高考数学知识点归纳总结

1、-1- 高中数学必修+选修 知识点归纳 必修 1 1 数学知识点 第一章：集合与函数概念 1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、常见集合：正整数集合：N或N+,整数集合： Z,有理数集合：Q,实数集合:R. 3、并集.记作:AUB.交集.记作：AB. 全集、补集CUA=x|x泛U,且x至A) (CLA)n(n(CUB)=B)=CU(AUB)(CUB)(CUA)U(U(CUB) = =CU(AnB);nB);AqB=BnBWA; 简易逻辑： 或：有真为真，全假为假。 且：有假为假，全真为真。 非：真假相反 原命题互逆逆命题 原命题：若 P P 则 q;q;逆命题：若 q q 则 p;p;

2、否命题：若？则q;q;逆否命题：若q q 则p p。 常用变换： f(X) f(xy)=f(x)f(y)：二f(x_y) f(y) 证f(xy)f(x)=f(x_y)y=f(xy)f(y) f(x) f(D=f(x)_f(y)二f(xy)=f(x)f(y) y 证：f(x)=fCy)=f )f(y)yy 4 4、设 A A、B B 是非空的数集，如果按照某 种确定的对应关系f,f,使对于集合A A中的任意一个数x,在集合 B B 中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:ATB为集合 A A 到集合 B B 的一个函数，记作:y=f(x)x A. . 分母不等于零 5、定义域被开方大于等

3、于零 对数的蓦大于零，底大于零不等于1 值域:利用函数单调性求出所给区间的最 大值和最小值， 6、函数单调性： (1) 定义法：设x1、x2wa,b,x1x2那么 f(xi)f(x2)0、则f(x)为增函数：若f(x)c0、则f(x) 为减函数. 7、奇偶性 f(x)为偶函数：f(-x)=f(x)图象关于y轴对称. 函数f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)图象关于原点对称. 若奇函数y=f(x)在区间(0,危)上是递增函数，贝U y=f(x席区间(- ,0)上也是递增函数. -2- 若偶函数y=f(x并区间(0,E)上是递增函数，贝U y=f(x廊区间(-8,0)上是递减函数. 函数的几个重

4、要性质： 如果函数y=f(x)对于一切xR,都有 f(a+x)=f(ax)或f(2a-x)=f(x),那函 数y=f(x啊图象关于直线x=a对称. 函数y=f(x月函数y=f(_x)的图象关于直线 x=0对称； 函数y=f(x点函数y=-f(x)的图象关于直线 y=0对称； 函数y=f(x与函数y=f(x)的图象关于坐标 原点对称. 1、几种常见函数的导数 C=0；(xn)=nxnJL； D(sinx)=cosx；(cosx)=sinx； (ax)=axina；(ex)=ex; (logax)=；(inx)=1 xlnax 2、导数的运算法则 一、 (1) (u-v)=u-v. (2) (uv

5、)=uvuv. ,u、uvuv, (3) ()=2(v=0). vv 3、复合函数求导法则 复合函数y=f(g(x)的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 解题步骤：分层一层层求导一作积还原导数的应用: 1、y=f(x)在点x处的导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在 P(x,f(x。)处的切线的斜率f(x)，相应的切线方程是yy。=f(xo)(xx。). 切线方程：过点Pxo,y。的切线方程，设切点为 (x，yi),则切线方程为yyi=f(x!Xx*)，再 将P点带入求出x1即

6、可 2、函数的极值(-列表法) (1) 极值定义： 极值是在x。附近所有的点，都有f(x)Vf(x。)， 则f(x0)是函数f(x)的极大值； 极值是在x。附近所有的点，都有f(x)f(x),则f(x。)是函数f(x)的极小值. (2) 判别方法： 如果在x。附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)v0,那么f(x。)是极大值； 如果在x。附近的左侧 f(x)v0,右侧 f(x)0, 那么f(x。)是极小值. 3、求函数的最值 (1) 求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大或者极小值) (2) 将y=f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。函数

7、凹凸性： 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两 点 xi,x2(xi我2),有 xix.f(x1)-f(x2) f()0,r,sQ)； (arj=ars(a0,r,swQ)； .V y=ax (aaQa孝1) 0a1 1 ox x. :a=Nux=logaN； 2、对数恒等式：alogaN=N. 3、基本性质：loga1=0,logaa=1. 函数的应用 方程的根与函数的零点 1、方程f(x)=0有实根 u 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 u 函数y=f(x)有零点. 2、零点存在性定理： 如果函数y=f(x推区间la,bl上的图象是连续不断 4、运算性质：当a0,a=1,M

8、0,Na0时:的一条曲线，并且有f(a)，f(b)0,bA0,r击Q). 指数函数及其性质 1、记住图象：y=a 2、性质: 对数与对数运算 1、指数与对数互化式 7、倒数关系: logab _1 logba a0,a=1,b0,b=T. y=logax 0a1 -4- 定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直） ，性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 4、面面垂直： 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 判定：一

9、个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个 平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。 ，性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另_个平面。（简称面面垂直，则线面垂直） 做题技巧： 证明线面平行：在平面内寻找与所求平行的直线 题目中若有中点，看所求平面中的边是否有含某个 平行四边形对角线，若有则连接对角线-构成中位线 利用线面平行证明线线平行 证明线面垂直：直线垂直平面内两个相交直线 题目中给定边的值，利用勾股定理 直棱柱-棱平行且垂直地面 垂直投影的直线垂直原线 两个平面垂直，垂直交线的直线垂直另一个面 第三章：直线与方程 ，一一.V2-y 1、倾斜角与斜率：k=tana=

10、X2-Xi 2、直线方程： 点斜式：y-y=kx-x 斜截式：y=kx,b 两点式：qi=Bi Xx1X2X1 截距式：xy=iab 一般式：Ax,ByC=0 3、对于直线： 11:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2有: 11和l2相交 uk1#k2； 一.*=k2 11和l2重合 u* 0=b2 11I12kik=-1. 4、对于直线：（重点） 11 :A1xB1yC1=0, 有： 12 :A2XB2yC2=0 /、.，A1B2=A2B1 l1/l2仁；（两直线平行，系数交叉 B1CB2C1 相乘差为零） l1和l2相交仁A1B2,A2B1； 11_Ll2uA1A2+B1B2=0.（两

11、直线垂直，对应相 乘和相等） 5、两点间距离公式：（重点） RP2I=v（X2x1）12+（y2y1f 6、点到直线距离公式：（重点） |Ax+By。+Cd=-j .A2B2 7、两平行线间的距离公式：（重点） l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0平行, 第四章：圆与方程 1、圆的方程： 2、直线与圆的位置关系 直线Ax+By+C=0与圆（x-a）?十（y-b）?=r2 的位置关系有三种： dru相离仁A0； d=ru相切 uA=0; 标准方程：（x-af+（y-b2=r2 其中圆心为（a,b），半径为r. 一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. 其中圆心为（D,E），半

12、径为r=jD2+E2_4F. 222 11/12- k1=k2 、bif l1和l2重合 u A1B2=A2B1 B1C2=B2C1 mC1-C2 则d=12 .A2B2 -5- d0. 弦长公式:(重点)I=2v2-d2 =.(*-%)(乂-为)=1klx- 3、空间中两点间距离公式： 2:2:2 P1P2=q(x2xi)+(y2yi)十(Z2zi) 必修 3 3 数学知识点 算法案例： 辗转相除法一结果是以相除余数为0而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： i）:用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0； ii）：若R。=0,则n为mn的最大公约数；若R0丰0,则用除

13、数n除以余数R0得到一个商&和一个余数R； iii）：若R=0,则R1为mn的最大公约数；若R1 0,则用除数氏除以余数R得到一个商S2和一个余数 R2; 依次计算直至Rn=0,此时所得到的Rn即为所求的最大公约数。 更相减损术一结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下： i）:任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。 若是，用2约简；若不是，执行第二步。 ii）:以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 进位制 十进制数化为k进制数一除k取余法 k进制数化为十进制数

14、 第二章：统计 1、抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少） 系统抽样（总体个数较多） 分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本， 每个个体被抽到的机会（概率）均为卫。 N 2、总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表数据详实 频率分布直方图分布直观 频率分布折线图便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 茎叶图：（重点） 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： 平均数：X1X2X3Xn； n 取值为XX2

15、，Xn的频率分别为P1，P2,，Pn,则其 平均数为X1P1+X2P2+XnPn； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 方差与标准差：一组样本数据X,X2，Xn 方差：s2=】(Xj_X); ni日 s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 第三章：概率 1、随机事件及其概率： 事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母 表示； 必然事件、不可能事件、随机事件的特点； 随机事件A的概率：P（A）=m，0苴P（A）1.n 2、古典概型： 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； 古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个

16、； 每个基本事件都是等可能发生。 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事 件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则-6- 事件A发生的概率P(A)=m. n 3、几何概型： 几何概型的特点： 所有的基本事件是无限个； 每个基本事件都是等可能发生。 任意角的三角函数 1、设ot是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 y P(x,yI那么：sina=y,cosw=x,tanot=x 2、设点A(x,y)为角口终边上任意一点，那么：(设 r=x2y2) 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。 4、互斥事件： 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； 如果事件Ai,A2,，An

17、任意两个都是互斥事件，则称 事件Ai,A2,，An彼此互斥。 如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率， 等于事件A,B发生的概率的和， 即：P(AB)=P(A)P(B) 如果事件Ai,A2,，An彼此互斥，则有： P(AiAAn)=P(Ai)P(A2广P(An) 对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 事件 A的对立事件记作A P(A)P(A)=1,P(A)=1-P(A) 对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。 必修 4 4 数学知识点 第一章：三角函数 任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、与角ot终边相同的角的集合： -：2k,kZ

18、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 的角. r n兀R_ 3、弧长公式:|=aR. 4、扇形面积公式：，=里坚一=】IR. 3602 sin,cosw=-,tana=,cotot rrx since,cosot,tana在四个象限的符号和三角函数线的画法. 三角函数的诱导公式 奇变偶不变，符号看象限券Z 1、诱导公式一： sin冬-2k=sin：, cog+2顷)=cosa,(其中：k在Z)tan撰M，2k-：-tan：. 2、诱导公式二： sin：-sin：, cos二：=-cos：,tan：-tan：. 3、诱导公式三：(奇偶性) sin-：-sin：, cos-：-c

19、os,tan-：-tan：.式 1、 平方关系： 22 sin二，cos: sin工 2、 商数关系: tan- cos： 3、 倒数关系： tan：cot：-1 MP; OM; AT 同角三角函数的基本关系 几何概型概率计算公式: d的测度 P(A)=D的测度 3、 正弦线 余弦线 正切线 =1. -7- y=sinx在x0,2兀上的五个关键点为: 二3二 (0,0),(亍1),3,0),(3,-D,(为，0). 1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 函数求解题目：已知y=Asin，x- 第一类型：求解它的单调区间 2k一三wx+苴一+2k单调递土曾区间 22 :3二

20、2k+wx十。菱十2k单调递减区间 22 求出x的范围即可 注意：若题目中是余弦，则代换相应余弦的单调区间 第二类型：给定一个区间xwa,b求解值域或者最值 由丁x：=la,b1, wa wx三wb wa wxwwb 令t=wx+贝Uy=Asin（t），根据t0+wa,wb十】 利用图像求出值域或者最值4、诱导公式四： （互补两角正弦值相等，余弦值互为相反数） sin二-：-sin：, cos二-：-cos：, tan二-：-tan：. 5、诱导公式五： （互余两角：一个角正弦值等于另一个角余弦值） sin口i=cosa, cosaI=sin口. oAj/2n 色丁色丁4必必 27-1 2 2

21、 2、会用五点法作图. 2 -TL y=cotx o刀刀 2 2、记住余切函数的图象: -1- 1.5、函数）=入、讷（切乂+中）的图象 1、对于函数： y=Asin（x+巾）+B（AA0,0）有：振幅A,周 ,一2二.，一 期T=,初相中，相位切x+W,频率f=*=务.o 2、能够讲出函数y=sinx的图象与 y=Asin（切x+中）+B的图象之间的平移伸缩变 换关系. 先平移后伸缩： y=sinx平移|平|个单位y=sin（x+中） （左加右减） 横坐标不变/y=Asinx） 纵坐标变为原来的 A倍 纵坐标不变*y=Asin（切x+平） 、i.、 横坐标变为原来的|一|倍 平移|B|个单位

22、*y=Asin（切x+）+B （上加下减） 先伸缩后平移： y=sinx横坐标不变*y=Asinx 纵坐标变为原来的A倍 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 y 1 3Ji/xT小 4y k 严二 1 LI */-JL1/ 0 *X 0 2 定义域 R R 31 x|x孝刁+kn,k气Z 值域 -1,1 -1,1 R 最值 x=2k 兀+兰，kZ时，ymax=1 2 x=2k 兀一二 kWZ时，ymin=1 2 x=2kir,kWZ时，ymax=1 x=2kn+jl,kEZ时，ymin=1 无 周期性 T=2兀 T=2兀 T=JT 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 kWZ （重点） 在2

23、3-|,23+勺上单调递 增 在23 ,23+马上单调递 22 减 在2k兀一 n,2kir上单调递增 在2kr,2kN+兀上单调递减 在（血号,血号）上单调 递增 对称性 kEZ （重点） 对称轴方程：x=kR1一 2 对称中心（初,0） 对称轴方程：x=kir 对称中心（3+,0） 2 无对称轴 对称中心 ,0） 2 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 -2- 平移|B|个单位.y=Asin（切x+中）+B （上加下减） 3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数y=sin（cox+）,xR及函数y=cos（仍x+）, 2：: xCR（A,切，为常数，且A乒0）的周期T=；函IT

24、 数y=tan（eox+B）,x#k兀+兰，k正Z（A,，为 2 常数，且A乒0）的周期T=二. IT 第三章、三角恒等变换记住15。的三角函数值: a sina cosa tan JI12 * 4 76七24 2-43 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3、tan2：=2tan2 1-tan: ,sin2二1cos2二 4、tan:= 1cos2：sin2： 简单的三角恒等变换 辅助角公式 y=asinxbcosx=,a3b2sin（x） 3方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共 纵坐标不变y=AsinEx A 1,、 横坐标变为原来的|一|倍 0 平移 2 个单位y=Asin缶x中）

25、M （左加右减） 升藉公式: 2 1cos2:=2cos: 2 1-cos2:-2sin: cos=*1(1cos2:) 降藉公式:2 sin2：=%(1一cos2上) -3- 线向量）. 规定：零向量与任意向量平行. 1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3、cos：:=cos：cos-sin：sin- 三角形加法法则和平行四边形加法法则（首尾相连）. tan：tan: 5、tan-一=1-tan：tanI. tantan: 6、tan一=1tan：tan 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、sin2：-2sin：cos： 2、cos2：-cos2：-sin2：-2cos2：-1 2 =

26、12sin2a.变形如下:变形：sincosa=%sinX. 同，从减向量指向被减向量） 1、sin0+P)=sinacosE+cosasin口 2、sin：-：=sin艺cos-coswsin 4、 cos：-cos二cos，sin工sin 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.（起点相 平行四边形彼法怯处 -4- 向量数乘运算及其几何意义 1、规定：实数九与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：兀a,它的长度和方向规定如下： iB 兀a=舄a, 2、平面向量共线定理：向量弓6#6泻b共线，当且仅当有唯个实数赤，使b=房. 当九0时，La的方向与a的方向相同；当ZB不成立。

27、 做题技巧： 1、题目中的等式只含有正弦函数与边的关系： 求角度值：利用正弦定理： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;将等式中的 边化成正弦函数，在结合和差化积公式 求边的长度：利用正弦定理： ab一c sinA=,sinB=,sinC=将正弦值转化2R2R2R 成边。 2、题目中出现三角函数或者边的平方的关系，利用余 弦定理求解 (其中R为AABC外接圆的半径)二a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; abc :二sinA=,sinB=,sinC=;2R2R2R 二a:b:c=sinA:sinB:sinC. 用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素； 已知

28、三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： a45=b2+c22bccosA,b2=a2c2-2accosB,c2=a2b2-2abcosC. .222 bc-a 定义二.一如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数，即ananJ=d,(nA2,n cN*),那么这个数列就叫做等差数列。 1.笠.差由.项.二若三数a、Ab成等差数列 Aab :二A= 5 2、.通顼公式 an=a1(nT)d=am(n-m)d 或an=pn+q(p、q是常数). 2bc 222 ac-b 2ac, 2.22 ab-c2ab 第二章：数列 数列中an巨Sn之间的关系： S,(n=

29、1)、一一口一一,an=a+cb+d （异向可减性）ab,co,ocTb（n在 N,且 n1） 1111 （倒数法则）a.b.0;a：b：0= abab 2、几个重要不等式 a910+b2芝2ab（a,b在R）,（当且仅当a=b时取 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 7等比中.项;.若三数a、Gb成等比数列=G2=ab, （ab同号）。反之不一定成立。 8通项公式.：.一一 nXn-m an=aq=amq 1o319 -8- ab =号）.变形公式：ab 2 ab （基本不等式）芝.届（a,bwR*）,（当 且仅当a=b时取到等

30、号）. 2 变形公式：a+bN2j0babli -2 用基本不等式求最值时（积定和最/J、，和定积最 大），要注意满足三个条件一正、二定、三相等”. （三个正数的算术一几何平均不等式） abc3厂 芝Vabc（a、b、c亡R）（当且仅当 3 a=b=c时取到等号）. a2b2c2_abbccaa,bR （当且仅当a=b=c时取到等号）. a11b3c3_3abc（a0,b0,c0） （当且仅当a=b=c时取到等号）. ba 若ab0,贝Ub+占2（当仅当a=b时取等号） ba 若ab0,则一+-2（当仅当a=b时取等号）ab _bbmana 一：:1:- aambnb 其中（ab0,m0,n0

31、） 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. 当 aA0 时，xAaux2Aa2uxxAa; 22 xauxauaxa. 绝对值三角不等式-|b|a-b|a|b. 3、几个著名不等式 舍去或加上一些项，如（a）一（a）; 1042 将分子或分母放大（缩小），如 n.111 k2k(k-1),k2k(k1), ,22、12 (-=)-: 2k、k.k.kkk-1 22 平均不等式：r_a1)等. .k.k、k1 元二次不等式的解法-重点求一元二次不等式ax?+bx+c0(或0且含 参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论 的标准有：讨论a与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小. 10

32、、恒成立问题一最值问题重点 不等式ax2+bx+cA0的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是： 当a=0时nb=0,c0; 当a#0时na* ：0. 不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是： 当a=0时 nb=0,c0; 当a#0时=a .：:：:0. f(X)a恒成立 Uf(x)maxa； f(x)壬a恒成立 uf(x)maxa恒成立 Uf(x)mina; f(x)芝a恒成立=f(x)minNa. 大于等于：最小值满足条件即可 11、线性规划问题-重点 二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 取特殊点定区域：常选原点 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域， 利用线性规

33、划求目标函数z=Ax+By(A,B为常数)5、 -2- 专题二：圆锥曲线与方程 1.椭圆 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 您 V 标准万程 22 xy,._ +J=1(abA0)ab 22 七+与=1(aba0)ab 第一定义 到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a,即|MF1|+1MF21=2a(2aA|F1F2|) 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即N!=e(0e1) d 范围 ax玄a且一b壬yb b去x壬b且一ay壬a 顶点 A(-a,0)、A2(a,0) Bi(0,b)、B2(0,b) A(0,-a)、A2(0,a) BI(-b,0)、B2(b,0) 轴长 长轴的长=2a短轴的长=2b 对称性 关于x轴、y轴