结构力学第4章-虚功原理和结构的位移计算

1、第四章 虚功原理和结构的位移计算主要内容4-1 概述4-2 变形体系的虚功原理4-3 结构位移计算的一般公式4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算4-5 图乘法4-6 温度变化和支座移动下的位移计算4-7 互等定理4-1 概述 在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构的变形。各杆件的横截面除移动外，还可能发生转动，这些移动和转动称为结构的位移。 一、结构位移的概念一、结构位移的概念计算位移的目的：（计算位移的目的：（1）刚度验算）刚度验算 （2）为超静定结构分析打基础）为超静定结构分析打基础产生位移的原因：（产生位移的原因：（1）荷载）荷载cc1t12tt （2）温度变化、材料胀缩）

2、温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差AVBV以上都是绝对位移以上都是绝对位移以上都是相对位移以上都是相对位移广义位移广义位移二、结构位移计算概述二、结构位移计算概述1.一个截面的位移（绝对位移）一个截面的位移（绝对位移）（1）截面截面A 位置的移动（用截面形位置的移动（用截面形心的移动来表示）心的移动来表示）A，称为线位移，称为线位移，可分解为：可分解为：水平线位移水平线位移AH（也可记作（也可记作uA）竖向线位移竖向线位移 (挠度挠度)AV (也可记作也可记作vA)。 （2）截面）截面A 位置的转动位置的转动（用该点切线方向的变化来表示）（用该点切线方向的变化来表示

3、）A，称为角位移或转角。，称为角位移或转角。 ABCqA1B1AA AvAuA2.两个截面之间的位移（相对位移）两个截面之间的位移（相对位移）（1）相对线位移）相对线位移 BAAB（2）相对角位移）相对角位移DCCDAA1BB1FPFPCD A BCDCDE3.一个微杆段的位移一个微杆段的位移 dsuv微段刚体位移微段刚体位移dsg g0g g0dvdv= g g0 ds微段相对位移微段相对位移（剪切变形）（剪切变形）ds du= e eds微段相对位移微段相对位移（轴向变形）（轴向变形）ds微段相对位移微段相对位移（弯曲变形）（弯曲变形）d= ds/R =kdsAA一个微杆段的位移可分解为一

4、个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移刚体位移和变形体位移之和之和（1）刚体位移（不计微段的变形）：）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、（2）变形位移（反映微段的变形）：）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、d 。这是。这是描述微段总变形的三个基本参数。描述微段总变形的三个基本参数。sksvsudddddd0ge相对转角相对剪切位移相对轴向位移 为轴向伸长应变为轴向伸长应变; 为平均剪切应变为平均剪切应变; k 为轴线曲率（为轴线曲率（ ，R为轴线为轴线变形后的曲率半径）。变形后的曲率半径）。 0gRk1dsuv微段刚体位移微段刚体位移dsg g0g g0dvdv= g g0 ds微

5、段相对位移微段相对位移（剪切变形）（剪切变形）dsdu= e eds微段相对位移微段相对位移（轴向变形）（轴向变形）ds微段相对位移微段相对位移（弯曲变形）（弯曲变形）d= ds/R =kds对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有sEIMsGAFvsEAFuddddddQN式中，式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩；分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面 =1.2， 圆圆形截面形截面 =1

6、0/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面 =A/A1（A1为腹板面积）。为腹板面积）。 三、结构位移计算的方法1、几何法例如，材料力学中主要用于计算梁的挠度的积分法。 2、虚功法计算结构位移的虚功法是以虚功原理为基础的，所导出的单位荷载法最为实用。单位荷载法能直接求出结构任一截面、任一形式的位移，能适用于各种外因，且能适合于各种结构；还解决了积分法推导位移方程较繁琐且不能直接求出任一指定截面位移的问题。 一、功、实功与虚功一、功、实功与虚功 1 1、功、功 功包含了力和位移两个因素。功包含了力和位移两个因素。 2 2、实功、实功 所谓实功所谓实功，是指力在，是

7、指力在其自身引起的位移其自身引起的位移上所做的功。分上所做的功。分为常力实功和变力实功为常力实功和变力实功 。4-2 变形体系的虚功原理111121PW 111 1P1PP1 1111o1P11 1静力荷载所做的实功为变力实功。静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始终保持平衡。 静力荷载静力荷载所做的实功所做的实功 FP1在12上做的功: W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2 。121P12FW3、常力所做的虚功、

8、常力所做的虚功 所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。 FP11 12 1111 1212 1 12M2FP1 (先先) 1111 1212 2121 222212M2(后后)11对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这两个彼此独立无关的因子的乘积来表示，即:FWP式中:FP是做功的与力有关的因素，称为广义力， 可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角位移等。 二、广义力和广义位移二、广义力和广义位移三、刚体体系的虚功原理三、刚体体系

9、的虚功原理刚体体系刚体体系处于处于平衡的必要和充分条件平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条是：对于符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力外力所做的虚功总所做的虚功总和等于零。和等于零。 Fi i=01PF2NF1NF2PF去掉约束而代以相应的反力，去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：该反力便可看成外力。则有：FPAxFBFAyFPB- -FP P +FB B=012ABC1C1B四、变形体的虚功原理四、变形体的虚功原理 1、关于原理的表述、关于原理的表述变形体系变形体系处于处于平衡的必要及充分条件平衡的必要及充分条件是：是：对于符合

10、约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和外力在虚位移上所做虚功总和等于等于各微段上内力在其各微段上内力在其变变形虚位移形虚位移上所做虚功总和。上所做虚功总和。或者简单地说，或者简单地说，外力虚功等于变形虚功外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚（数量上等于虚变形能）。变形能）。变外WW2、关于原理的证明、关于原理的证明状态状态2:位移状态位移状态(另外原因引起另外原因引起) 微段位移状态微段位移状态微段受力状态微段受力状态状态状态1:力状态力状态FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN

11、+dFNFQ+dFQABCDdsg g0g g0dudvddsdsBCC1dsADA1B1D1C2D2OO(1)按外力虚功与内力虚功计算按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）（从变形的连续条件考虑） dW总总= dW外外+dW内内将微段将微段ds上的作用力区分为上的作用力区分为外力与内力，外力与内力，微段总的虚功：微段总的虚功： FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQABCDBCC1dsADA1B1D1C2D2OOdsg g0g g0dudvddsds整个结构的总虚功为整个结构的总虚功为： 内内外外总总WWWddd或简写为

12、：或简写为：W总总=W外外+W内内 由于任何由于任何两相邻微段的相两相邻微段的相邻截面上邻截面上的的内力内力是成对出是成对出现的，它们大小相等，方现的，它们大小相等，方向相反；向相反；qdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQA某微段受力某微段受力dsqM+dMFN+dFNFQ+dFQ右侧相邻微段受力右侧相邻微段受力左侧相邻微段受力左侧相邻微段受力 dsMFNFQ CDBDCAB又由于又由于虚位移虚位移是光滑的、连是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总续的，两微段相邻的截面总是紧密贴在一起的，而且有是紧密贴在一起的，而且有相同的位移，相同的位移，因此，因此，每一对相邻截面上的内力每一对相

13、邻截面上的内力所做的虚功总是相所做的虚功总是相互抵消的。互抵消的。由此可见，必有：由此可见，必有：W内内= 0 ；因此：因此： W总总=W外外（a） (2)按刚体虚功与变形虚功计算按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑从力系的平衡条件考虑) 将微段的虚位移区分为将微段的虚位移区分为刚体虚位移刚体虚位移和和变形虚位移两类变形虚位移两类 微段总的虚功微段总的虚功: dW总总=dW刚刚+dW变变FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQABCDBCC1dsADA1B1D1C2D2OOdsg g0g g0dudvddsds由刚体虚功原理

14、，可知：由刚体虚功原理，可知： dW刚刚=0于是，微段上总的虚功：于是，微段上总的虚功： dW总总=dW刚刚+dW变变=dW变变 对于全结构，有：对于全结构，有： 变总WWdd因此有：因此有： W总总=W变变 (b)比较（比较（a）、（）、（b）两式，可得：）两式，可得： W外外=W变变就是我们需要证明的结论。就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。 (c)须注意的是：须注意的是：这里（这里（b）中的）中的W变变与（与（a）中的）中的W内内是有区别的。是有区别的。（a）中的）中的W内内是指所有微段上是指所有微段

15、上内力在截面的总位移内力在截面的总位移（包（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如前所述，它恒等于零；前所述，它恒等于零；而这里（而这里（b）中的）中的W变变仅指所有微段上仅指所有微段上内力在截面的变形内力在截面的变形位移上位移上所做虚功的总和。所做虚功的总和。 假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作用在截面用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，考虑

16、微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功只有截面上的内力做功。对于平面杆系有。对于平面杆系有 dW变变= Md+ FNdu + FQdvvFuFMWWddddQN变变(d )W变变实际上是所有微段上实际上是所有微段上内力内力在变形虚位移上所做虚功的总和，在变形虚位移上所做虚功的总和，称为称为变形虚功变形虚功（数量上等于虚变形能）。（数量上等于虚变形能）。 由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和和dFQ以及分布以及分布荷载荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段

17、上各力在其变形上所做的虚功为上各力在其变形上所做的虚功为 （1） 变形虚功变形虚功W变变对于平面杆系而言，对于平面杆系而言，因为因为单个外力虚功单个外力虚功按式按式W=FP计算，计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功的总和为的总和为: W外外=S SFP 将有关将有关W外外和和W 的计算式（的计算式（e）和（）和（d）代入式（）代入式（c），则），则平面杆件结构的虚功方程平面杆件结构的虚功方程可表示为可表示为 :（e） （4-4） vFuFMFdddQNP平衡力系平衡力系位移状态位移状态（2） 外力虚功外力虚功W外外3、关于原

18、理的说明、关于原理的说明（1）在上面的推证过程中，）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变只考虑了力系的平衡条件和变形的连续条件。形的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。也可以用来代替几何方程（即协调方程）。 （2）虚功方程）虚功方程是个是个“两用方程两用方程”，具体应用时可有两种形式。，具体应用时可有两种形式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（如果力系是给定的，则可虚设位移，式（4-4）便称为变形体）便称为变形体系的

19、系的虚位移方程虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中的某未知力的某未知力 ；b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（如果位移是实有的，则可虚设力系，式（4-4）便称为变形体）便称为变形体系的系的虚力方程虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用 （ a ） vFuFMFdddQNP实实平衡力系平衡力系虚虚位移状态位移状态（ b ） vFuFMFdddQNP虚虚平衡力系平衡力系实实位移状态位移状态虚位

20、移方程虚位移方程虚力方程虚力方程（3）在推证式（）在推证式（4-4）时，）时，没有涉及到材料的性质没有涉及到材料的性质。因此，。因此，变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问弹性问题，也适用于非弹性问题题，也适用于非弹性问题。 （4）变形体系的虚功原理）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系同样适用于刚体体系。由于刚。由于刚体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚功变形虚功W变变=0，于是可得，于是可得W=0 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。只是变形

21、体系虚功原理的一个特例。 6.36.3结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式一、利用虚功原理计算结构位移一、利用虚功原理计算结构位移根据平面杆件结构的虚功方程（4-4），其等号左侧为iicFcFcFF 11R 2R21R1PFP1FP2dsdsd , du, dv c1c2K1Kiiq+t1+t2FP=1iiR1FR2FNQFFM,例,求K点位移，则在K点虚加一单位力Fp=1虚平衡力系虚平衡力系实位移状态实位移状态于是有于是有vFuFMcFddd1QNR即得即得 cFvFuFMRQNddd（4-7 ) 此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原

22、理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。 广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），属单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。（式中（式中FR i 、 M ，FN ，FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力）二、虚拟单位荷载的施加方法二、虚拟单位荷载的施加方法 应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即属广义位移。因此，需特别强调，当求任意广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相应的广义力。这里，“相应”是指力与位移在做功上的对应，如集中力

23、与线位移对应，力偶与角位移对应，等等。 （1）图示为求刚架 K 点沿 i-i方向的 线位移时的虚拟力状态。 FP=1iiK（2）图示为求刚架K截面角位移时的虚拟力状态。（3）图示为求刚架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态。 （4）图示为求刚架A、B两截面相对角位移时的虚拟力状态。M=1KFP=1FP=1ABM=1M=1AB（5）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态 （6）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一个力均为1/li且与该杆垂直，这里的li为第i杆的长度。 7）桁架第i与第j杆两根杆间相对角位移的虚拟力

24、状态。施加于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相反的一对单位力偶。 FP=1FP=1ABli1/li1/lililj1/li1/li1/lj1/lj4.4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算当仅考虑荷载作用时，无支座位移项vFuFMdddQN式中，d、du和dv是实际状态中由荷载引起的微段ds上的变形位移，该公式中的各内力M、FN、FQ，应具体采用由实际状态中的荷载引起的内力MP、FNP、FQP。(4-8)dsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQA微段受力状微段受力状态态dsdsdsg g0g g0dudvd微段变形状态微段变形状态sEIMsGAFvsEAF

25、uddddddQN（i）式式sGAFsEAFFsEIMMdFddQPQNPNP（4-13） 如果各杆均为直杆，则可用dx代替ds，得荷载作用下位移计算的一般公式:xGAFxEAFFxEIMMdFddQPQNPNP（4-13） MP、FNP、FQP实际荷载引起的内力； 、 、 虚设单位荷载引起的内力。 MNFQF将（i）式代入式(4-8) 得平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式:关于内力的正负号规定如下： 轴力FN 以拉力为正； 剪力FQ 以使微段顺时针转动者为正；弯矩 MP 、 只规定乘积 的正负号。当 与MP使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。 MMPMM二、各类结构的位移公式二、各类结构

26、的位移公式1、梁和刚架、梁和刚架在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为 sEIMMdP（4-14） 2、桁架、桁架在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积 A 、轴力FN和FN沿杆长一般都是常数，因此，位移公式可简化为: EAlFFsEAFFNPNNPNd（4-15） 3、组合结构、组合结构在组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆只受轴力，因此位移公式可简化为sEAFFsEIMMddNPNP（4-16）4、拱、拱 计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱

27、（f / l1/5）中的水平位移时，则还需要考虑轴向变形的影响，即有 sEAFFsEIMMddNPNP（4-17） 而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构，剪切变形的影响则需一并考虑。本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式，不仅适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。三、单位荷载法的计算步骤三、单位荷载法的计算步骤（1）列出在实际荷载作用下的）列出在实际荷载作用下的MP的表达式（或作的表达式（或作出荷载弯矩图出荷载弯矩图MP图）；图）； （2）施加相应的单位荷载，列出）施加相应的单位荷载，列出 的表达式（或作的表达式（或作出单位弯矩图出单位弯矩图 图）；图）； MM（3）计算位移值：将）计算位移值

28、：将 和和 MP代入公式（代入公式（4-13），），求出拟求的位移求出拟求的位移 。注意：须在计算所得的位移值后，加圆括号，注明位注意：须在计算所得的位移值后，加圆括号，注明位移的实际方向移的实际方向 M例4-1 试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面C的竖向位移CV。已知EI=常数。 解：(1)列出在实际荷载作用下的MP的表达式：建立x坐标，如右图所示：当0 xl时，有：)(22PxlxqMABCKqlxql/2ql/2ql2/8ABCKMP图)(22PxlxqM(2)施加单位荷载，并列写在虚加单位荷载作用下的 M 表达式根据拟求CV，在点C加一竖向单位荷载，作为虚拟力状态，如右图所示。当0

29、 xl/2时，有： 2xM AABBCCKKxl/2l/42xM 1/21/21M图图)(3845d)(2d)(2212d24203220220PVEIqlxxlxEIqxxlxqxEIxEIMMlllC计算结果为正，说明点C竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同，即向下。 (3)计算位移值：梁只考虑弯矩引起的位移，故代入式（4-4）得：例例4-2 试求图示简支曲梁点试求图示简支曲梁点A的水平位移的水平位移 AH。已知。已知EI=常数。常数。 解：(1)列写在实际荷载作用下的MP的表达式 当0 xa时， xFlalMPP当axl时， )(PPxlFlaM)(42xlxlfyAABBflal-a

30、CDxyFPFPDK1K2xxl-x(0 xa) (axl)xFlalMPP)(PPxlFlaMPFlaPFlal (2)列写在虚设单位荷载作用下的的表达式当当0 xl时，时，)(42xlxlfyM(3)计算位移值)()(3d)()(41d)(41d222PP20P20PHalaallEIlafFxxlFlaxlxlfEIxxFll-axlxlfEIxEIMMlaalAABxyyM11例4-3 试求图示桁架B点的竖向位移B。设各杆的刚度EA均相同。PPP4m3=12m3mAEBF5P8PP=15/34/3000000000013P解：作图示的轴力图。B154280P(3P 1 35P58P4)

31、EA333EA 解：(1)计算在实际荷载作用下各杆的轴力FNP (2)在点A加水平单位荷载，求各杆的轴力 1NF(3)在点A加竖向单位荷载，求各杆的轴力 2NF例例4-4 试求图示桁架结点试求图示桁架结点A的水平位移的水平位移 AH及垂直位移及垂直位移 AV。 AFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-1(4)计算位移值 )()() 1(1PPNPN1HEAaFaFEAEAlFFA)()221 ()() 1(2221PPPNPN2VEAaFaFaFEAEAlFFAAFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-14.5图乘法图乘法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常利用下式计算sEIM

32、MdP一、简化的条件（适用条件）一、简化的条件（适用条件）（1）杆件(或杆段)的轴线为直线； （2）杆件(或杆段)的EI为常数；（3）杆件(或杆段)的 M 图和 MP 图中至少有一个为直线图形。(4-19)(a)二、简化方法二、简化方法AxEIAxEIxMMEIsEIMMddddPPtan)(tan(11式中：dA=MPdx为MP图中微段dx对应的阴影部分的微分面积；而 即为整个MP图的面积对y轴的静矩；用x0表示MP的形心至 y 轴的距离，则有 Axd0dAxAx(b) 图图xyOxx0y0dxAABBC形心形心面积面积AdA=MPdxMP图图MPMMaxxMMtan)(y0 =x0tan

33、将式（b）代入式（a），则有 ：EIAyEIxAxAEIsEIMM000)tan()(tan dP式中，y0=x0tana是MP图的形心C处所对应的M 图中的竖标。可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积A乘以其形心C处所对应的另一直线弯矩图上的竖标 y0，再除以EI。 这种以图形互乘代替积分运算的位移计算方法，称为图乘法。 (4-21) 图xyOxx0y0dxAABBC形心面积AMP图My0 =x0tan如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为 :EIAysEIMM0dP(4-21)例题：试求集中荷载P作用下跨中点C的挠度（EI为常数）。ABCl/2Pl/2AABBCCKKxl/2l/

34、42xM 1/21/21M图AABBCCKKxl/2Pl/42xPMPP/2P/2PPM图解法一：用积分法。解法一：用积分法。（1）求实际荷载下的弯矩 MP 随 x的关系式：（2）在所求的位移上加相应单位荷载， 并求弯矩 M随 x的关系式：（3）代入积分公式（4-19）求位移。)(4832)(202222EIPldxEIdxEIlxlPxlPxxCll VMP =)22lxxP (0 )22)(lxlxlP( M =)22lxx (0 )22lxlxl( 解法二：用图乘法。解法二：用图乘法。（1）作实际荷载下的弯矩图 MP 图；（2）根据所求的位移施加相应的单位荷载， 并作单位弯矩图 M 图；

35、（3）用图乘法公式（4-21）求位移：)(48)432()4221(2)(130220110EIPllPllEIyAyAEIEIAyCVAABBCCC1l/2l/41/21/21M图y01y02C2AABBCCKC1l/2Pl/4P/2P/2PPM图A1A2C2三、应用图乘法的计算步骤三、应用图乘法的计算步骤（1）作出实际荷载作用下的弯矩图）作出实际荷载作用下的弯矩图MP图；图；（2）根据所求的位移施加相应的单位荷载，并作出单）根据所求的位移施加相应的单位荷载，并作出单位位 弯矩图弯矩图 M 图；图； （3）检查是否符合图乘法适用条件，当符合条件时用图）检查是否符合图乘法适用条件，当符合条件时

36、用图 乘法公式（乘法公式（4-21）求位移。）求位移。EIAysEIMM0dP四、应用图乘法的注意事项四、应用图乘法的注意事项（1）纵坐标y0 只能取自直线图形，而面积A 应取自另一图形。（2）当 A与y0 在弯矩图的基线同侧时，其乘积值取正号； 在不同侧时，应取负号。 （3）需要记住几种常见简单图形的面积与形心位置（下页图） 须注意的是：图中所示抛物线M图均为标准抛物线，即M 图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点: 曲线顶点处 的切线与基线平行，该处剪力为零。 lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/5

37、4l/5l/5顶点顶点顶点顶点顶点顶点二次半抛物线二次半抛物线三次抛物线三次抛物线A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1 =2hl/3A2 =hl/3A1 =3hl/4A2 =hl/4直角三角形直角三角形一般三角形一般三角形二次全抛物线二次全抛物线（4）如果MP与M均为直线，则y0可取自其中任一图形。（5）如果M是折线图形，而MP为非直线图形，则应分段图乘， 然后各段相加。 )(10220110yAyAEIEIAyA1A2y01y02MP图M图（6）如果杆件为阶形杆（EI分段为常数），则应按各个EI段分 段图乘，然后各段相加，如图所示。 202210110EIyAEIyAE

38、IAyMMP图A1A2y01y02EI1EI2图（7）如果）如果MP图为复杂的组合图形图为复杂的组合图形（由不同类型荷载按区段（由不同类型荷载按区段叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法的逆运算，将加法的逆运算，将MP图分解（还原）为每一种荷载作用下的图分解（还原）为每一种荷载作用下的几个简单图形，分别进行图形互乘，然后相加。几个简单图形，分别进行图形互乘，然后相加。)(10220110yAyAEIEIAydcydcyblAalA3231,313221,21020121其中其中 梯形的分解：梯形的分解： MA1A2y01y0

39、2MP图图图图abcdl当当MP或或M图的竖标图的竖标a、b或或c、d不在基线同侧时不在基线同侧时，如下图所，如下图所示，处理原则仍和上面一样，可将示，处理原则仍和上面一样，可将MP分解为位于基线两侧分解为位于基线两侧的两个三角形（其中的两个三角形（其中A1在上侧，在上侧，A2在下侧），按上述方法，在下侧），按上述方法，分别图乘，然后叠加。分别图乘，然后叠加。 MMP图图A1A2y01y02abcdl图图cdydcyblAalA3132,313221,21020121)(10220110yAyAEIEIAy（8）抛物线非标准图形的分解 =+MAMBqa2/8MAMBdxqa2/8ABMAMBa

40、qABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+例4-4试求图4-15（a）所示悬臂梁中点C的挠度。已知EI=常数。解：在c点加一竖向的单位力EIqllqllEIlqllqlEIlC384172213222321)2800222(62/422作相应的弯矩图，用图乘法例4-5试求图4-16（a）所示简支梁C点的挠度。已知EI=常数。解：在c点加竖向单位力EIqllqlllqlllqlllqllEIC97211)922118323292329322192217233292329321(142222例4-6图4-17（a）为一简支梁在荷载作用下的图，已知EI=常数，试求截面B

41、的转角。解：将杆件分为AC和CB两段，分别进行图乘计算。EIlMMlMlEIB6)652213121221(1000例4-6图4-17（a）为一简支梁在荷载作用下的图，已知EI=常数，试求截面B的转角。解：或者，利用式（e）计算。EIlMMMEIloB6)01120(600例4-7试求图4-18（a）所示刚架D点的竖向位移，并绘制刚架的变形曲线。各杆EI相等。解：在d点加单位水平力EIFlFlllFlllEID8)22423(13解：绘制刚架变形曲线时，可先根据图判断杆件弯曲后的凹凸性。AE段右侧受拉，应向右凸；EB段左侧受拉，应向左凸；同理，BC段向上凸，CD段向右凸。在弯矩为零的E点应有一

42、反弯点。然后，根据支座处的位移边界条件和结点处的位移连续条件，即可确定变形曲线的位置。A处为固定约束，线位移和角位移均为零。B、C为刚结点，在刚结点处各杆端的夹角应始终保持不变，仍为直角。最后，根据求出的D点竖向位移向上，考虑到忽略各杆的轴向变形，便可绘制出刚架变形曲线的形状，见图4-18（d）中虚线。例 试求图示悬臂梁端截面B的挠度BV。已知EI=常数。ABCl/2l/2lqql)(128454EIql解法一解法一lqlllqlllqlllqllEIyAyAyAyAEIC43)32232(65)85221(43)22(3)2221(1)(1222044033022011V(1)作MP图，并按

43、A1、A2、A3、A4 四部分划分，如图所示 ;(2)作M图(3)利用公式进行图乘MAAABBBCCCl/2l/2lqqlA1A2A3A422ql892ql)32(2qly01y02y03y04lMP 图图图图1解法二解法二)(1284587)8231(32)21(1)(1422022011VEIqllqlllqllEIyAyAEIC（1）作MP图，并按A1、A2两 部分划分，如图所示。（2）作M图（3）图乘计算结果与前法完全相同，但因对MP图分块恰当，使计算更简便。 MMP图图AABBCA1A2y01y021l82qlql2例求图示刚架铰例求图示刚架铰C左右两侧截面的相对转角左右两侧截面的相

44、对转角 。 EI=常数。常数。 21CC解：解：EIlFllFllFEIyAyAyAyAEICC2471)2421(232)421(2112PPP04403302201121 横梁二立柱ABCDEC1C2FPlll/2l/2FPl/4FPl/4MP图图A1A2A3A4M111y01y02y03y04图图15m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020AHEI11255056101255023102352541210125252310 12101010131012102010231031875 .EI1594102.m例

45、例.求求A点水平位移。点水平位移。2022-3-18744.6静定结构由于温度变化引起的位移计算静定结构由于温度变化引起的位移计算一、关于温度变化的假定一、关于温度变化的假定1.温度沿杆件长度均匀分布； 2.温度沿截面高度按直线变化。 二、静定结构温度变形的特征二、静定结构温度变形的特征 静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），温变（替代前面章节中由荷载引起的微元体上的内力）成为引起结构杆件微元体变形的原因； 温度引起的变形作为实际位移状态，虚设单位力及其引起的内力作为虚平衡力系。虚力原理同样成立，同样可采用单位荷载法。uFMddN（4-25） 由于上述第一点假设：温度沿

46、杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段dv=0）；同时注意到实际状态的支座位移为零c=0（因此，位移公式可进一步简化为 式中，d 和du为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只要能求出d 和du的表达式，即可利用（4-25）求得结构的位移。三、关于三、关于d du u 的计算表达式的计算表达式截取一微段ds ,截面变形之后仍保持为平面。其上侧、下侧形心轴处纤维伸长分别为：du1 = at1dsABCABCdsdsB1C1 CVt1t1t2t2t1t2dsd ,du1duh h1 h2 t1ds t2ds t0dsd 形心轴形心轴NFM,du2 = at2d

47、sdu = at0ds式中，a为材料的线膨胀系数。按几何关系可得中性轴温度的变化为:)d()d( )dd()d()d()dd(dd21121211012110sthsthststhsthsthststhhstst化简得：故得:hththt21120ABCABCdsdsB1C1 CVt1t1t2t2t1t2dsd ,du1duh h1 h2 t1ds t2ds t0dsd 形心轴形心轴NFM,当截面对称于形心轴，即 时，则 221hhh2210ttt于是，温度变化引起的微段轴向变形:studd0（4-26） ABCABCdsdsB1C1 CVt1t1t2t2t1t2dsd ,du1duh h1

48、h2 t1ds t2ds t0dsd 形心轴形心轴NFM,四、关于四、关于d 的计算表达式的计算表达式hstthststd)(ddd1212若将上下边缘温差记为:12tttt1t2dsduh h1 h2 t1ds t2ds t0dsd 形心轴形心轴则温度引起的微段弯曲变形可表达为:hstdd（4-27） 五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式将式（4-26）和式（4-27）代入式（4-25），即得： sFshtMdtd10N若t0、t和h沿各自杆件全长为常量，则：)dt()d(N0sFsMht即即N0tFMAAht（4-29） 式中式中 : ，为，

49、为 图的面积；图的面积； ，为，为 图的面积。图的面积。sMAMdMsFAFdNNNF对于梁和刚架，对于梁和刚架，在计算温度变化在计算温度变化引起的位移时，引起的位移时，轴向变形的影响轴向变形的影响一般不容忽视。一般不容忽视。 六、关于符号的规定六、关于符号的规定当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正，即其乘积为正（或：温变、单位荷载在杆件同侧纤维上引起的变形一致时，其乘积为正），反之则为负。据此：如t取绝对值，当M 图位于高温一侧时，第一项乘积为正；如 t0 以升高为正，当 F 为拉力时为正，则第二项乘积为正。 N0tFMAAhtlllllAtAhtNFMEt240)421()30

50、()42121(1 . 0300SSllllllAtAhtNFMEt840)21()30() 122121(1 . 0300SS6.6静定结构由于支座移动引起的位移计算静定结构由于支座移动引起的位移计算 静定结构当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生 微段变形，而只发生刚体位移。这时，平面杆系结构位移计算的一般公式（4-7）可简化为：cFR（4-31） 位移计算的一般公式为： cFvFuFMRQNddd（4-7 )（式中FR、 M ，FN ，FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力）式中: 为虚拟状态中由单位荷载引起的与支座位移相应的支座反力； c为实际状态中与 FR 相应的已知的支座位移；

51、S为反力虚功总和，当FR与c方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。须注意，式（4-31）前面的负号，是原来推导公式（4-7）移项时所得，不可漏掉。 cFR（4-31） RF例例4-10 4-10 图示三铰刚架图示三铰刚架A A支座往下位移了支座往下位移了b b，B B支座往右移动了支座往右移动了a a，求，求C C点的竖向位移点的竖向位移 和和C C点的相对转角点的相对转角 。 CVC解：（解：（1 1）求）求C C点的竖向位移点的竖向位移 CV真实位移状态真实位移状态 abL/2L/2LABC在在C C点作用一个竖向单位力，点作用一个竖向单位力，求出求出 和和 。 YAFXBF虚设力状态虚设

52、力状态 ABC1YAFXBF12YAF14XBF11()2424CVbaba （ ）支座移动引起的位移计算公式：支座移动引起的位移计算公式： RiiFC S2022-3-1889真实位移状态真实位移状态 abL/2L/2LABCABC1虚设力状态虚设力状态 YAFXBF1XBFL（）1()CaaLL 0YAF（2 2）求）求C C点的相对转角点的相对转角 C在在C C点作用一对单位力偶，点作用一对单位力偶，求出求出 和和 。 YAFXBF支座移动引起的位移计算公式：支座移动引起的位移计算公式： RiiFC S结果为正则位移与虚设力方向一致；结果为正则位移与虚设力方向一致； 结果为负则位移与虚设力方向相反。结果为负则位移与虚设力方向相反。 2022-3-1890例例4-11：图示桁架，已知：图示桁架，已知n nB = C，试求杆，试求杆 BC的角位移的角位移 BC。 ACECldACE解：把单位力偶换算成组成力偶的两个力 F=1/d， 分别作用在结点 E、C上，并与 CE垂直。1/d1/dFAy=1lFCy=1l