自动控制原理_王建辉(4)

1、东北大学东北大学自动控制原理自动控制原理课程组课程组东北大学自动控制原理课程组2 主要内容主要内容n根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念n根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则n用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性n小结小结东北大学自动控制原理课程组3学习重点学习重点v了解根轨迹的基本特性和相关概念了解根轨迹的基本特性和相关概念v了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则类原则v掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中根轨迹的绘制过程中v学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系学会应

2、用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能统的性能v了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系东北大学自动控制原理课程组4根轨迹法根轨迹法 一种由一种由传递函数求传递函数求特征根的简便方法。特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。数值关系的方法。 19481948年，由伊文思（年，由伊文思（W.R.EvansW.R.Evans）提出。）提出。根轨迹法的任务根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。法确定闭环极点

3、。 东北大学自动控制原理课程组5根轨迹根轨迹 系统开环传递函数的某一个参数从零系统开环传递函数的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在在 S S 平面上的变化轨迹。平面上的变化轨迹。东北大学自动控制原理课程组6)15 .0(ssK例例4.1 二阶系统的根轨迹二阶系统的根轨迹闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程闭环极点闭环极点2( )220D sssK22( )22BKWsssK12112112sKsK 东北大学自动控制原理课程组7 研究开环放大系数研究开环放大系数K K与闭环特征根的关系。当取不同与闭环特征根的关系。当取不同K K值值时，算

4、得闭环特征根如下：时，算得闭环特征根如下：K K0 00 0-2-20.50.5-1-1-1-11 1-1+j-1+j-1-j-1-j2 2-1+j-1+j-1-j-1-j-1+j-1+j-1-j-1-j1s332s东北大学自动控制原理课程组8K K由由00变化时，闭环特征根在变化时，闭环特征根在S S平面上移动的平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了根轨迹直观地表示了参数参数K K变化时，闭环特变化时，闭环特征根的变化，并且还征根的变化，并且还给出了参数给出了参数K K对闭环特对闭环特征根在征根在S S平面上分布的平面上分布

5、的影响。影响。东北大学自动控制原理课程组9根轨迹方程根轨迹方程控制系统结构图控制系统结构图开环传递函数开环传递函数)()()()()()()()()(11212121sDsNKpszsKsDsDsNsNKKsWgnjjmiigK东北大学自动控制原理课程组10式中：式中： 开环零点；开环零点； 开环极点。开环极点。闭环系统特征方程式为闭环系统特征方程式为或可写作或可写作izjp( )11( )0( )gKK N sWsD s gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11东北大学自动控制原理课程组11 这个方程式表达了开环传递函数与闭环这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系，

6、该方程的解即为闭环特征特征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又称为根，因此该式又称为根轨迹方程根轨迹方程。 上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成：形式，则根轨迹方程又可分别表示成：gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11东北大学自动控制原理课程组12幅值条件：幅值条件： 1111()()miiiinjjjjszlN sD sLsp1gssK开环有限零点到 点的矢量长度之积开环极点到 点的矢量长度之积东北大学自动控制原理课程组13辐角条件：（充分必要条件）辐角条件：（充分必要条件）式中：式中： 开环有

7、限零点到开环有限零点到s s点的矢量辐角；点的矢量辐角； 开环极点到开环极点到s s点的矢量辐角；点的矢量辐角； 满足幅值条件和辐角条件的满足幅值条件和辐角条件的s s值，就是特征方程式的值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。根，也就是闭环极点。 1111()()mnmnijijijijN sszspD s180 (12 )(0,1,2,)o ij东北大学自动控制原理课程组14 因为因为 在在0范围内连续变化，总有一范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。依据是辐角条件。 利用幅值条件计算利用幅值条件计算 值比较方便，

8、它可值比较方便，它可以作为计算以作为计算 值的依据。值的依据。gKgKgK东北大学自动控制原理课程组15 绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤（1 1）求出）求出 和和 时的特征根；时的特征根；（2 2）根据绘制法则大致画出）根据绘制法则大致画出 时的根轨迹时的根轨迹草图；草图；（3 3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制绘制。0gK gK 0gK 东北大学自动控制原理课程组16 4.2.1 4.2.1 绘制根轨迹的一般法则绘制根轨迹的一般法则1 1 起点（起点（ ） 时，闭环系统的特征方程式等效为时，闭环系统的特征方程式等效为上式即为开

9、环系统的特征方程式。所以，当上式即为开环系统的特征方程式。所以，当 = 0= 0时，时，闭环极点也就是开环极点。闭环极点也就是开环极点。0gK gK0gK njjpssD10)()(东北大学自动控制原理课程组17 2. 2. 终点终点（ ）当当 时，闭环系统的特征方程式等效为时，闭环系统的特征方程式等效为上式表明，当上式表明，当 时，闭环极点也就是开环有限零时，闭环极点也就是开环有限零点。点。 今设今设 为为m阶方程，故有阶方程，故有m个开环有限零点决定个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着个闭环极点，随着 ，它们都趋向无限远（无限零点）它们都趋向

10、无限远（无限零点）。gK gK gK gK miizssN10)()( N s东北大学自动控制原理课程组18 3. 3. 根轨迹分支数和它的对称性根轨迹分支数和它的对称性 根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式中中s s的最高次项，即为的最高次项，即为max(n,m)条。条。 闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴故根轨迹都对称于实轴。 东北大学自动控制原理课程组19 4实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角总为零；复平面上

11、的所有零、极点是共轭的，它们到总为零；复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180180 。结论：结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。零、极点数目的总和为奇数。东北大学自动控制原理课程组20 证明：证明：设设 为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目， 为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目， 由

12、辐角条件由辐角条件 整理得整理得 所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足11(1 2 )mnijzpijNN ()2()(12 )zzzpzzpNNNNNNN ), 2, 1, 0(21pzNNzNpN东北大学自动控制原理课程组21例如下图所示，对于根轨迹例如下图所示，对于根轨迹 ；对根轨迹对根轨迹 ；对根轨迹；对根轨迹 。它们都是奇数。它们都是奇数。,11,0zppzA NNNN,5zpC NN,3zpB NN东北大学自动控制原理课程组225 5分离点和会合点分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在 s s 平面上相遇又立即平面上

13、相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。分开的点称为分离点（或会合点）。 在下图上画出了两条根轨迹。我们把在下图上画出了两条根轨迹。我们把a a点叫做分离点，点叫做分离点，b b点叫做会合点。它们表示当点叫做会合点。它们表示当 ，特征方程式，特征方程式会出现重根。会出现重根。 12ssss或时东北大学自动控制原理课程组23 ( )1( )10( )1( )( )( )0KgKgN sWsKD sWsK N sD s 0)()( )()( sDsNsNsD 分离点（会合点）的坐标分离点（会合点）的坐标 由下列方程所决定由下列方程所决定ds整理得整理得东北大学自动控制原理课程组24说明：说明：

14、用分离点方程式求解后，需将所求结果代用分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的入特征方程式中验算。只有当与之对应的 值为值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。gK东北大学自动控制原理课程组25n如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。则在此区间上必有分离点。n如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。则在此区间上必有会合点。 东北大学自动控制原理课程组26 例例4-2 已知开环传递函数为已知开环

15、传递函数为 式中，式中， ，求分离点和会合点。，求分离点和会合点。112( )()( )( )()()ggKK N sKszWsD sspsp1120 ,0gKzpp解解 由已知：由已知：1)(zssN)()(21pspssD12( )(2)D sspp( )1N s东北大学自动控制原理课程组27 代入分离点和会合点方程，有代入分离点和会合点方程，有由此得分离点和会合点分别为由此得分离点和会合点分别为( )( )( )( )D s N sN s D s12112(2)()()()0sppszspsp)(211111pzpzzs)(211112pzpzzs东北大学自动控制原理课程组28该系统的根

16、轨迹图如下图所示。该系统的根轨迹图如下图所示。东北大学自动控制原理课程组296 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。 当当 nm 时，则有（时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于条根轨迹分支终止于无限零点无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的线由与实轴的夹角夹角和和交点交点来确定。来确定。 东北大学自动控制原理课程组30180 (12 )(0,1,2,)nm无穷远处的特征根，到无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为的矢量辐

17、角都相等，均为 ，即，即ji1118012mnijijmn 独立的渐近线只有（独立的渐近线只有（n-m）条。）条。（1）渐近线的倾角）渐近线的倾角代入辐角条件得代入辐角条件得即渐近线的倾角为即渐近线的倾角为东北大学自动控制原理课程组31gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()n mnmkgn mn mjijisKspzs当当 时，时， ，即得，即得ksskjipz（2）渐近线的交点）渐近线的交点k由幅值条件由幅值条件东北大学自动控制原理课程组32令上式中等式两边的项系数相等，令上式中等式两边的项系数相等，

18、即得即得渐近线的渐近线的交点交点mnzpmiinjjk11由于由于 和和 是实数或共轭复数，故是实数或共轭复数，故 必为实数，必为实数，因此因此渐近线交点总在实轴上渐近线交点总在实轴上。jpizk东北大学自动控制原理课程组33例例4-3 4-3 设开环传递函数为设开环传递函数为)4)(1()(sssKsWgK180 (12 )180 (12 )60 ,60 ,18030nm 试确定其根轨迹渐近线。试确定其根轨迹渐近线。解解 （1 1）计算渐近线倾角。）计算渐近线倾角。 因为因为 , ,所以所以可得渐近线倾角为可得渐近线倾角为0,3mn东北大学自动控制原理课程组34111405303nmjiji

19、kpznm 因为因为 ；所以渐近线交点为所以渐近线交点为0120,1,4;0,3pppmn（2）计算渐近线交点。）计算渐近线交点。东北大学自动控制原理课程组357 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角出射角 ：根轨迹离开：根轨迹离开S S平面上开环极点处的切平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。线与实轴的夹角。入射角入射角 ：根轨迹进入：根轨迹进入S S平面上开环零点处的切平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。线与实轴的夹角。scsr东北大学自动控制原理课程组36例例4-4 已知开环传递函数为已知开环传递函数为试计算起点（试计算起点（-1+j1）的斜率。）的斜率。)22)(3()2(

20、)(2sssssKsWgK东北大学自动控制原理课程组37把以上诸值代入辐角条件，即得起点（把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为）的出射角为解解 令令 稍为增大，在（稍为增大，在（-1+j1）附近的特征根）附近的特征根 应满足辐应满足辐角条件，即角条件，即ksks11234()180 (12 ) 426.6 112345 ,135 ,26.690，解得解得东北大学自动控制原理课程组38111180nmscjiji111180nmsrjiji同理可得同理可得入射角入射角的计算公式为的计算公式为通过这个例子，可以得到计算通过这个例子，可以得到计算出射角出射角的公式为的公式为东北大

21、学自动控制原理课程组39 8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 ，此时系，此时系统处于临界稳定状态，令此时的统处于临界稳定状态，令此时的 。由此可计算对应的。由此可计算对应的临界放大系数临界放大系数 值。值。 确定交点的方法：确定交点的方法： （1 1）把）把 代入特征方程式；代入特征方程式； （2 2）利用劳斯判据）利用劳斯判据。 sj lKglKKsj 东北大学自动控制原理课程组40例例4-5 设有开环传递函数为设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系

22、数。 2( )(1)(0.51)(1)(2)KKKKKWss sss ss32( )3220KF ssssK假设假设 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中sjKlKK解解 方法（方法（1 1） 根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为东北大学自动控制原理课程组41 则得则得 亦即亦即 解得：解得： ， ，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹的起点； ， ，对应根轨迹与虚轴相交。，对应根轨迹与虚轴相交。 交点处的（临界放大系数）为交点处的（临界放大系数）为 0KK3KK00)2(32)(32jKjFl2323020lK2 3lK 东北

23、大学自动控制原理课程组42方法（方法（2 2） 用劳斯判据计算交点和临界放大系数用劳斯判据计算交点和临界放大系数3213s2s2KK1s223KK0s2KK32( )3220KF ssssK劳斯表劳斯表特征方程特征方程东北大学自动控制原理课程组43在第一列中，令在第一列中，令 行等于零，则得临界放大系数行等于零，则得临界放大系数 根轨迹与虚轴的交点可根据根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即行的辅助方程求得，即 令上式中令上式中 ，即得根轨迹与虚轴的交点为，即得根轨迹与虚轴的交点为 3KK2sj 2s2320KsK3KlKK1s东北大学自动控制原理课程组44 9 根轨迹的走向根轨迹的走

24、向 如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行另一些根轨迹必左行 。说明：把特征方程式改为说明：把特征方程式改为式中：式中： 是一个常数，它是各特征根之和。这表明，是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着随着 值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。 2mn 1111()0nnnkjnjWssRsa sanjjRa11gK东北大学自动控制原理课程组45根轨迹绘制法则归纳如下：根轨迹绘制法则归纳如下：（1 1）起点（起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹）。开环传递函数的极点即根轨迹的起

25、点。的起点。（2 2）终点（终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括的零点（包括 个有限零点和个有限零点和 个无限零个无限零点）。点）。（3 3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为 ，根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。（4 4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。极点之和应是奇数。0gK gK max( ,)n mnmm东北大学自动控制原理课程组46（5 5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 0)()( )()( s

26、DsNsNsD（6 6）根轨迹的渐近线。）根轨迹的渐近线。 渐近线的倾角渐近线的倾角 180 (12 )(0,1,2,)nm渐近线交点渐近线交点 11nmjijikpznm东北大学自动控制原理课程组47（9 9）根轨迹走向。）根轨迹走向。 如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行右行时，另一些根轨迹必左行。2mn（8 8）根轨迹与虚轴交点。把）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式代入特征方程式 ，即，即可解出交点处的临界可解出交点处的临界 值和交点坐标。值和交点坐标。sj gK入射角入射角njmiijosr111180111180njmiij

27、osc出射角出射角（7 7）根轨迹的出射角与入射角。）根轨迹的出射角与入射角。 东北大学自动控制原理课程组48 4.2.2 4.2.2 自动控制系统的根轨迹自动控制系统的根轨迹1. 1. 二阶系统二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为( )1(1)()gKKKKWssTss sT东北大学自动控制原理课程组49二阶系统的根轨迹图如右图所示。二阶系统的根轨迹图如右图所示。gK如果要使得系统的阻尼比为如果要使得系统的阻尼比为 21则从原点作阻尼线则从原点作阻尼线0R, 交根轨迹于交根轨迹于R（见右图）。（见右图）。 开环放大系数开环

28、放大系数 应为应为 KK12KKT上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同参数相同 东北大学自动控制原理课程组50 2 2开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。 它的开环传递函数为它的开环传递函数为)2 . 0()() 15(2 . 0)()(ssasKssasKsWgK东北大学自动控制原理课程组51由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为这个圆与实轴的交

29、点即为分离点和会合点：分离点和会合点： aaas2 . 021aaas2 . 022 本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。能改善系统动态品质。时的根轨迹图时的根轨迹图 1a 东北大学自动控制原理课程组523. 三阶系统三阶系统 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为示。它的开环传递函数为( )(1)(1)(1)()KKgKWss sTsKs ssa在在 时，分离点为时，分离点为 和和 。因为在。因为在-1-4之间不可能有根轨迹，故分离点

30、应为之间不可能有根轨迹，故分离点应为 。4a 467. 01s87. 22s467. 01s东北大学自动控制原理课程组53当当 时，根轨迹与虚轴交点为时，根轨迹与虚轴交点为对应的根轨迹放大系数为对应的根轨迹放大系数为考虑到考虑到 ，于是得临界开，于是得临界开环放大系数为环放大系数为根轨迹绘于右图。根轨迹绘于右图。4a 220gKlgKK45420lK本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增大，增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。 gK东北大学自动控制原理课程组54 4 4 具有时滞环节

31、的系统具有时滞环节的系统假设假设, , 时滞系统的结构如图所示时滞系统的结构如图所示, , 其开环传递函数为其开环传递函数为sgKesDsNKsW)()()(闭环系统的特征方程式为闭环系统的特征方程式为0)()()()(11misignjjsgezsKpsesNKsD东北大学自动控制原理课程组55假设特征根假设特征根 ，则满足特征根的幅值和辐角条，则满足特征根的幅值和辐角条件为件为jsgnjjmiiKpszse1)()(11njmiijzsps11)21 ()()(与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则根轨迹绘制法则要有所

32、变化。要有所变化。东北大学自动控制原理课程组56 时滞系统的根轨迹绘制法则：时滞系统的根轨迹绘制法则：（1）起点（起点（ ）。当）。当 时，除开环极点时，除开环极点 是起点外，是起点外， 也是起点。也是起点。（2）终点（终点（ ）。当）。当 时，除开环有限零时，除开环有限零点点 是终点外，是终点外， 也是终点。也是终点。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、极点之和为奇数。极点之和为奇数。gK 0gK 0gK gK j

33、piz东北大学自动控制原理课程组57（5）分离点与会合点。分离点与会合点。0)()()()( sDsNeesNsDss（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为渐近线。水平线，与虚轴交点为N0gK 时，gK 时，2 ,12NnmNnm 为奇数，为偶数12N 东北大学自动控制原理课程组58 （7 7）出射角与入射角。）出射角与入射角。 111)(njmiijscnjmiijsr111)(（8）根轨迹与虚轴交点。根轨迹与虚轴交点。11arctanarctan(12 )nmjijipzmiinjjlzjpjK11)()(临界根轨迹放大系数临界根轨迹放大系数 东北大学自动控制原理课程组59（9）复平面上的根轨

34、迹。复平面上的根轨迹。 由辐角条件，假设由辐角条件，假设 得得0miinjjzsps110)()(例4-6 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 ) 1()()(sseKesDsNKsgsg试绘制其根轨迹。试绘制其根轨迹。东北大学自动控制原理课程组60解解（1）起点起点 为：为： ；其他起点；其他起点为为 ，其渐近线为，其渐近线为 010,1pp (12 )(0,1, 2,) (0)gK 01)2()()( )()()( 2sssDsNsNsNsD （2）终点终点 为：为： ，其渐近线同上。，其渐近线同上。 )(gK（3）在实轴的在实轴的 区间有根轨迹。区间有根轨迹。（4）分离点位置按

35、式分离点位置按式（4-25）计算，得计算，得01东北大学自动控制原理课程组61 由此算得由此算得4)2(212s当当 时，得时，得 ， 。因根轨迹位。因根轨迹位于于 间，故分离点是间，故分离点是 。110.382s 22.618s 10.382s （5）根轨迹与虚轴交点。当根轨迹与虚轴交点。当 ， ，得，得 012arctan0.86由此得由此得 对应的临界根轨迹放大系数为对应的临界根轨迹放大系数为134. 1lK同理可计算同理可计算 时的时的 和和 值值 。根据以上计算结根据以上计算结果作的根轨迹如下图所示。果作的根轨迹如下图所示。 0lK01东北大学自动控制原理课程组62 当滞后时间当滞后

36、时间 很小时，根轨迹与虚交点的值很小时，根轨迹与虚交点的值 将很大，临界根轨迹放大系将很大，临界根轨迹放大系数数 也是很大。这时时滞环节的影响减弱。因此，也是很大。这时时滞环节的影响减弱。因此，对于滞后时间对于滞后时间 为毫秒级为毫秒级的元件，我们常把它的传递函数近似地认为的元件，我们常把它的传递函数近似地认为 ，即把它等效成为，即把它等效成为一个惯性元件。一个惯性元件。lK11ses东北大学自动控制原理课程组634.2.3 4.2.3 零度根轨迹零度根轨迹 零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是 ，而，而是是 的情况。的情况。 )21 (180 360 图示系统有一

37、个零点在图示系统有一个零点在S右半平面，它的传递函数为右半平面，它的传递函数为)()()1 ()1 ()(111psszsKsTssTKsWgakK东北大学自动控制原理课程组64 它的闭环特征方程式为它的闭环特征方程式为 0)()()()(11zsKpsssNKsDgggKpsszssDsN1)()()(11亦即亦即 gKpsszssDsN1)()()(11幅值条件幅值条件辐角条件辐角条件minjjipszssDsN11)()()()(11360(0,1,2)mnijij由于辐角条件是偶数个由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。，故名为零度根轨迹。 东北大学自动控制原理课程组65零度根轨迹

38、的绘制，改变了与幅角有关的规则：零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：（1 1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是偶数。应是偶数。（2 2）根轨迹的渐近线。倾角根轨迹的渐近线。倾角 （3 3）根轨迹的出射角与入射角。根轨迹的出射角与入射角。2,(0,1,2,)nm111360nmsrjiji111360nmscjiji入射角入射角出射角出射角东北大学自动控制原理课程组66 例例4-7 4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。试绘制下图示系统的根轨迹。 解解（1）二个开环极点：二个开环极点： ， ； 一个有限零点：一个有限零点：

39、和一个无限零点。和一个无限零点。 00p111TpaTz11东北大学自动控制原理课程组67 （2）实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，它实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，它右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样，右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样，才能满足辐角条件。才能满足辐角条件。 因此在实轴的因此在实轴的 和和 区间存在根轨迹。区间存在根轨迹。（3）分离点与会合点分离点与会合点 分离点与会合点分别为分离点与会合点分别为 110T1aT0)()()()( )()( 111psszsspssDsNsNsD11111aaTsTT21111aaTsTT东北大学

40、自动控制原理课程组68 根轨迹如下图所示。根轨迹如下图所示。 不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点点 ，半径为，半径为 。 aTz1111TTa东北大学自动控制原理课程组69 4.2.4 4.2.4 参数根轨迹参数根轨迹 参数根轨迹（或广义根轨迹）：以参数根轨迹（或广义根轨迹）：以 以外的参数作为变以外的参数作为变量的根轨迹，称为参数根轨迹。量的根轨迹，称为参数根轨迹。1. 1. 一个参数变化的根轨迹一个参数变化的根轨迹 假设系统的可变参数是某一时间常数假设系统的可变参数是某一时间常数T T，原特征方程式变，原特征方程式变为为gK( )

41、( )( )( )gTTK N sTNsD sDs式中，式中， 、 分别为等效的开环传递函数分子、分母多项分别为等效的开环传递函数分子、分母多项式，式，T的位置与原根轨迹放大系数的位置与原根轨迹放大系数 完全相同。完全相同。( )TNs( )TDsgK东北大学自动控制原理课程组70 例例4-9 4-9 给定控制系统的开环传递函数为给定控制系统的开环传递函数为 试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。闭环系统稳定。解解 闭环特征方程闭环特征方程 改写为改写为 等效的开环传递函数为等效的开环传递函数为 ,0(2)KsaWsa

42、ssa0) 1() 12(22sassasassa0) 12() 1(1sssa) 12() 1()(sssasWeq该系统在绘制以为该系统在绘制以为 参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。东北大学自动控制原理课程组71相应的根轨迹绘于右图。相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当由图可知，当 时时系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。闭环系统稳定的范围：闭环系统稳定的范围： 例例4-9 系统的根轨迹系统的根轨迹本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在绘制参数根轨迹、研究正

43、反馈系统、处理非最小相位系统时，绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。 1a 10 a东北大学自动控制原理课程组72 2. 几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇） 在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时对系统性能的影响。为此，需

44、要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，称为根轨迹簇。称为根轨迹簇。东北大学自动控制原理课程组73例例4-104-10 一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和和 为为 参数的根轨迹。参数的根轨迹。a解解 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为 20sasK先令先令 ，则上式变为，则上式变为或写作或写作0a 20sK210Ks东北大学自动控制原理课程组74令令据此作出据此作出 对应的根轨迹，如下图对应的根轨迹，如下图a所示。所示。这是这是 时，以时，以K为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。其次考

45、虑其次考虑 ，把闭环特征方程改写为，把闭环特征方程改写为 令令12( )KKWss1( )KWs0a 0a 210assK22( )KasWssK东北大学自动控制原理课程组75它的极点为它的极点为 ，零点为，零点为0。不难证明，对应特征方程的根。不难证明，对应特征方程的根轨迹为一圆弧，其方程为轨迹为一圆弧，其方程为 例如令例如令K=9，则，则22( )9KasWss2223下图下图b为为K取不同值时所作的根轨迹簇。取不同值时所作的根轨迹簇。3j东北大学自动控制原理课程组76 根轨迹绘出以后，对于一定的根轨迹绘出以后，对于一定的 值，即可利用幅值条值，即可利用幅值条件，确定相应的特征根（闭环极点

46、）。如果闭环系统的零件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。知的输入信号，分析系统的暂态特性。gK东北大学自动控制原理课程组77 4.3.1 在根轨迹上确定特征根在根轨迹上确定特征根 根据已知的根据已知的 值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法。以采用试探法。 gKgK取试验点取试验点 连接连接 与开环零极点与开环零极点0s0s东北大学自动控制原理课程组78 对于对于 的系统，可先在实轴上选实验点，的系统，

47、可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。找出闭环实极点后再确定闭环复极点。例例4-11 系统开环传函为系统开环传函为试确定试确定 的闭环极点。的闭环极点。解解 闭环特征方程为闭环特征方程为3nm 14gKKWss ss 1140KgWss ssK10gK 东北大学自动控制原理课程组79 由图可知：在由图可知：在 有一实根，设其为有一实根，设其为:11R 实根求法：实根求法：1. 试探法试探法 2. 作图法作图法由由140gs ssK求得求得 的一个特征根为的一个特征根为114.6R-=10gK 4 东北大学自动控制原理课程组80 设另外两个复根为：设另外两个复根为：由特征方程得

48、由特征方程得:根据代数方程根与系数的关系有：根据代数方程根与系数的关系有：可求得二共轭复根可求得二共轭复根:2232RjRj 321231454ggs ssKsssKsRsRsR12312212325,0.24.6 0.20.2,1.46gRRRR R RjjK 2,30.21.46Rj 东北大学自动控制原理课程组81 4.3.2 用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析控制系统：用根轨迹法分析控制系统： 定性分析稳定性分析。定性分析稳定性分析。 定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。 控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。

49、根轨迹控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最最大优点大优点就是可以就是可以直观直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。统性能。东北大学自动控制原理课程组82(1)(1)闭环系统有两个负实极点闭环系统有两个负实极点暂态过程主要决定于离虚轴近的暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。极点。一般当时一般当时 ，可忽略极点，可忽略极点的影

50、响。的影响。 由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。215RR2R东北大学自动控制原理课程组83 假设假设 不变不变随着阻尼角随着阻尼角 的改变，极点将沿着以的改变，极点将沿着以 为半径的圆弧移动。为半径的圆弧移动。arccosnn(2) (2) 闭环极点为一对复极点闭环极点为一对复极点由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 决定系统的暂态特性。决定系统的暂态特性。narccos东北大学自动控制原理课程组84 假设假设 不变不变则随着则随着 增大，极点将沿矢量

51、方向延伸。增大，极点将沿矢量方向延伸。n等阻尼线等阻尼线东北大学自动控制原理课程组85 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。 有相同有相同 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间。时间。nn等衰减系数线等衰减系数线 东北大学自动控制原理课程组86 (3)(3) 闭环系统有一对复极点外加一个实极点闭环系统有一对复极点外加一个实极点 系统超调量减小，调节时间增长系统超调量减小，调节时间增长一对复极点和一个实极点一对复极点和一个实极点 当实极点与虚轴的距离比当实极点与虚轴的距离比复极点实部与

52、虚轴的距离复极点实部与虚轴的距离大大5倍以上倍以上时，可以不考时，可以不考虑这一负极点的影响，直虑这一负极点的影响，直接用二阶系统的指标来分接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。析系统的暂态品质。东北大学自动控制原理课程组87一对复极点和一个零点一对复极点和一个零点 （4）闭环系统有一对复极点外加一个零点）闭环系统有一对复极点外加一个零点 将增大系统超调量将增大系统超调量但是，如果但是，如果 ， 则可以不计零点的影响，直接用则可以不计零点的影响，直接用二阶系统的指标来分析系统的暂二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。态品质。10.5,4nz东北大学自动控制原理课程组88 （5）闭环系统中一对相

53、距很近的实极点和零点称为）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为偶子。偶子。 偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。 用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统暂态品质怎样变化。暂态品质怎样变化。 东北大学自动控制原理课程组89 4.3.3 开环零点对系统根轨迹的影响开环零点对系统根轨迹的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。211212( )()(1)(1)()()gKKKKWspps TsT ss spsp如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变