第二章 第2节

1、§2三角形中的几何计算学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明知识点一平面图形中的计算问题思考问题：在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长拿到该问题之后，到确定解决方案之前，你通常要做哪些工作？答案画出图形 ；理清已知条件，要求的目标；根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件梳理对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算知识点二平面图形中的最值问题思

2、考问题：直线x2y2k0与直线2x3yk0的交点在圆x2y29上或圆的内部，如何求k的最大值？答案先求出两直线交点坐标(4k，3k)，再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(4k)2(3k)29，从中求得k的最大值为.梳理类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值1三角形中的几何计算通常都转化为解一个或几个三角形的问题()2平面图形中的最值问题若能转化为Asin(x)B的形式，且最大值一定是AB.(×)类型一四边形有关的几何图形计算问题例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，

3、AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，求BC的长考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题解在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22AD·BD·cosADB，设BDx，则有142102x22×10xcos 60°，x210x960，x116，x26(舍去)，BD16.在BCD中，由正弦定理知，BC·sin 30°8.反思与感悟解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解跟踪训练1如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90°

4、，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题解(1)BCD90°60°150°，CBACCD，CBE15°，cosCBEcos(45°30°).(2)在ABE中，AB2，由正弦定理可得，得AE.类型二三角形有关的几何图形计算问题例2在ABC中，已知AB，cosABC，AC边上的中线BD，求sin A的值考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题解如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DEAB，且DEAB.cosABC，cosBED.设BEx，在

5、BDE中，利用余弦定理，可得BD2BE2ED22BE·ED·cosBED，即5x22××x.解得x1或x(舍去)，故BC2.在ABC中，利用余弦定理，可得AC2AB2BC22AB·BC·cosABC，即AC.又sinABC，sin A.反思与感悟三角形有关的几何图形计算问题在筹备解三角形所需条件时，通常要利用平面几何的相关结论，如中位线、角平分线、高线、相似、平行等跟踪训练2如图所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B，求BC边上的高AD的长考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题解在ABC中，由已知设

6、AB7x，AC8x，x>0，由正弦定理，得，sin C×.又0°<C<180°，C60°或120°.若C120°，由8x>7x，知B也为钝角，不合题意，故C120°.C60°.由余弦定理，得(7x)2(8x) 21522×8x×15cos 60°，x28x150，解得x3或x5.AB21或AB35.在RtADB中，ADABsin BAB，AD12或20.类型三边长、面积的最值问题例3已知ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(

7、sin2Asin2C)(ab)·sin B，求ABC面积的最大值考点面积与周长的最值或取值范围问题题点面积的最值或取值范围解由正弦定理得a2c2(ab)b，即a2b2c2ab.由余弦定理得cos C，C(0，)，C.Sabsin C×2Rsin A·2Rsin B·R2sin Asin BR2sin AsinR2sin AR2(sin Acos Asin2A)R2R2A，2A，sin，S，面积S的最大值为R2.反思与感悟求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积

8、的最值跟踪训练3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c，设S为ABC的面积，满足S(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求ab的最大值考点面积与周长的最值或取值范围问题题点面积与周长问题的综合解(1)由题意可知absin C×2abcos C，所以tan C，因为0<C<，所以C.(2)由(1)知2R2.所以ab2Rsin A2Rsin B2(sin Asin B)2222sin2，当A，即ABC为等边三角形时取等号所以ab的最大值为2.1在ABC中，B，BC边上的高为BC，则sin A等于()A. B. C. D.考点几何图形中的计算问题题点三角形有关

9、的几何图形计算问题答案D解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意知B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以sin A.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45°，SABC2，则ABC的外接圆直径为()A4 B60 C5 D6考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案C解析SABCac·sin Bc·sin 45°c2，c4，b2a2c22accos 45°25，b5，ABC的外接圆直径为5.3设A是ABC中最小的内角，则sin Acos A的取值范围是()A(，)

10、B， C(1，) D(1， 考点面积与周长的最值或取值范围问题题点面积与周长问题综合答案D解析sin Acos Asin.A为ABC中最小的内角，A，A，sin，sin Acos A(1， 4在ABC中，已知B，D是BC边上一点，AD10，AC14，DC6，则AB的长为_考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案5解析在ADC中，AD10，AC14，DC6，cosADC.又ADC(0，)，ADC，ADB.在ABD中，由正弦定理得，AB5.5已知ABBD，ACCD，AC1，AB2，BAC120°，求BD的长考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题解如图

11、，连接BC，BC，在ABC，由正弦定理知，sin ACB.又ACD90°，cosBCD，sin BCD，由ABBD，ACCD，BAC120°，得BDC60°.由正弦定理，得BD.1解决几何图形中的计算问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形，使问题获解2三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等问题，用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识3解三角形时，角的取值范围至关重要，角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错一、选择题1ABC的

12、两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为()A. B. C. D9考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案B解析设另一条边的边长为x，则x222322×2×3×，x29，x3.设cos ，则sin ，2R.2在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于()A. B.C. D.考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案B解析设BCa，则BMCM.在ABM中，AB2BM2AM22BM·AMcosAMB，即72422××4·cosAMB.在ACM中，AC2AM

13、 2CM 22AM·CM·cosAMC即62422×4×·cosAMB.得72624242，a.3如图，在四边形ABCD中，BC120°，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A. B5C6 D7考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题答案B解析连接BD，四边形面积可分为ABD与BCD两部分的和，由余弦定理得BD2，SBCDBC·CDsin 120°，ABD120°30°90°，SABDAB·BD4，S四边形ABCD45.4在平行四边形中，AC，BD，周

14、长为18，则平行四边形的面积是()A16 B17.5C18 D18.53考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题答案A解析设两邻边ADb，ABa，BAD，则ab9，a2b22abcos 17，a2b22abcos(180°)65.解得a5，b4，cos 或a4，b5，cos ，故sin ，SABCDabsin 16.5在ABC中，A105°，B30°，a，则B的角平分线的长是()A. B2 C1 D.考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案C解析设B的角平分线的长为BD.易知ACB180°105°30

15、6;45°，BDC180°15°45°120°.在CBD中，有，可得BD1.6在ABC中，B60°，C45°，BC8，D是BC上的一点，且，则AD的长为()A4(1) B4(1)C4(3) D4(3)考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案C解析，BC8，BD4(1)又，AB×BC×88(1)在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22AB·BD·cos B8(1)24(1)22×8(1)×4(1)×cos 60°48(1)2

16、，AD4(3)二、填空题7如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB 45°，则圆O的面积为_考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案8解析2R4，R2，SR28.8若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是_考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题答案4解析较长的对角线长为4.9在ABC中，已知A60°，ABAC85，面积为10，则其周长为_考点面积与周长的最值或取值范围问题题点面积与周长问题综合答案20解析设AB8k，AC5k，k>0，则SAB·AC&

17、#183;sin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos A82522×8×5×49，BC7，周长为ABBCCA20.10已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为_考点面积与周长的最值或取值范围问题题点面积与周长问题的综合答案解析不妨设a6，bc12，由余弦定理得cos A，sin A.由(abc)rbcsin A，得r.S内切圆r2.三、解答题11在ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：.考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题证明如图所示，

18、在ABD中，利用正弦定理，可得.在CBD中，利用正弦定理，可得.BD是B的平分线，ABDCBD，又ADBCDB180°，sinADBsinCDB，得，即成立12已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD的面积考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题解如图，连接BD，则四边形面积SSABDSCBDAB·AD·sin ABC·CD·sin C.AC180°，sin Asin C.S(AB·ADBC·CD)·sin A16sin A.在ABD中，由余弦定理得

19、BD222422×2×4cos A2016cos A，在CDB中，BD242622×4×6cos C5248cos C，2016cos A5248cos C.又cos Ccos A,0°<A<180°，cos A，A120°，四边形ABCD的面积S16sin A8.13若ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且Sc2(ab)2，ab2，求面积S的最大值考点面积与周长的最值或取值范围问题题点面积的最值或取值范围解Sc2(ab)2c2a2b22ab2ab(a2b2c2)，由余弦定理得a2b2c22abcos C，c2(ab)22ab(1cos C)，即S2ab(1cos C)Sabsin C，sin C4(1cos C)又sin2Ccos2C1，17cos2C32cos C150，解得cos C或cos C1(舍去)，sin C，Sabsin Ca(2a)(a1)2.ab2，0<a<2，当a