第30讲解直角三角形

1、解直角三角形解直角三角形 第第30讲讲考点考点1.1.锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念正弦：正弦：把锐角把锐角A A的对边与斜边的比叫的对边与斜边的比叫做做A A的正弦，记作的正弦，记作 caA sin余弦：余弦：把锐角把锐角A A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A A的的余弦，记作余弦，记作 正切：正切：把锐角把锐角A A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A A的的正切，记作正切，记作 cbA cosbaA tan锐角锐角A A的正弦、余弦、正切、余切都叫做的正弦、余弦、正切、余切都叫做A A的锐角三角函数的锐角三角函数. .对这些关系式对这些关系式要学会灵活变要学会灵活变

2、式运用式运用其中其中0 0sinAsinA1, 01, 0cosAcosA1,tanA1,tanA0,cotA0,cotA0 0 BAC斜边斜边c邻边邻边b对边对边a余切：余切：把锐角把锐角A A的邻边与对边的比叫做的邻边与对边的比叫做A A的的余切，记作余切，记作 abA cot增大增大 减小减小 同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系是：正弦值等于它的余角的余弦值，余是：正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值弦值等于它的余角的正弦值. .即即sinAsinAcoscos（9090一一 A A）cosB cosB cosAcosAsinsin（9

3、090一一A A）sinBsinB思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之间有何关思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之间有何关系？系？A AB BC C2 2三角函数的关系式：三角函数的关系式：(1)(1)同角关系：同角关系：sinsin2 2A Acoscos2 2A A_；tanAtanA_；(2)(2)互余关系：互余关系：sinAsinAcos(90cos(90A)A)；cosAcosAsin(90sin(90A)A)1 A AB BC C30300 060600 0A AB BC C45450 0sin30sin300 0 =_=_sin45sin450 0 =_=_ sin60sin600

4、0 =_=_cos30cos300 0 =_=_cos45cos450 0 =_=_cos60cos600 0 =_=_tan30tan300 0 =_=_ tan45tan450 0 =_=_ tan60tan600 0 =_=_cot30cot300 0 =_=_ cot45cot450 0 =_=_ cot60cot600 0 =_=_1 1 考点考点2 2特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值考点考点3. 3. 解直角三角形解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

5、 .1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？2.2.直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：222cbaA A十十B B9090 caA sincbA cosbaA tan归纳：归纳：只要知道其中的只要知道其中的2 2个元素（至少有一个是个元素（至少有一个是边），就可以求出其余边），就可以求出其余3 3个未知个未知元素元素. . （1 1）三边关系：）三边关系：（勾股定理）（勾股定理）（2 2）两锐角的关系：）两锐角的关系：（3 3）边角的关系：）边角的关系：abA cot sin2A+cos2A=1 tanAcotA=13 3解直角三角形的一般方法：解直角三角形的一般方法：(

6、1)(1)已知两边，先用勾股定理求第三边，再利用三角函数求已知两边，先用勾股定理求第三边，再利用三角函数求两个锐角的度数；两个锐角的度数；(2)(2)已知一个锐角和一边，先用互余关系求另一个锐角，再已知一个锐角和一边，先用互余关系求另一个锐角，再利用三角函数求出另两边利用三角函数求出另两边注意：注意：(1)(1)当已知条件或待求量中有斜边时用正弦或余弦，当已知条件或待求量中有斜边时用正弦或余弦，无斜边时用正切；无斜边时用正切；(2)(2)当原始数据和中间数据均可参与运算时，用原始数据当原始数据和中间数据均可参与运算时，用原始数据这样可以避免这样可以避免“累积误差累积误差”；(3)(3)如果已知

7、直角三角形的中线、高、角平分线、周长、面如果已知直角三角形的中线、高、角平分线、周长、面积等时，一般可将这些元素转化为三角形中的元素或元素间的关积等时，一般可将这些元素转化为三角形中的元素或元素间的关系式，通过解直角三角形来进行求解系式，通过解直角三角形来进行求解考点考点4. 4. 解直角三角形的应用解直角三角形的应用1.仰角和俯角仰角和俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角. .铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角坡度（坡比）

8、：坡度（坡比）：坡面的铅坡面的铅直高度直高度h h和水平距离和水平距离l l的的比叫做坡度，用字母比叫做坡度，用字母i i表表示，则示，则2.2.坡度、坡角坡度、坡角坡角：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示表示. .tanhilhltanhil坡度通常写成坡度通常写成 的形式的形式. .3 3方向角：如图方向角：如图7 732324 4，点，点A A位于点位于点O O的北偏西的北偏西3030方向；点方向；点B B位于点位于点O O的南偏东的南偏东6060方向方向图图7 732324 4华师大版华师大版解：原式解：原式=2=2 +1 +12121=1+

9、=1+21(1).(1).计算计算 2sin30 2sin30 + tan45 + tan45 cos60cos6023= =步骤：步骤：一一“代代”二二“算算”(2).(2).若若 ，则锐角，则锐角=01tan33030点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先将原式变形为将原式变形为tan= tan= ，从而求得，从而求得的度数的度数. .33练习练习华师大版华师大版C C华师大版华师大版华师大版华师大版变式题变式题 20142014济宁济宁 如图如图7 732321212，在，在ABCABC中，中，AA3030，BB4545，ACAC2 2，

10、则，则ABAB的长为的长为_图图7 7323212128 8如图如图7 732329 9，一堤坝的坡角，一堤坝的坡角ABCABC6262，坡面长度，坡面长度ABAB2525米米( (图为横截面图为横截面) )，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角坝的坡面，使得坡面的坡角ADBADB5050，则此时应将坝底向外，则此时应将坝底向外拓宽多少米？拓宽多少米？( (结果保留到结果保留到0.010.01米，参考数据：米，参考数据：sin62sin620.880.88，cos62cos620.470.47，tan50tan501.20)1.20

11、)图图7 732329 9第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 类型之三直角三角形中仰角与俯角的应用类型之三直角三角形中仰角与俯角的应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用图图7 732321414第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用变式题变式题5 520142014襄阳襄阳 如图如图7 732321515，在建筑平台，在建筑平台CDCD的的顶部顶部C C处，测得大树处，测得大树ABAB的顶部的顶部A A的仰角为的仰角为4545，测得大树，测得大树ABAB的底部的底部B B的俯角为的俯角为3030，已知平台，已知平台

12、CDCD的高度为的高度为5 5 m m，则大树的高度为，则大树的高度为_m m( (结果保留根号结果保留根号) ) 图图7 732321515 类型之三直角三角形中仰角与俯角的应用类型之三直角三角形中仰角与俯角的应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 类型之四直角三角形中坡度与坡角的应用类型之四直角三角形中坡度与坡角的应用 考点考点 直角三角形中坡度与坡角的应用，直角三角形的性直角三角形中坡度与坡角的应用，直角三角形的性质质 分析分析 可用不同方法解决法一，由坡比可知可用不同方法解决法一，由坡比可知A A3030，则则ABAB2BC2BC；法二，利用坡比先求出；法二

13、，利用坡比先求出ACAC的长，再利用勾股定理求的长，再利用勾股定理求出出AB.AB. 点评点评 坡比就是坡角的正切值，可灵活运用解直角三角形坡比就是坡角的正切值，可灵活运用解直角三角形的方法解决实际问题的方法解决实际问题 答案答案 B B3 3如图如图7 732326 6，一河坝的横断面为等腰梯形，一河坝的横断面为等腰梯形ABCDABCD，坝顶，坝顶宽宽1010米，坝高米，坝高1212米，斜坡米，斜坡ABAB的坡度的坡度i i11.511.5，则坝底，则坝底ADAD的长度的长度为为( () )A A2626米米 B B2828米米 C C3030米米 D D4646米米图图7 732326 6

14、图图7 732326 6D D 类型之五直角三角形中方位角的应用类型之五直角三角形中方位角的应用海中有一个小岛海中有一个小岛P P，它的周围，它的周围1818海里内有暗礁，渔船海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点跟踪鱼群由西向东航行，在点A A测得小岛测得小岛P P在北偏东在北偏东6060方向上，航行方向上，航行1212海里到达海里到达B B点，这时测得小岛点，这时测得小岛P P在北偏东在北偏东4545方向上如果渔船不改变航线继续向方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由东航行，有没有触礁危险？请说明理由D D分析：作分析：作PDBCPDBC，设，设PD=x,P

15、D=x,则则BD=x,AD=x+12,BD=x,AD=x+12,根据根据AD= PD,AD= PD,得得x+12= x,x+12= x,求出求出x x的值的值, ,再再比较比较PDPD与与1818的大小关系的大小关系. .33练习练习解：有触礁危险解：有触礁危险. .理由：过点理由：过点P P作作PDACPDAC于于D.D.设设PDPD为为x x，在，在RtRtPBDPBD中，中，PBD=90PBD=9045454545BDBDPDPDx,AD=12+x.x,AD=12+x.在在RtRtPADPAD中，中，PADPAD909060603030，,3PDAD 渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危

16、险渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险 ,312xx .18) 13(61312xD D第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用易错题探究易错题探究例例1 1如图如图7 732322020，我国甲、乙两艘海监执法船某天在某小，我国甲、乙两艘海监执法船某天在某小岛岛D D处附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于该岛正西方向处附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于该岛正西方向的的A A处和正东方向的处和正东方向的B B处，这时两船同时接到立即赶往处，这时两船同时接到立即赶往C C处海域巡处海域巡查的任务，并测得查的任务，并测得C C处位于处位于A A处北偏东处北偏东5959

17、方向、位于方向、位于B B处北偏西处北偏西4444方向若甲、乙两船分别沿方向若甲、乙两船分别沿ACAC，BCBC方向航行，其平均速度分方向航行，其平均速度分别是别是2020海里海里/ /时，时，1818海里海里/ /时，试估算哪艘船先赶到时，试估算哪艘船先赶到C C处处( (参考数参考数据：据：coscos59590.520.52，sinsin46460.72) 0.72) 第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用图图7 732322020第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 分析分析 运用解直角三角形知识解决实际问题的关键是正确运用解直角三角形

18、知识解决实际问题的关键是正确地把实际问题抽象成几何图形，建立数学模型，构造直角三角形地把实际问题抽象成几何图形，建立数学模型，构造直角三角形，通过解直角三角形来解决问题，通过解直角三角形来解决问题第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 易错分析易错分析 不能正确作出辅助线构造直角三角形，混淆特不能正确作出辅助线构造直角三角形，混淆特殊角的三角函数值殊角的三角函数值第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用考题回归教材考题回归教材热气球测楼高热气球测楼高教材母题教材母题人教版九下人教版九下P

19、75P75例例4 4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为3030，看这栋楼底部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为6060，热气球与楼的水平距离为，热气球与楼的水平距离为120 m120 m，这栋楼有多高，这栋楼有多高( (结果取整数结果取整数)?)?第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 点析点析 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路思路第第3232

20、课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 解析解析 我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角因此，平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角因此，3030，6060. .在在RtRtABDABD中，中，3030，ADAD120120，所以可以利用解直角三，所以可以利用解直角三角形的知识求出角形的知识求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BC.BC.第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形

21、及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用聚焦广西中考聚焦广西中考C C第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第3232课时课时 解直角三角形及其应用解直角三角