柯西中值定理和不定式极限

1、2 2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理和不定式极限2 2 柯西中值定理与不定式极限柯西中值定理与不定式极限教教 学学 要要 求求1 1理解柯西中值定理的条件与结论的几何意义，并能运用该定理对理解柯西中值定理的条件与结论的几何意义，并能运用该定理对 相关问题进行论证相关问题进行论证2 2熟练掌握求两类不定式极限的洛必达法则熟练掌握求两类不定式极限的洛必达法则3 3熟练掌握其它类型不定式变换成两类典型不定式的一般规律，并求熟练掌握其它类型不定式变换成两类典型不定式的一般规律，并求 极限极限 一、柯西中值定理一、柯西中值定理Oxyfab AB定理定理6.2(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)

2、中值定理中值定理)若函数若函数( )f x满足下列条件满足下列条件:(i)( )f x在闭区间在闭区间 , a b连续连续;(ii)( )f x在开区间在开区间( , )a b可导可导,则存在则存在( , ),a b 使得使得( )( )( )f bf afba 1 ( )问题问题: : 若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)表为程为参数方程的形式表为程为参数方程的形式 ( ),()( )xttyt (1)(1)式如何变化式如何变化? ?( ( ),( ),A ( ( ),( ),B xt ( )f ( )( ) ( )( )( )f bf afba ( )( )( )( )( )( ) 定理定

3、理6.5(6.5(柯西中值定理柯西中值定理) ) 设设( ), ( )f xg x满足满足: :(i) (i) 在在 , a b上连续上连续; ;(ii)(ii) 在在( , )a b内可导内可导; ;(iii)(iii)( ),( )fxg x 不同时为不同时为0;0;(iv)(iv)( )( ),g ag b 则存在则存在( , ),a b 使得使得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a 以下证法是否正确以下证法是否正确:显然显然( ),f x( )g x在在 , a b均满足拉格朗日中值定理的条件均满足拉格朗日中值定理的条件,故故( )( )( )(),( ,

4、)f bf afbaa b ( )( )( )(),( , )g bg agbaa b 又又( )( ),g ag b 所以所以( )( )( ),( , )( )( )( )ff bf aa bgg bg a 回放回放:拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理证明过程中值定理证明过程:Oxyfab AB定理定理6.2(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)若函数若函数( )f x满足下列条件满足下列条件:(i)( )f x在闭区间在闭区间 , a b连续连续;(ii)( )f x在开区间在开区间( , )a b可导可导,则存在则存在( , ),a b 使得使得( )( )

5、( ).f bf afba 证证: 作辅助函数作辅助函数( )( )( )( )( )()f bf aF xf xf axaba 则则(i)( )F x在在 , a b连续连续;(ii)( )F x在在( , )a b可导可导;(ii)0( )( ),F aF b由罗尔定理由罗尔定理,( , ),a b 使得使得0( ),F 而而( )( )( )( )f bf aF xfxba 进而进而0( )( )( ).f bf afba 定理定理6.5(6.5(柯西中值定理柯西中值定理) ) 设设( ), ( )f xg x满足满足: :(i) (i) 在在 , a b上连续上连续; ;(ii)(ii

6、) 在在( , )a b内可导内可导; ;(iii)(iii)( ),( )fxg x 不同时为不同时为0;0;(iv)(iv)( )( ),g ag b 则存在则存在( , ),a b 使得使得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a (2)(2)证证: : 作辅助函数作辅助函数( )( )( )( )( )( ( )( )( )( )f bf aF xf xf ag xg ag bg a 故故( )F x在在 , a b满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件, , 故存在故存在( , ),a b 使得使得0( ),F 即即0( )( )( )( )( )( )f bf

7、 afgg bg a (3)(3)若若0( ),g 则有则有0( ),f 与条件与条件(iii)(iii)矛盾矛盾, ,故故0( ),g 进而进而可由可由(3)(3)得到得到(2).(2).定理定理6.16.1( (罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理) )若函数若函数( )f x满足下列条件满足下列条件: :(i)(i)( )f x在闭区间在闭区间 , a b上连续上连续; ;(ii)(ii)( )f x在开区间在开区间( , )a b可导可导; ;(iii)(iii)( )( ),f af b 则在则在( , )a b内至少存在一点内至少存在一点,使得使得0( ).f 定理

8、定理6.2(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)若函数若函数( )f x满足下列条件满足下列条件:(i)( )f x在闭区间在闭区间 , a b连续连续;(ii)( )f x在开区间在开区间( , )a b可导可导,则存在则存在( , ),a b 使得使得( )( )( ).f bf afba 定理定理6.5(6.5(柯西中值定理柯西中值定理) ) 设设( ), ( )f xg x满足满足: :(i) (i) 在在 , a b上连续上连续; ;(ii)(ii) 在在( , )a b内可导内可导; ;(iii)(iii)( ),( )fxg x 不同时为不同时为0;0;(iv)

9、(iv)( )( ),g ag b 则存在则存在( , ),a b 使得使得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a (g(x)=x时为拉格朗日定理时为拉格朗日定理)(f(a)=f(b)时为罗尔定理时为罗尔定理)例例1设设( )f x在在0 , ()a b a 连续连续, 在在( , )a b内可导内可导,则存在则存在( , ),a b 使得使得( )( )( )ln.bf bf afa 分析分析:注意到注意到( )( )( )lnbf bf afa 1( )( )( )lnlnf bf afba 证证:设设( )ln ,g xx 则则( ), ( )f xg x在在

10、, a b上满足柯西中值定理的条件上满足柯西中值定理的条件,于是存在于是存在( , ),a b 使得使得1( )( )( ),lnlnf bf afba 即即( )( )( )ln.bf bf afa 二、不定式极限二、不定式极限例例2 求下列极限求下列极限:211 cos( ) lim;tanxxx 00( )1220122 1()( ) lim;ln()xxexx 00( )0(3) lim;1xxxe0( )0ln(4) lim;xxx()3(5) lim;xxex()0(6) limln ;xxx(0)210(7) lim(cos ) ;xxx(1 )1 ln0(8) lim(sin

11、);kxxx0(0 )1.00型不定式型不定式定理定理6.6若函数若函数( ), ( )f xg x满足满足:(i)000lim( )lim( );xxxxf xg x (ii)在点在点0 xx 的空心邻域的空心邻域00()Ux内都可导内都可导,且且0( );g x (iii)0( )lim( )xxfxAg x (A可以是常数可以是常数,也可以是也可以是,) 则则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x (洛必达法则洛必达法则)证证: 补充定义补充定义00(),f x 00().g x 任取任取00(),xUx 则则( ), ( )f xg x在以在以0,x

12、x为端点的区间上满足柯西定理的条件为端点的区间上满足柯西定理的条件,所以有所以有( )( )f xg x00( )()( )()f xf xg xg x ( )( )fg ( 介于介于0,xx之间之间)当当0 xx时时,0 x 故故0( )lim( )xxf xg x0( )lim( )xfg .A 证证: 补充定义补充定义00(),f x 00().g x 任取任取00(),xUx 则则( ), ( )f xg x在以在以0,xx为端点的区间上满足柯西定理的条件为端点的区间上满足柯西定理的条件,所以有所以有( )( )f xg x00( )()( )()f xf xg xg x ( )( )

13、fg ( 介于介于0,xx之间之间)注注: : 将定理中的将定理中的0 xx换为换为0,xx 0,xx ,x ,x 结论仍然成立结论仍然成立. . 例例2 求下列极限求下列极限:21 cos(1) lim;tanxxx0( )01220(12 )(2) lim;ln(1)xxexx0( )00(3) lim;1xxxe0( )0解解:21 cos(1) limtanxxx2(1 cos )lim(tan)xxx2sinlim2tansecxxxx3coslim2xx1.21220(12 )(2) limln(1)xxexx12021(12 )22lim21xxexxx1220(1)(12 )l

14、im2xxexxx解解:1220(12 )(2) limln(1)xxexx12021(12 )22lim21xxexxx12220(1)(1 2 )(1)lim2xxexxxx(难往下难往下)注意到注意到220ln(1)limxxx220ln(1)lim()xxx2021lim2xxxx1,即即22ln(1) (0).xxx所以所以1220(12 )limln(1)xxexx1220(12 )limxxexx120(12 )lim2xxexx3201()(12 )22lim2xxex 320(12 )lim2xxex1.解解:0(3) lim1xxxe0()lim(1)xxxe0()lim(

15、)xxxex01limxxe1. 2.型不定式型不定式定理定理6.7若函数若函数( ), ( )f x g x满足满足:(i)00lim( )lim ( );xxxxf xg x (ii)在点在点0 xx的空心邻域的空心邻域00()Ux内都可导内都可导,且且( )0;g x(iii)0( )lim( )xxfxAg x (A可以是常数可以是常数,也可以是也可以是,) 则则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x2.型不定式型不定式定理定理6.7若函数若函数( ), ( )f x g x满足满足:(i)00lim( )lim ( );xxxxf xg x (ii

16、)在点在点0 xx的空心邻域的空心邻域00()Ux内都可导内都可导,且且( )0;g x(iii)0( )lim( )xxfxAg x (A可以是常数可以是常数,也可以是也可以是,) 则则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x证明思路证明思路: : ( (只证只证A A是常数的情形是常数的情形) )要证要证: :00( )( )limlim.( )( )xxxxf xf xAg xg x 先证先证: :0( )lim.( )xxf xAg x 先证先证: :0( )lim.( )xxf xAg x 1)1)已知已知( (条件条件iii)iii)0( )lim

17、:( )xxfxAg x 0100,(),xUx 当当01xxx时时, ,有有2( )( )fxAg x 2)2)在区间在区间01(,)xx估计估计0( )lim.( )xxf xg x 3)3)建立与柯西中值定理的关系建立与柯西中值定理的关系( )( )f xAg x 1111()( )()( )( ).( )()( )()( )f xf xf xf xf xAg xg xg xg xg x分别估计分别估计11()( )( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 与与11()( )()( )f xf xAg xg x 由柯西中值定理由柯西中值定理112()( )( ),()(

18、 )( )f xf xfAAg xg xg ( (因为因为01)xxx 分别估计分别估计11()( )( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 与与11()( )()( )f xf xAg xg x 由柯西中值定理由柯西中值定理112()( )( ),()( )( )f xf xfAAg xg xg ( (因为因为01)xxx 同时说明同时说明11()( )()( )f xf xg xg x 在在01xxx有界有界. . 设设1011()( ),(,).()( )f xf xM xxxg xg x 又又1111111()( )()( )()( )( )( )( )()( )(

19、)( )( )()( )f xf xf xf xg xg xf xf xg xg xg xg xg xg xf xf x 1111111()()( )( )()()( )( )g xf xf xg xf xg xg xf x ( (因为由条件因为由条件( ) i当当0 xx时时00lim( ), lim( )xxxxf xg x 11111()( )()( )g xg xMf xf x 00().xx例例2 求下列极限求下列极限:ln(4) lim;xxx()3(5) lim;xxex()解解:ln(4) limxxx1lim1xx03(5) limxxex2lim3xxexlim6xxexl

20、im6xxe. 注注: (1)洛必达法则并不是万能的洛必达法则并不是万能的.sinlimxxxx1.若用洛必达法则若用洛必达法则:sinlimxxxx1 coslim1xx(不存在不存在)注注: (1)洛必达法则并不是万能的洛必达法则并不是万能的.sinlimxxxx1.若用洛必达法则若用洛必达法则:sinlimxxxx1 coslim1xx(不存在不存在)(2)洛必达法则只能用于不定式洛必达法则只能用于不定式,不加考虑乱用不加考虑乱用,将出笑话将出笑话!0lim1xxx01lim1x1.(哈哈哈哈,错了错了!)三三 其它类型不定式其它类型不定式常有以下不定式极限常有以下不定式极限:0,1 ,

21、00 ,0,.基本思路基本思路: 通过适当变形通过适当变形,将其化为将其化为0.0或三三 其它类型不定式其它类型不定式常有以下不定式极限常有以下不定式极限:0,1 ,00 ,0,.基本思路基本思路: 通过适当变形通过适当变形,将其化为将其化为0.0或例例2 求下列极限求下列极限:0(1) limln ;xxx(0)210(2) lim(cos ) ;xxx(1 )1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:0(1) limlnxxx0lnlim1xxx0(ln )lim1( )xxx021l

22、im1xxx0lim()xx0.例例3 求下列极限求下列极限:0(1) limln ;xxx(0)210(2) lim(cos ) ;xxx(1 )1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:0(1) limlnxxx0lnlim1xxx0(ln )lim1( )xxx021lim1xxx0lim()xx0.210(2) lim(cos )xxx21ln(cos )0lim.xxxe20ln(cos )limxxx01( sin )coslim2xxxx 1,2 21120lim(cos )

23、.xxxe例例3 求下列极限求下列极限:1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:1 ln0(3) lim(sin )kxxxln(sin )1 ln0lim.kxxxe0ln(sin )lim1 lnxkxx0cossinlim1xxkxx0limcossinxxkxx, k1 ln0 lim(sin ).kkxxxe例例3 求下列极限求下列极限:1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:1