1990年全国初中数学联赛试题及解答

1、1990 年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有 8 个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论， 其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。111 + 4 3+1+21 - 4 31 +的值是（）3（A）1（B）1（C）2（D）22在ABC中,AD是高,且AD2 = BD·CD，那么BAC的度数是（）（A）小于 90°（B）等于 90°（C）大于 90°（D）不确定3方程7x 2- (k+ 13)x+ k 2- k - 2= 0 (k 是实数)有两个实根、 b ，且 01， 1 b 2，那么 k 的取值范

2、围是（）（A）3k4；（B）2k1；（C）3k4 或2k1（D）无解。4恰有 35 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（）2（A）17（B）18（C）35（D）3625ABC 中，AB = 2，AC =，BC= 2 ，设 P 为 BC 边上任一点，则（）（A） PA2< PB · PC（B） PA2= PB · PC（C） PA2> PB · PC（D） PA2与PB · PC 的大小关系并不确定6若六边形的周长等于 20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（）（A）不存在（B）

3、只有一个（C）有有限个，但不只一个（D）有无穷多个7若log ab 的尾数是零，且log a1 > logbba> log ba 2 ，那么下列四个结论：b（ 1 ） 1 >b> a 2 （ 2 ） logb +logb a= 0 （ 3 ） 0 < a< b < 1（ 4 ）aab - 1 =0 中，正确的结论的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）48如图，点 P ， Q ， R 分别在 ABC 的边上 AB 、 BC 、CA 上，且 BP =PQ = QR = RC= 1 ，那么， ABC 面积的最大值是3（A）二 填空题（B）2（C）（D）3

4、5答（）1- 11.已知 x 2 + x 2= 8 ，则x 2 +x1 = 2. 12 ,22 ,32 ，1234567892的和的个位数的数字是 3方程(x- a)(x- 8) - 1 =0 ，有两个整数根，则a = 4. ABC 中， AB= AC= 2 ， BC 边有 100 个不同的点 P1 ， P2 ， P100 ，记m= AP 2 + BP · PC( i = 1，2，100)则m+ m+ + m= iiii12100第 二 试一、已知在凸五边形 ABCDE 中，BAE = 3，BC=CD=DE，且 BCD = CDE=180°2，求证：BAC=CAD=DAE二

5、、x表示不超过实数 x 的最大整数，令x = x - x（1）找出一个实数 x ，满足x +1 = x 1 （2）证明：满足上述等式的 x ，都不是有理数三、设有2n ´2n 个正方形方格棋盘，在其中任意的3n 个方格中各有一枚棋子。求证：可以选出n 行和n 列，使得3n 枚棋子都在这n 行和n 列中。1988 年全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题1（D）原式=21 -+231 +3= 2 + 2 3- 2+ 2 - 2 3- 2= -22（D）如图，由 AD 2= BD · CD ，有 2 AD2 =2BD · CDBD 2+ CD 2+ 2 AD 2 B

6、D 2+ CD 2+ 2BD · CD(BD 2+ AD 2 ) +( AD 2+ CD 2 ) (BD +CD)2图即AB 2+ AC 2= BD 2 可得BAC90°如图,虽然 AD 2 = BD · CD , D 点在 ABC 外, ABC 90°, BAC 90°图因此 BAC 的度数不确定3.（C）记 f (x)= 7x 2- (k+ 13)x+ k 2- k - 2 f (0) = k 2由 f (1) = k 2- k - 2 > 0 - 2k - 8 < 0 Þ 3 < k< 4 或 - 2 &

7、lt; k< -1 f (2) = k 24.（A）- 3k > 0设这 35 个连续自然数最小的是n 2 ,最大的是(n+ 1)2 - 1，(n +1)2 - n= 35即 2n + 1 =35 ， n= 175.（C）如图,设 BP =x , PC =2 - x ,在 ABP 中,由余弦定理,有PA2= AB 2+ BP 2- 2 AB · BP cos B =8 + x2 - 42x cos B在 ABC 中,由余弦定理,有(2 2)2 + 22 - ( 2)22 2 225 210cos B = =8 28PA2= x 2- 5x + 8而PB PC =x(2 -

8、 x) =2x - x 2令y =PA2- PB PC= x 2- 5x+ 8 - 2x + x 2= 2x 2- 7x + 8 =2(x -7 )24+ 15 > 08 6.（D）PA2> PB PC若能找到 6 个整数a1, a2, , a6 , 使满足（1） a1+ a2+ + a6 =20 ；（2） a1 a2 ， a1+ a2 a3 ， a2+ a3 a4 ； a3+ a4 a5 ， a4+ a5 a4 ；（3） a1+ a2+ a3+ a4+ a5 a6 则以a1, a2, , a6 为边长的六边形，即可符合要求事实上，对任选三整数 1 i j k 6，必有ai任三边不

9、能构成一个三角形+ a j ak ，可见此六边形的现取a1= a2= 1, a3= 2, a4= 3, a5= 5, a6= 8 ，则a1, a2 , a3 , a4 ,a5 , a6 满足全部条件.故这样的六边形至少存在一个.又由n 边形(n4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个.7.(A)由log1 > loga bab得- log ab > 1 log2ab .所以log ab <0得a < 1, b > 1或a > 1, b < 1且logb a < 0 ,b所以结论(3)与结论(2)都是错误的.在结论(1)中,若 1 >bb,

10、 得b < 1.从而a > 1.得< a 2.所以结论(1)也是错误的.这样,只有结论(4)是正确的.b事实上,由loga> logaa 2 ,可得 1 log2ab > 2 logb a =1log a baaa又因为log b < 0, 所以(log b) 2 < 4,即- 2 < log b < 0 .因为log a b 为整数,所以log a b =-1,即b = 1 ,从而ab = 1,结论(4)正确.a8.(B)首先,若以,分别记APR, BPQ, CRQ, PQR ,则S,S,S 均不大于1 ´1´1 =

11、1 .又因为ÐPQR = 180° - (ÐB + ÐC) = ÐA ,22所以易证: h2 h1 ( h1 , h2 分别为QRP, APR 公共边PR上的高,因若作出PQR关于2PR的对称图形PQR，这时Q，A都在以PR为弦的含A的弓形弧上，且因PQ=QR， 所以Q为这弧中点，故可得出h1h2）。1从而S S ，这样S=S +S +S +S 4 ´ 1 = 21 2ABCN最后，当 AB=AC-2，A=90°时，SABC=2 即可以达到最大值 2。二填空题1. 62x1x 2 + 1 =+x1 (x 2 + x x- 1

12、2 )2 - 2 = 62.2. 5因123456789=10×12345678+9，所以所求数字等于（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。即 5×8+5=45 的个位数的数字，故所求数字为 5。3. 8原方程整理为设 x2 - (a + 8)x + 8a -1 = 0x1,x2 为方 程的两个整数根，由 x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8 都是整数。故由原方程知4400作ADBC，如图，则BD=DC。设BD=DC=y，DPi =x,则m = AP2 + BP 

13、15; PCiiiii= AP 2 + ( y - x)(x + y)i= AP 2 - x 2 + y 2= AD 2 + y 2= AC 2 = 4. m1 + m2 + × × × + m100 = 400 .一.证明如图, 连 BD, CE.BC = CD = DE第二试因ÐBCD = ÐCDE = 180° - 2a Þ BCD CDE .Þ ÐCBD = ÐCDB = ÐDCE = ÐDEC = a .ÐBCE = (180° - 2a ) -

14、 a = 180° - 3a又ÐBAE = 3a ,Þ A, B, C, E共圆同理可证A, B, D, E Þ A, B, C, D, E共圆共圆Þ ÐBAC = ÐCAD = ÐDAE = a .二.解法 1设 x = m + a , 1 = n + b (m, n为整数,0 a , b < 1) ,x若x+ 1x=+=1 x + 1 = m + a + +n + b = m + n + 1是整数。x令x + 1 = k (为整数),x即x2 - kx + 1 = 0解得x = 1 (k ±2k

15、 2 - 4 ).当 k = 2时, x = 1易验证它不满足所设等式。当 k 3 时， x = 1 (k ±2k 2 - 4) 是满足等式的全体实数。由于k 2 - 4 不是完全平方数（事实上，若k 2 - 4 = h 2 则k 2 - h 2 = 4 但当 k 3 时，两个平方数之差不小于 5）。所以 x 是无理数，即满足题设等式的 x，都不是有理数。解法 2 （1）取 x = 1 (3 +2（2）用反证法证明之。5) 或 x = 1 (3 -5)2反设满足等式之 x 为有理数。首先，若 x 为整数，则x=0，代入等式得 1，与 0 1矛盾。其次，若 x 为非整数的有理数。=1x

16、=<1x令x = n + q （其中 n，p，q 均为整数 1. qp 且（q，p）=1）p则 1 = x +xr np + q(其中 s,r 为整数当 n0 时 0r < np+q 当n-1 时,np+q < r0) 1 =xr np + q若 x 满足等式，即 q +pr= 1np + q即q(np + q) + pr = p(np + q) .从而得q 2 = pnp + (1 - n)q - r即p整除q 2 ,与( p, q) = 1 矛盾.故满足等式之 x 都不是有理数.三.证明设各行的棋子数分别 P1, P2 ,× × ×Pn , Pn+1,× × ×P2n .且 P1 P2 Pn Pn+1 P2n .由题设P1 + P2 + × × ×Pn + Pn+1 + × × ×P2n = 3n,选取含棋子数为 P1, P2 ,× × ×Pn , 的这 n 行,则P1 + P2 + × × × +