随机过程在金融中的应用9基础资产价格的变动-随机积分

1、 第九章第九章 基础资产价格的变动基础资产价格的变动 -随机微分方程 第一节第一节 引引 言言 第二节第二节 随机微分方程的求解随机微分方程的求解 第三节第三节 随机微分方程的主要形式随机微分方程的主要形式 第四节第四节 股票价格对数正态分布的特性股票价格对数正态分布的特性 第一节第一节 引引 言言随机微分方程ttttdWtSdttSadS),(),(即将随机价格的变动分解为可预测和不可预测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。 对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信息集，那么随机微分方程的含义不同。如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”，可事先获知影响价格变动的所有随机事件，则在这种（非现

2、实）情况下上式中的扩展项等于零。随机微分方程的具体形式以及误差项 的定义都要依赖于信息集即维纳过程 与信息集 相对应。 原因参与者知道 将如何变化，他就能完全预测这一变量，即对任一时刻而言都有因此这类参与者的随机微分方程可写作tdSdttSadStt),(而其他参与者的随机微分方程则是不变。表明tI，, 0 Tt0tdWtdWtdWtI随机微分方程可用于对衍生金融资产定价的原因对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动，此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导过程与金融市场中的交易者行为是一致的。实际上：在一个给定的交易日中，随着时间的推移，交易者总是不断地预测资产的价格并随时记录新事件的发生。

3、这些事件中总会包含一些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分也会被观测，此时这些事件均已成为已知事件，并变为交易者拥有的新信息集的一部分。随机微分方程模型一般条件即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发生太大幅度地变动。1)| ),(|(0duuSaPtu1),(20duuSPtu第二节第二节 随机微分方程的求解随机微分方程的求解随机微分方程所含未知数是一个随机过程 ，因而求其解就是要找寻一个随机过程，使其运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的轨迹相关联。tS一、解的含义一、解的含义观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差若此方程的解是一个随机过程 ，则意味着1、如何找到一系列用来标识的随机变

4、量，以满足上式中的增量tSkkkkkWkShkSaSS),(),(111nk2 , 1kS2、能否知道满足方程的随机过程 的时态函数和分布函数。tS3、对任一给定的 和 ，能否找到一系列的随机数对于所有的而言都满足上面的等式。)(a)(首先再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解其次如果连续的时间过程 ，tS满足下列方程则定义 是随机微分方程 的解。对于所有的0tutututudWuSduuSadS),(),(000ttttdWtSdttSadS),(),(tS则随机过程 ：二、解的类型二、解的类型1强解强解已知主参数 ，扩展参数 以及随机变动项称为随机微分方程 的强解。utututdWuSduu

5、SaSS),(),(000ttttdWtSdttSadS),(),(tStdW强解与一般微分方程的解是相似的注)(a)(2弱解弱解其中 是一维纳过程.求得过程已知主参数 ，扩展参数)(a)(st),(ttWtfS tW使其满足下面随机微分方程utututudWuSduuSadS),(),(000则称 是随机微分方程的弱解。st 与 的区别相同点tdWtWd都是均值为0，方差等于 的维纳过程；密度函数的表达式相同。dt从这个意义上来讲，这两个随机误差项之间不存在什么区别。不同点限定二者的一系列信息集不同。 虽然基本的密度函数是相同的，但如果被不同的信息集来衡量，那实际上这两个随机过程代表了现实生

6、活中根本不同的两种现象。说明1其中的扩展项包含外生变量 ，它表示影响价格进行完全不可预测变动的极其微小的事件。这一系列小事件形成的“历史”就是时刻的信息集 。计算强解是在给定 时，求满足方程的值 ，ttttdWtSdttSadS),(),(tdWtItdWtS也就是说为得到强解，需要知道集合 ，强解 与 是相互对应的。tItStI计算弱解 时不需要考虑生成信息集 的过程，但需考虑与过程 的相关联。又过程 可生成另外的信息集 ， 且它是 的鞅。sttItWdtWdtHtHttttWdtSdttSaSd),(),(说明2因此，弱解需要满足强解和弱解具有相同的主项和扩展项，因此 和 具有相似的统计特

7、性。给定均值和方差，两解虽然有所不同，但我们并不能把二者区别开来。若误差项 已知，则金融分析家会选择强解。tdWtSst三、解的选择三、解的选择但是在运用解随机微分方程的办法来对衍生金融产品进行定价时，并不能准确获悉过程 的实际情况，我们能够运用的只有其波动率和波动趋势，因而，在这种情况下给衍生产品定价，应运用弱解。tW四、随机微分方程解的证明四、随机微分方程解的证明看一个特殊的随机微分方程： 即在对看涨期权定价之中运用的布莱克休斯模型。ttttdWSdtSdS变形tttdWdtdSS1首先计算tuttuudWdudSS0001由于ttdu0普通积分而)(00WWdWttu虽含有一个随机项，但

8、 的系数是一个不随时间而改变的常数。ttuuWtdSS01tdW因00W故即随机微分方程的任何解都必须满足这一积分方程 下面用伊藤定理来解决这一方程。考察备选项：tWtateSS)21(02用伊藤定理来计算随机微分即21)21(22)21(02dtdWdtaeSdStWtatttdS)(tttdWadtSdS若a则这正是给定的随机微分方程。因此，求得随机微分方程的强解为：tWtteSS)21(02要求随机微分方程的强解，应考虑备选解法，即找出依赖于参数的函数，如然后运用伊藤定理来检验这一备选项是否满足随机微分方程或相应的积分方程。注),(0ttWStafS五、资产现值的应用五、资产现值的应用假

9、设 是某资产的价格，其价值的增加带有不确定性，即tSttttdWSdtrSdS), 0t则此随机微分方程强解的备选答案是tWtrteSS)21(02且最有效的预测值是条件期望：现在假设sT是将来tT 时刻的资产价格，对于时刻来说，sT是未知的，但可以预测的|tTTtISESE则资产的现价 为：)(TttTrtSEeS即现值等于时刻的预期价值用折现率来进行折现。st要证明结论成立，需先计算TtSE由于TtSE故求 的方法：（两种）TWTrTeSS)21(02)21(02TWtTreEeSTWteE（1）TtTWWtdWWWfeeETT)|(其中)|(tTWWf表示维纳过程的条件密度函数且条件均值

10、为wt，方差为tT 利用维纳过程的密度函数直接求。（很难）（2） 利用伊藤定理间接来求。（简单）首先，令tWtez其次，用伊藤定理dtedWedzttWtWt221再次，考虑相应的积分方程tWtsWtdsedWezzss020021最后，两边求均值210200tWtsWtdseEdWeEzEzEss而10zE00tsWdWeEs故tstdszEzE02211若记ttxzE则有tstdsxx02211所以ttxdtdx221且10 x故得ttex221即ttezE221从而TtSE)21(02TtTrzEeS即TtSE|2221)21(0tTTrIeEeS)(tTrteS)(tTrteS所以tS

11、)(TttTrSEe)(21)21(022tTWTreeeSt|)(2121)21(0222ttTtTrIeeEeS|)(2121)21(0222ttTtTrIeEeeS|)(21)21(022ttTtTrIeEzEeS特别00TrTSEeS即当时间t = 0时，资产价格等于预期将来的价格用折现率r来进行折现。第三节第三节 随机微分方程的主要形式随机微分方程的主要形式本节介绍几种特殊的随机微分方程，并说明它们是代表何种资产的价格以及是如何运用的。一、常系数线性随机微分方程形式为：ttdWdtdS其中 是变量t的标准维纳过程tW随机微分方程中，主系数及扩展系数不随时间的变动而变化，即与信息集是不

12、相关的。方差适用条件在短暂的时间间隔h中，价格变动的均值hSEtthSVart2（1）资产价格比较稳定；（2）价格变化趋势是线性的；（3）波动项不是无限大；（4）资产价格不存在一种规律的“跳跃性”。常系数的随机微分方程描述的是资产价格围绕线性趋势进行的一种波动。二、几何随机微分方程二、几何随机微分方程布莱克和休斯模型形式为：即主参数和扩展参数都依赖于时刻t 所掌握的信息，且趋势变动和标准变动与 是成正比的。ttttdWSdtSdStS变形tttdWdtSdS即说明主项与扩展项对于 的相对变动仍是一个不变的常数。tS几何模型描述的是资产价格价格在一种指数趋势上的随机波动。对大多数资产价格来说，这

13、种指数趋势似乎更符合实际。三、平方根过程三、平方根过程形式为： 遵循指数变动趋势，但标准差则是 的平方根的函数。tSttttdWSdtSdStS方差2121)(kkkSSSVar即方差与 成正比的。在实际情况中，这会增大了相对于 的变动。2tStS误差项的方差与 是成比例的。因此，若 随的增大，资产价格的变动率不是迅速增加，运用此模型更为合适。方差121)(kkkSSSVartStS四、均值调整过程四、均值调整过程形式为：ttttdWSdtSdS)(若 比均值 小，则 ，这就使得 倾向于为正数，故 最终回复到均值 。tS说明ttttdWSdtSdS)(0tStdStS均值调整过程有一变动主趋势

14、，但此趋势的偏差不是完全随机的。过程 可与长期趋势发生较小的偏离，但最终会回复到正常趋势，这种偏离的平均度是由参数 来控制的，但参数变小时，偏离的时间会变长。这时资产的价格会显示出一些可预见的周期性，使得模型与市场的有效性假设相违背。tS0五、奥伦斯坦五、奥伦斯坦乌伦贝克过程乌伦贝克过程形式为：tttdWdtSdS其中主项与 负相关，系数为 ；扩展项属于常参数类型。属于均值调整随机微分方程的一个特例。tS说明这个模型表示资产价格在0附近波动，并且其偏离最终会回到长期的0均值状态，参数 控制这种偏离的时间， 越大， 回复均值的速度越快。tS六、随机波动率六、随机波动率随机微分方程的主参数和扩展参

15、数可通过随机性获得，这对于衍生金融产品而言，更具有应用价值。因为波动率不仅随时间的变动而变动，而且在给定的价格 下波动也是随机的。如设资产价格 的随机微分方程：tStStttdWdtdS1 的变动遵循随机微分方程：tttttdWdtd2)(其中维纳过程 ， 是相关的tdW1tdW2资产波动率的长期均值为 ，但在任一时刻t，实际的波动率可能会偏离这一长期均值，调整系数为 则市场参与者可以根据这些因素，更好地计算预期的资产价格及预期的价格波动率。运用这种渐进的随机微分方程，我们可获得愈来愈复杂的模型以反映现实生活中的金融现象。增量 对变动率有不可预测的冲击，它与对资产价格 的冲击是不相关的。tdW

16、2tS0也是一个参数 下面应用伊托定理来推导 变化所遵循的随机过程。第四节 股票价格对数正态分布的特性 如果股票价格S遵循几何布朗运动，即定义Sln由于SSG1SGln2221SSG0tG所以有伊托公式可得，函数G 所遵循的过程为dWdtdG)2(2SdWSdtdS由于 和 是常数，所以上式表明G遵循的是推广的维纳过程。它具有常数漂移率 和常数方差率 。从而表明，从时间t到T期间， 的变化呈正态分布特征，其均值为222Sln)(2(2tT 方差为)(2tT 若令S表示现在时间t的股票价格， 表示在未来某时T的股票价格，则在时间区间 中 的变化就是TStT SlnSSTlnln即有),)(2(2

17、tTtT其中 表示均值为m，标准差为n的正态分布。),(nmSSTlnln根据正态分布的特征，则下式也成立：),)(2(ln2tTtTSTSln这表明 服从正态分布，其标准差与 成比例，也就是说股票价格对数变化的不确定性是以标准差来估算的，且与估算的时间长短的平方根成比例。TSlntT 例6设有某种股票，其初始价格为40美元，年预期收益率为16%，年波动性为20%。六个月后，该股票价格的概率分布是什么？计算该分布的均值和标准差（95%的置信区间）。解在六个月后，股票价格 的随机分布服从对数正态分布，即有TS5 . 02 . 0 , 5 . 0)2/04. 016. 0(40lnTSln故TSln)141. 0 ,759. 3( 由于一个正态变量，位于均值的标准差为1.96范围以内的概率为95%，所以 的置信区间为TSln141. 096. 1759. 3ln141. 09