2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明【含答案】

——2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE＝EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD＝6，求BE的长．2．如图1，在⊙O中，AC为直径，D在上，B为中点，过B作BF⊥AD于F．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）如图2，连接DO并延长交AB于G，交⊙O于E，连接BE，若AG＝AD＝1，求DF．3．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）若AB＝8cm，BD＝6cm，求弧AC的长．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．5．如图，在⊙O中，OE⊥BC于点F，D为⊙O上一点，连接DE，交AC于点G，AG＝AD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，OE＝8，求DE的长．6．如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．（1）求证：BG与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．7．如图，已知四边形APBC中，∠ACB＝∠APB＝60°，过A，B，C三点的⊙O与PA相切．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．8．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．9．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝90°，在CB上截取CD＝CA，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，以点A为圆心、AE的长为半径作⊙A．（1）求证：BC是⊙A的切线；（2）若AC＝5，BD＝3，求DE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BE的长．11．如图，在△ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若BD＝8，tanB＝，求⊙O的半径．12．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，过圆O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交线段AB于点E，交圆O于点F，连接CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与圆O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，DE的长为．13．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC、AD，CD∥AB，CO∥DE，∠A＝22.5°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当CD＝2时，图中阴影部分的周长为（直接填空）．14．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2，∠BCD＝120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线；（3）连接OP，求tan∠BPO的值．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝4，，求阴影部分的面积．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝6，求DE的长．17．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：PA为圆O的切线；（2）如果OP＝AB＝2，求AC的长．18．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，2EF＝3BE．求BF的长和⊙O的半径．19．如图，AB为直径，弦BC平分∠DBA，BD与⊙O交于点E，过点C作BD的垂线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）如果cos∠ABD＝，OA＝2，求DE的长．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，延长AC到点E，使得CE＝BC，连接BE，且∠BAE＝∠E．（1）求证：BE与⊙O相切．（2）如图2，过点C作CD⊥BE于点D，连接AD，若AB＝4，∠BAE＝30°，求tan∠BAD．参考答案：1．【解答】（1）证明：∵BE＝EF，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠CFD＝∠EFB，∴∠EBF＝∠CFD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AE⊥OC，∴∠OCB+∠CFD＝90°，∴∠OBC+∠EBF＝90°，即∠EBA＝90°，∵AB是直径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10，∴OA＝10，AB＝20，∵AE⊥OC，OD＝6，∴AD＝＝＝8，∵∠ADO＝∠EBA＝90°，∠DAO＝∠BAE，∴△DAO∽△BAE，∴，即，∴BE＝15．2．【解答】（1）证明：连接OB，∴OB＝OA，∴∠2＝∠3，∵B为CD中点，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∵AF∥OB，∴∠OBF+∠F＝180°，∵BF⊥AD，∴∠F＝90°，∴∠OBF＝90°，∵半径OB⊥BF于B，∴BF为⊙O切线；（2）连接AE，延长BO交AE于H，∵DE为直径，∴∠DAE＝∠DBE＝90°，∵AF∥BO，∴∠BHA＝180°﹣∠DAH＝90°，∴四边形AFBH为矩形，∴AH＝BF，AF＝BH，设DF＝x，∴BH＝AF＝x+1，∵OH⊥AE于H∴AH＝EH，∵DO＝EO∴OH为△ADE中位线，∴OH＝AD＝，∴OB＝BH﹣OH＝x+，∵AF∥OB，∴∠4＝∠7，∵AD＝AG＝1，∴∠4＝∠5，∴∠5＝∠6，∠6＝∠7，∴BG＝OB＝OA＝x+，∴AB＝BG+AG＝x+，在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH2＝AO2﹣OH2＝x2+x∴BF2＝AH2＝x2+x，在Rt△AFB中，根据勾股定理得：AF2+BF2＝AB2，即（x+1）2+（x2+x）＝（x+）2，解得：DF＝x＝．3．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC．∵弦BC平分∠PBD，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠OCB＝∠DBC．∴OC∥BD，∵BD⊥PD，∴OC⊥PD．∵OC为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接OC，如图，由（1）知：OC∥BD，∴△PCO∽△PDB，∴，∴，∴PA＝4．∴PO＝PA+OA＝8．在Rt△OCP中，∵cos∠COP＝，∴∠COP＝60°．∴弧AC的长＝＝．4．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝AB，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥AB，∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，又∵AC＝，∴BD＝AC＝，∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，即（2OD）2＝OD2+（）2，解得：OD＝1（负数舍去），所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．5．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵OE⊥BC于点F，∴∠E+∠FGE＝90°．∵∠FGE＝∠AGD，∴∠E+∠AGD＝90°．∵AG＝AD，∴∠AGD＝∠ADG．∴∠E+∠ADG＝90°．∵OD＝OE，∴∠E＝∠ODE，∴∠ODE+∠ADG＝90°．即∠ODA＝90°，∴OD⊥AD，∵OD为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥ED于点H，如图，则DE＝2DH．∵AG＝AD，∠A＝60°，∴△AGD为等边三角形，∴∠ADE＝60°．∵∠ODA＝90°，∴∠ODE＝30°．在Rt△OHD中，∵cos∠ODH＝，∴DH＝OD•cos30°＝8×＝4．∴DE＝2DH＝8．6．【解答】解：（1）连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°，∴BE是圆O的直径，∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，∴∠FBG+∠EBF＝90°，∴∠OBG＝90°，故BG是圆O的切线；（2）如图，连接OA，OF，∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∴∠FED＝45°，∴∠AOF＝90°，∵OA＝OF＝1，∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．7．【解答】（1）证明：连接OA，OB，OP，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠OBP＝360°﹣∠AOB﹣∠OAP﹣∠APB＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝60°，∴AP＝OA•tan60°＝4（cm），∴阴影部分的面积＝2△OAP的面积﹣扇形AOB的面积＝2×AO•AP﹣＝2××4×4﹣π＝16﹣π，∴阴影部分的面积为16﹣π．8．【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切；（2）解法一：设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6；解法二：设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴OA＝3，∵AD∥OE，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴DE的长为6．9．【解答】（1）证明：过点A作AF⊥CD于点F，如图，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAD+∠CDA＝90°．∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CDA．∵AE⊥DE，AF⊥CD，∴AE＝AF，即AF为⊙A的半径，这样，直线BC经过半圆AF的外端F，且垂直于半径AF，∴BC是⊙A的切线；（2）解：∵CD＝CA，AC＝5，∴CD＝5，∴BC＝BD+CD＝8．∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴DE∥AC，∴，∴，∴DE＝．10．【解答】（1）证明：连接OD，∵，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝90°，∵AB∥DE，∴∠AOD＝∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∵，∴AD＝BD＝＝5，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ACD＝∠ABD＝45°，∵AB∥DE，∴∠ABD＝∠BDE＝45°，∴∠BDE＝∠ACD，∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠EBD＝∠CAD，∴△BDE∽△ACD，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴AD的长为5，BE的长为．11．【解答】（1）证明：连接AO，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∵∠CAD＝∠B．∴∠DAO＝∠CAD+∠CAO＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAD＝∠B，∠ADC＝∠BDA，∴△ACD∽△BAD，∴＝＝＝，∵BD＝8，∴＝，∴AD＝4，∴CD＝AD＝×4＝2，∴BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，∴⊙O的半径为3．12．【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD与⊙O相切；（2）解：解法一：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴＝，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴＝，∵AE＝OE，∴＝，∴＝，∴OF＝4，∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，∴DE＝＝＝6．解法二：如图2，连接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝6，由勾股定理得：DE＝＝＝6．故答案为：6．13．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠A＝22.5°，∴∠BOD＝2∠A＝45°，∵CD∥AB，∴∠CDO＝∠BOD＝45°，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO＝45°，∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵CO∥DE，∴∠ODE＝∠COD＝90°，∴OD⊥EE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵CD∥AB，CO∥DE，∴四边形CDEO是平行四边形，OE＝CD＝2，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥EE，∴∠ODE＝90°，∵∠DOE＝45°，∴∠DEO＝90°﹣45°＝∠DOE，∴OD＝DE，在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2＝（2）2，∴OD＝DE＝2，∴OB＝2，∴BE＝OE﹣OB＝2﹣2，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝2+2﹣2+＝2+，故答案为：2+．14．【解答】（1）解：连接DE，如图，∵∠BCD+∠DEB＝180°，∠BCD＝120°，∴∠DEB＝180°﹣120°＝60°，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝30°，在Rt△BDE中，BE＝2，DE＝BE＝×2＝，BD＝DE＝×＝3；（2）证明：连接EA，如图，∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∵A为的中点，∴∠ABE＝45°，∵BA＝AP，而EA⊥BA，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠PEB＝90°，∴PE⊥BE，∵BE是⊙O的直径，∴直线PE是⊙O的切线；（3）解：过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝AB，∵∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴AE⊥AB，∵A为的中点，∴AB＝AE，∴BE＝AB，∵BE＝2，∴AB＝AE＝，∴AM＝AB＝，∵AE⊥AB，OM⊥AB，∴OM∥AE，∵OB＝OE，∴OM＝AE＝，∵BA＝AP，∴AP＝，∴PM＝AP+AM＝，∴tan∠BPO＝＝＝．15．【解答】解：（1）如图，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）∵∠BDO＝90°，∴sinB＝＝＝＝，∴OD＝4，∠B＝30°，∴∠DOE＝60°，∵tan∠B＝，∴BD＝＝4，∴S阴影＝S△BOD﹣S扇形ODE＝×4×4﹣＝8﹣．16．【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD与⊙O相切；（2）解：解法一：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴＝，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴＝，∵AE＝OE，∴＝，∴＝，∴OF＝2，∴BE＝OE+OB＝1+2＝3，∴DE＝＝＝3．解法二：如图2，连接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝3，由勾股定理得：DE＝＝＝3．17．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠B，∴∠BAC+∠AOP＝90°，∵∠P＝∠BAC，∴∠P+∠AOP＝90°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°，又∵∠P＝∠BAC，OP＝BA，∴△OAP≌△BCA（AAS），∴，∴．18．【解答】（1）证明：连接OC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠CBE+∠OBC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD＝90°，∵E是BD中点，∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCE+∠OCB＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴FC是