第八章多元函数微分学

1、释疑解难 多元函数微分学问题1.(1)已知,求. (2)已知，求.【分析】上述两类问题互为反问题.(1) 将的位置用代替即可.(2) 可令,由此解出,于是也可用配方将变为的表达式.问题2 下列说法正确吗?(1)当动点沿着任意一条直线趋向于点时,函数的极限存在且等于A,则存在.答：不能.例如,当动点沿着任意一条直线(为任意常数)趋向于点时,有但当沿抛物线趋向于时,有故不存在.注 根据二重极限的定义,在点的邻域内,动点趋向于的方式是任意的.于是常常用动点取不同的路径趋向于,使其有不同极限的方法来判定函数极限不存在.(2)如果一元函数在处连续,在处连续,那末,二元函数在点处是连续的.答：不正确.因为

2、二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此,当一个变量固定时，二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式（即点沿平行于坐标轴的方式趋于点时）的极限存在,并不能保证以任何方式趋向于的极限存在且等于,就是说不能保证的连续性.例如函数，一元函数在连续,在连续,但在处不连续.事实上, 当动点沿着任意一条直线趋向于点时, 有 随变化所以极限不存在,从而不连续.问题3下列运算是否正确？答： 不正确.因为事实上是不存在的，参考问题2（2）中的函数.问题4 下列运算是否正确? 设求.解 ,对求导,得.答：正确.事实上偏导数就是这样定义的.问题5 下列命题是否正确?(1)若在偏导数存在,则在连续.答

3、：不正确. 例如在处，都存在,但在处不连续(见思考题2 (2)的例).注 对一元函数来说,可导必连续,多元函数不再保持这个结论.(2) 在可微的充分必要条件是在偏导数存在.答：不正确. 对一元函数来说,可微与可导是等价的,但多元函数不同. 偏导数存在是可微的必要条件,而不是充分条件.若在可微,则在偏导数存在,且反之,不然.例如上题中的在处偏导数都存在，但不连续，从而也就不可微.但是，若在偏导数连续,则在可微.反之,不然.例如在处可微，但偏导数在不连续(读者自己证明).问题6有人说偏导数及分别就是函数在处沿轴方向及沿轴方向的方向导数.这种说法对吗？答：上述说法不对.事实上，依方向导数定义，当时，

4、在处而 .由此可见，前者是单侧极限，后者是双侧极限，两者并非完全一样.若存在，则沿方向的方向导数也存在，且两者相等.但反之，若存在，则可能不存在.例如在点处沿方向，而不存在.需特别指出的是：沿轴负向，（这里假设在处的偏导数与方向导数都存在）.类似地，沿方向的方向导数与也不完全一样.问题7 用拉格朗日乘数法求条件极值问题，一般都转化为求解一个多变量的方程组，但解此方程通常会遇到困难，有没有一般的方法？答：用拉格朗日乘法求条件极值，依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的，解法的技巧性较高，需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法.下面举例说明常见的解题技巧.例1 求函数在约束条件下的极值.解 设拉格朗日函数为 令 以下仅就解此方程组的各种方法进行讨论，不具体求出极值方法一注意到前三个方程的第一项是三个变量中两个的乘积，如果各方程乘以相应缺少的那个变量，那么就都成为再消项即（）（）（）得（）把（）代入（），得再把它分别代入（）、（）、（）式便得方法二把（）和（）式改写为因都不等于，两式相除，立即消去及，得到，同理对（）与（）作类似处理，得到，从而再代入（），便得方法三先解出，把（）代入（）式