2 14.若将函数f x =x5表示为 2 5 f x = a0 - a1 1 x 厂a2 1 x a5 1 x 其中 a。, a , a2，a5为实数，则狂= _ . 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等. 上5 1 即： C；a5 a4 = 0 = a3 =10 . C；a5 C：a4 鸟=0 法二：对等式：f X = X = ao a1 1 X a2 1 X a5 V x两边连续对x求导三次得: 60 x2 =6a3，24a4（1 x） 60a5

12、（1 x）2，再运用赋值法，令 x- -1 得：60 =6 玄3，即 a10 . 【答案】10 15.在. ：ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 3, BC= 10, 【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设.：ABC 是以 AB= AC 的等腰三角形，如图， AM = 3, BC= 10, AB= AC= 34 . cos/ BAC= 34 34 1-29 . 7B AC = AB AC cos. BAC =29 234 34 【答案】29 16定义：曲线 C 上的点到直线 I的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1： y= x 2+ a 到直线 l: y= x

13、 的距离等于 C2： x 2+ (y+ 4) 2 = 2 到直线 I: y= x 的距离, 则实数 a = 【解析】C,: x 2 + （y + 4） 2 = 2，圆心（0， 4）, d 。一严 =2 2，故曲线 C2到直线 I: y= x 的距离为 J2 1 x ，曲线 C1： y= x2 + a 到直线 l:圆心到直线 I: y= x 的距离为: d = d r = d %,2 = 2 . 另一方面：曲线 G： y = x 2+ a，令 y2x=0，得: 贝 U AB AC = 1 1 【答案】7 17.设 a R,若 x0 时均有(a 1)x1( x 2- ax 1) 0,贝 V a =

14、 y = x 的距离的点为(一， a ), d = 2 二 2 4 1 1 2-(4 a) 1 +a 4 2 7 a 二一 4 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况: (a1)x1 込 0 2 x ax 1 0 的整个区间 上，我们可以将其分成两个区间 (为什么是两个？),在各自的区间内恒正或恒负. (如下答图) 我们知道: 函数 = (a 1)x 1, y = x 2 ax 1 都过定点 P(0, 1). 考查函数 1 y1 = (a 1)x 1：令 y= 0 ,得 M( , 0),还可分析得：a 1; a 1 考查函数 2 1 y2= x 2 ax 1:显然过点 M ( , 0)

15、,代入得： a 1 =0，解之 2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)在.ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 cosA=-, 3 si nB= 5cosC. (I )求 tanC 的值； (H )若 a= 2，求：ABC 的面积. 【解析】本题主要考察三角恒等变换， 正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。 (I 厂 cosA= I 0sinAosef , 又 5 cosC= sinB= sin(A+ C) = sinAcosC+ sinCCosA = cosC+ -si

16、nC. 3 3 整理得：ta nC= (H )由图辅助三角形知: sinC= 又由正弦定理知: a c sin A sin C 2 故 c= 3. (1) 2 2 2 对角 A 运用余弦定理：cosA= b c 7 =- 2bc 3 b= -|(舍去). 2 解得：b = .3 or / ：ABC 的面积为：S= 【答案】(I ) 5 ； (H ). 2 19.(本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2 分, 取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等 )3 个球，记随 机变量 X为取出 3 球所得分数之和. (I )求

17、 X 的分布列； (H )求 X 的数学期望 曰 X).新课标 第一网 【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。 (I ) X 的可能取值有：3, 4, 5, 6. C； 5 P(X r G ； P(X =4)=當 C9 20 玄； P(X C5C 故，所求 X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 5 20 10 15 5 2 1 42 42 一 21 42 一 14 42 - 21 (n)所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)八 i P(X =i)弓 i 二 21 【答案】(I )见解析；(n ) 91 . 21 20.(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面

18、是边长为 2 3 的菱形，且/ BAD =120且 PA 丄平面 ABCD, PA= 2 晶,M , N 分别为 PB, PD 的中点. (I )证明：MN / 平面 ABCD; xkb 1.c om (n )过点 A 作 AQ 丄 PC,垂足为点 Q,求二面角 A MN Q 的平面角的余弦值. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。 15 C4 2 CT _42 P(X =6) 3 C9 42 (I )如图连接 BD. M , N 分别为 PB, PD 的中点, 在 :PBD 中， MN / BD. 又 MN二平面 MN / 平面 ABCD (n)如图建系: A(0，

19、0，0)，P(0，0，2 6)，M(拧 3, 0), N( 3 , 0, 0) , C( 3 , 3 , 0). 设 Q(x, y, z),贝 V CQ =(X .3, y-3, z), CQ 二 CP =(.3 ， 3 , 2 6 ) , Q(.3 .3 ,33, ,26). 由 OQ_CP 二 OQ CP =0,得：，=丄 3 对于平面 AMN :设其法向量为 n =(a, b, c). AM =( 一子,2 , 0) , AN=C，3, 0 , 0). 2 2第20题图) CP - b 0) a b 1 的离心率为-,其左焦点到点 P （2， 1） 的距离为一 10 .不 过原点 0 的

20、直线 I与 C 相交于 A, B 两点，且线段 AB 被直线 0P 平分. （I ）求椭圆 C 的方程； （n ）求 BP的面积取最大时直线 l 的方程. 2 2 仝+里=1 4 3 2 2 XB丄yB彳 + 1 .4 3XA -XB 3 XA XB 3 2Xg - =I - 4 yA yB 4 2 yg 3 设直线 AB 的方程为 I: y=- -x m (m 0), 显然=(3m)2 _4 3(m2 _3) =3(12 _m2) 0 . 12 v mv .12 且 m 0. 由上又有： 2 m-3 XA XB = m，仆牡= 3 1 AB| = 1 - kAB | XA XB I = -1

21、 kAB (xA - XB)2 4XAXB 点 P(2, 1)到直线 I的距离为：d = 7-m = m 2 / +kAB J1 +kAB 此时直线1的方程 y=- |x 1 . 2 2 【答案】(i)才” ；(n)y=- 2x -. 21.(本小题满分 14 分)已知 a0, b R,函数f x =4ax3-2bx-a - b . (i )证明：当 0wxw 1 时， (i )函数f x的最大值为|2a b| + a; (ii) f x + |2a b| + a0; (n )若-1 w f x w 1 对 x0, 1恒成立，求 a + b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式，导数，单调

22、性，线性规划等知识点及综合运用能力。 (I ) (i ) f x i；=12ax2 -2b . 当 bw 0 时， f (x )=12ax2 -2b 0 在 0w xw 1 上恒成立， 代入椭圆: ；2 2 x y + 1 4 3 3 y= _ _ x m 2 2 2 = 3x 3mx - m 3 二 0 -S；ABP= m = 0(舍去)时，(S：ABP) max 1 1 ?d| AB| = 2|m + or 当 | m + 2| = ,即 m= 3 此时 fx 的最大值为： f1 =4a -2b -a F =3a-b = |2 a b| + a; 当 b 0 时，x =12ax2 _2b在 OW x 1 上的正负性不能判断, 此时f x的最大值为： fb a b . 2a fmax x =maxf(O), f(1 = max( b a),(3a-b) = |2