高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

1、直线的一般式方程及综合【学习目的】1 .掌握直线的一般式方程；2 .能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3 .能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为Ax+By+C=0,这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式.要点诠释：1. A、B不全为零才能表示一条直线，假设A、B全为零那么不能表示一条直线.ACCA当BwO时，方程可变形为yx,它表不过点0,斜率为一的直线.BBBBC当B=0,AWO时，万程可变形为Ax+C=0，即x,它表示一条

2、与x轴垂直的直线.由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线.2.在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程如斜率为2,在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x-y+1=0,，一11_.也可以是xy0,还可以是4x2y+2=0等.要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比拟如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy1=k（xx1）x1,yd是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式yV1xx1y2y1x2xx，y,x

3、2,y2是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式x工1aba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一M式Ax+By+C=0A2+b2w©A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释:在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多xiw2,yiwp，应用时假设采用（y2yi）（x一月）一（冶一xi）（yy）=0的形式，即可消除局限性.截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足直线在两坐标轴上的截距存在且不为零这一条件.直线方程的一般式包含了平面

4、上的所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.假设一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同.要点三：直线方程的综合应用1 .所求曲线是直线时，用待定系数法求.2 .根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程.对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同.1从斜截式考虑直线li: yk1xbi2： yk2xb2,l1/l22k1k2(bib2);l1 l2于是与直线ykx2从一般式考虑:l1: A1x B1y C1l1 l2AA2I1/I2A1B2I1与I2重合,于是与直线Bx Ay Dtanb平行的直线可以设为0,l2: A2xB2y C2B1B2

5、0cot 2 k11k2k1k21垂直的直线可以设为b2 A2B1 0且 AC2 A2G0 或 B1C2B2C10,记忆式AA2旦B2C1C2AB2A2B10, A1C2 4G 0, B1C2B2C1Ax By C 0平行的直线可以设为Ax By;垂直的直线可以设为0.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1.根据以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.1斜率是1,经过点A8,一2；22经过点B4,2，平行于x轴；3在x轴和y轴上的截距分别是-,-3;24经过两点P13,一2，P25,一4.【答案】1x+2y4二02y2二032xy3二04xy101【解析】1由点斜式万程得y(2)-(x

6、8),化成一般式得x+2y-4=0.22由斜截式得y=2,化为一般式得y-2=0.3由截距式得-*-1,化成一般式得2x-y-3=0.3324由两点式得y2,化成一般式方程为xy10.4(2)53【总结升华】此题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列.求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式.举一反三：【变式1】直线l经过点B(3,1),且倾斜角是30,求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】y1：(x3),3x3y3330【解析】

7、因为直线倾斜角是30,所以直线的斜率ktantan30,所以直线的点斜式方程3为：y1日(x3),化成一般式方程为：J3x3y3/330.例2.ABC的一个顶点为A(1,4),B、C的平分线在直线y10和xy10上，求直线BC的方程.【答案】x2y30【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的间隔相等，所以可得A点关于B的平分线的对称点A在BC上，B点关于C的平分线的对称点B'也在BC上.写出直线A'B'的方程，即为直线BC的方程.例3.求与直线3x+4y+1=0平行且过点1,2的直线l的方程.【答案】3x+4y11=0【解析】3解法一：设直线l的斜率为

8、k,l与直线3x+4y+1=0平行，k3.43又.T经过点1,2，可得所求直线方程为y23(x1),即3x+4y11=0.4解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0,l经过点1,2，3X1+4X2+m=0,解得m=-11.，所求直线方程为3x+4y11=0.【总结升华】1一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0,这是常采用的解题技巧.我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程.参数m可以取mC的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线.当

9、m=C时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合.2一般地，经过点Ax0,y0，且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(xx0)+B(yy0)=0.3类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为BxAy+m=0A,B不同时为零.举一反三：【变式1】直线l1：3mx+8y+3m-10=0和l2：x+6my-4=0.问m为何值时：11i与l2平行21i与%垂直.2【答案】1m三2m03【解析】当m0时，l1：8y-10=0;l2:x-4=0,l1l2当 m 0 时，11 ： y,3m由83m103m14x；L：yx886m6m名得m2或86m33而(3m)()1无解综上所述1m【

10、变式2】求经过点86m-,11与12平行.2m0,11与12垂直.3A2,1，且与直线2x+y10=0垂直的直线1的方程.【答案】x-2y=0【解析】因为直线1与直线2x+y10=0垂直，可设直线1的方程为x2ym0,把点A2,1代入直线1的方程得：m0,所以直线1的方程为：x-2y=0.类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4.直线1的倾斜角的正弦值为且它与坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线1的方程.5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数一一直线在y轴上的截距b,再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6,便可求出b.也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6,设1截距式直

11、线万程，从而得出-|ab|6,再根据它的斜率，从而得到关于a,b的方程组，解之即可.23 3【答案】yx3或yx34 4【解析】33解法一：设1的倾斜角为，由sin3,得tan3.3 4设1的方程为y-xb,令y=0,得xb.4 3，直线1与x轴、y轴的交点分别为4b0,0,b.3'422-b|b|-b2333 八3 或 y x 3.41 ,倾斜角为，由sin，一，,，、3故所求的直线方程分别为y-x4解法二：设直线1的方程为-yab1-|a|b|62,解得b3a4故所求的直线方程为【总结升华】1本例中，由于直线的倾斜角与斜率有关及直线与坐标轴围成的三角形的面积上截距有关，因此可选择斜

12、截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有题目决定解法之说.2在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如：一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；截距或两点，选择截距式或两点式.在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏.举一反三：【变式1】2021春启东市期中直线m：2xy3=0,n：x+y3=0.1求过两直线m,n交点且与直线l:x+2y1=0平行的直线方程；2求过两直线m,n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方

13、程.【思路点拨】1求过两直线m,n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l:x+2y1=0平行的直线方程；2设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进展求解即可.【答案】1x+2y4=0;2【解析】1由2xy30,解得x2,xy30y1即两直线m,n交点坐标为2,1，设与直线l:x+2y1=0平行的直线方程为x+2y+c=0,那么2+2X1+c=0,解得c=-4,那么对应的直线方程为x+2y4=0;2设过2,1的直线斜率为k,kw。，那么对应的直线方程为y-1=k(x-2),令x=0,y=12k,即与y轴的交点坐标为A0,12k12k12k1令y=0,那么x2-,即

14、与x轴的父点坐标为B(,0),kkk1 2k1那么"OB的面积S|12k|4,2 k即(2k1)28k,即4k24k8k10,假设k>0,那么方程等价为4k212k10,解得k12或k山，22假设k<0,那么方程等价为4k24k10,1解得k1.21322322综上直线的方程为y1(x2),或y1(x2),或y1(x2)222即y1x2,或y32近x22夜，或y32/x2272222类型三：直线方程的实际应用例6.2021春湖北期末光线从点A2,3射出，假设镜面的位置在直线l:x+y+1=0上，反射光线经过B1,1，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走

15、过的道路长.【思路点拨】求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的道路长.【答案】41【解析】设点A关于l的对称点A，xo,yo,xo2yo310- AAZ被l垂直平分,22xo4c,解得yo31yo3xo2.点A/一4,一3，B1,1在反射光线所在直线上,反射光线的方程为x_,即4x5y+1=0,13144x5y1021解方程组，得入射点的坐标为(2,1).xy1033由入射点及点A的坐标得入射光线方程为2 x 一2,即 2 -35x4y+2=0,光线从A到B所走过的道路长为|A'B|J(41)2(31)2

16、J41.题总结升华】此题重点考察点关于直线的对称问题，考察入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分.举一反三：【变式1】2021春福建厦门期中一条光线从点A4,2射出，到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D1,6.求BC所在直线的方程.【答案】10x3y+8=0【解析】如图，A一4,2，D一1,6，由对称性求得A一4,一2关于直线y=x的对称点A，一2,4，D关于y轴的对称点D，1,6，那么由入射光线和反射光线的性质可得：过A，D，的直线方程即为BC所在直线的方程.由直线方程的两点式得：-4-64整理得：10x3y+8=0.例7.如图，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地不改变方向建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.准确到1m2【答案】6017【解析】建立坐标系，那么B30,0，A0,20.由直线的截距方程得到线段AB的方程为xy，一、10wxw30