概率多维随机变量

1、1概率论与数理统计2第三章多维随机变量及其分布第2讲34 相互独立的随机变量4定义 设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有x,y有PXx,Yy=PXxPYy, (4.1)即 F(x,y)=FX(x)FY(y), (4.2)则称随机变量X和Y是相互独立的.5设(X,Y)是连续型随机变量, f(x,y), fX(x), fY(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于 f(x,y)=fX(x)fY(y)(4.3)几乎处处1成立.注1: 此处几乎处处成立的含义是: 在平面上除去面积为零的集合

2、以外, 处处成立.6当(X,Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于: 对于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj. (4.4)7例1、设随机变量X和Y的概率密度为( 2)220202 e,0,0,(,)0,.22 e,0,()0,2e,0,()0,xyxyxXxyyYxyfx yedyxfxedxyfy其 它求 证 X与 Y相 互 独 立 .证 :因 为其 它其 它故有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 因而X,Y是相互独立的.8例2 若X,Y具有联合分布律Y X01PY=j11/62/61/221/62/61/2PX

3、=i1/32/31求证: X、Y是相互独立的.9例3 求证: 2例1中的随机变量F和D,不相互独立证： D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示: 证由于PD=1,F=0=1/10PD=1PF=0=(1/10)(1/10). 因而F和D不是相互独立的. D F1234PF=j01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD=i 1/104/102/103/10110例4: 问二维正态随机变量X和Y是否相互独立？ 解：(X,Y)的概率密度为其边缘概率密度 的乘积为:2122211221222122()11( , )exp2(1)21()()()2.xf x

4、 yxyy 22122212()()112212221222121211( )( )22()()11exp.22xyXYfx fyeexy . ,XYfxfy11 由此可以看出，如果 ，则对于所有的x，y 都有 即有X和Y相互独立 反之，如果 X和Y相互独立，由于都是连续函数，故对于所有的x，y 都有 从而 0 ,XYfx fy ( , )XYf x yfx fy ( , )XYf x yfx fy2,222,11y 111我们特别令:x=则就这一等式有122( , )f x y012由此得出结论：二维正态随机变量X和Y相互独立的充要条件是013例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时,

5、 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为其它其它, 0, 97, 2/1)(, 0,128, 4/1)(yyfxxfYX14因为X,Y相互独立, 故(X,Y)的概率密度为., 0, 97 ,128, 8/1)()(),(其它yxyfxfyxfYX按题意需要求概率P|XY|1/12. 画出区域: |xy|1/12, 以及长方形8x12; 7y9, 它们的公共部分是四边形BCCB,记为G. 显然仅当(X,Y)取值于G内, 他们两人

6、到达的时间相差才不超过1/12小时. 因此, 所求的概率为15y=xyx1/12yx1/1278910111289BBCCAG16而G的面积=ABC的面积ABC的面积).(81dd),(12/1|的面积GyxyxfYXPG.6112112112132122即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1/48.17以上关于二维随机变量的一些概念, 容易推广到n维随机变量的情况.n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数的定义为F(x1,x2,.,xn)=PX1x1,X2x2,.,Xnxn其中x1,x2,.,xn为任意实数.18若存在非负函数f(x1,x2,.,xn),使得对于任

7、意实数x1,x2,.,xn有 nnxxxnnnttttttfxxxF11ddd),(),(212121则称f(x1,x2,.,xn)为(X1,X2,.,Xn)的概率密度函数.19设(X1,X2,.,Xn)的分布函数F(x1,x2,.,xn)为已知, 则(X1,X2,.,Xn)的k(1kz=1PXz,Yz=1P(XzPYz即Fmin(z)=11FX(z)1FY(z).(5.8)以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.39设X1,X2,.,Xn是n个相互独立的随机变量, 它们)10. 5().(1 )(1)(1 1)()9 . 5(),()()()(),min(),max(), 2 , 1

8、)(2121minmax2121xFxFxFzFzFzFzFzFXXXNXXXXnixFnniXXXXXXnniX的分布函数分别为及则的分布函数分别为40特别, 当X1,X2,.,Xn相互独立且具有相同分布函数时有Fmax(z)=F(z)n,(5.11)Fmin(z)=11F(z)n.(5.12)例4XYL1L2XYL1L2XYL1L241设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成, 联接的方式分别为(1)串联,(2)并联,(3)备用(当系统L1损坏时, 系统L2开始工作). 设L1, L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为)14. 5(, 0, 0, 0,e)()13. 5(

9、, 0, 0, 0,e)(yyyfxxxfyYxX其中0, 0且. 试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度.42解 (1)串联的情况.由于当L1,L2中有一个损坏时, 系统L就停止工作, 所以这时L的寿命为Z=min(X,Y).由(5.13), (5.14)式X,Y的分布函数分别为. 0, 0, 0,e1)(, 0, 0, 0,e1)(yyyFxxxFyYxX43由(5.8)式得Z=min(X,Y)的分布函数为. 0, 0, 0,e1)()(minzzzFz. 0, 0, 0,e)()()(minzzzfz于是Z=min(X,Y)的概率密度为44(2)并联的情况由于当L1,L2都损坏时, 系统L才停止工作, 所以这时L的寿命Z为 Z=max(X,Y)按(5.7)式得Z的分布函数为. 0, 0, 0),e1)(e1 ()()()(maxzzzFzFzFzzYX. 0, 0, 0,e)(ee)()(maxzzzfzzz于是Z的概率密度为45(3)备用的情况.由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始