高三数学一轮复习函数与导数解析

1、B单元函数与导数B1函数及其表示14.、2014安徽卷若函数f(x)(xC R)是周期为4的奇函数,且在0, 2上的解析式为f(x) =sin 冰，1<x< 2,5 2941314.16 解析由题易知 f_4_+f_6-=f_4+f= "?6 + sin6 =词2.、2014北京卷下列函数中，定义域是 R且为增函数的是A.y = e x B. y= x3C.y = ln x D . y = |x|2.B 解析由定义域为R,排除选项C,由函数单调递增，排除选项 A21.、2014江西卷将连续正整数1, 2,，n(nC N*)从小到大排列构成一个数123 - nF(n)为这个

2、数的位数(如nF(12)=15),现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率.求 p(100);(2)当n< 2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n) = f(n)g(n), S= n|h(n) =1, n<100, nCN*,求当 nW S时 p(n)的最大值.21.解：(1)当 n到0的概率为p(100)= 100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11,所以恰好取_ 11二192.n, 1 < n<92n9, 10<n<99,(2)F(n)3n- 108,

3、 100<n< 999,4n 1107, 1000<n<2014. 当 n=b(1<b<9, bCN*), g(n) = 0; 当 n=10k+ b(1<k<9, 0<b<9, kC N 当 n=100 时，g(n) = 11,即 g(n) =bC N)时，g(n)=k;0,1 < n<9,k,n=10k+b,1<k<9,0<b<9,kCN,bCN,11, n=100.同理有f(n)=由 h(n) = f(n) g(n)= 1,可知 n= 9,所以当 n4100 时，S= 9, 19, 29,19,

4、 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90.当n=9时，p(9)=0.tg(90)91当n=90时，p(90)=F%=而=7*g(n)kkk当n=10k+9(1<k<8,k©N)时，“2=7=2=204，由y=k关于k单调速增，故当n=10k+9(1<k<8,kCN*)时，p(n)的最大值为p(89)=£69.又1|9<而，所以当nCS时，p(n)的最大值为19.1，、，一3.2014山东卷函数f(x)=的定义域为()yiog2xiA.(0,2)B.(0,2C.(2,+

5、8)D.2,+8)3.C解析若函数f(x)有意义，则log2x1>0,：log2x>1,：x>2.B2反函数5.2014全国卷函数y=ln(3x+1)(x>1)的反函数是()A.y=(1ex)3(x>1)B. y=(ex-1)3(x>1)C. y=(1ex)3(xCR)D. y=(ex-1)3(xCR)5.D解析因为y=ln(3/x+1),所以x=(ey1)3.因为x>1,所以yCR,所以函数y=ln(3x+1)(x>1)的反函数是y=(ex1)3(xCR).B3函数的单调性与最值2.、2014北京卷下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A.y

6、=exB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|2.B解析由定义域为R,排除选项C,由函数单调递增，排除选项A,D.4.、2014湖南卷下列函数中，既是偶函数又在区间(一8,0)上单调递增的是()1 9A.f(x)=x2B,f(x)=x2+1C.f(x)=x3D,f(x)=2x4.A解析由偶函数的定义，可以排除C,D,又根据单调性，可得B不对.19.、2014江苏卷已知函数f(x)=ex+ex,其中e是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf(x)<ex+m-1在(0,+00)上恒成立，求实数m的取值范围.(3)已知正数a满足：存在x0C1,+

7、6;°),使得f(x0)<a(x3+3x0)成立.试比较e"1与ae1的大小，并证明你的结论.19.解：(1)证明：因为对任意xCR,都有f(-x)=ex+e-(-x)=ex+ex=f(x),所以f(x)是R上的偶函数.由条件知m(ex+ex-1)<ex-1在(0,十)上恒成立.t1令t=ex仅>0),则t>1,所以m"E7t>1成立.1,1对任意tT+M+1因为 t1 + 7+ 1>2t 11,11(t-1)t_1+1=3,所以-1'-"3'当且仅当t = 2,即x =ln 2时等号成立.因此实数m的

8、取值范围是一8,1.3(3)令函数 g(x)=ex+ e1一a(x3+3x),则g(x)=eex+3a(x21).当x>1时，ex二>0,x21>0.又a>0,故g'(x)>0,所以g(x)是1,+°°)上的单调递增函数e因此g(x)在1,+8)上的最小值是g(1)=e+e-12a.由于存在xoC1,十°°),使exo+exoa(x0+3xo)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0,故 e+e -2a<0,即 a>e+ e 1令函数h(x)=x(e1)lnx1,则h'(x)=1二一.令h

9、(x)=0,Wx=e1.x当xC(0,e-1)时，h'(x)<0,故h(x)是(0,e1)上的单调递减函数;当xC(e1,+8)时，h'(x)>0,故h(x)是(e1,十°°)上的单调递增函数.所以h(x)在(0,+8)上的最小值是h(e1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当xC(1,e1)?(0,e-1)时，h(e-1)<h(x)<h(1)=0；当xC(e1,e)?(e1,+8)时，h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0对任意的xC(1,e)成立.，一.e+e1,故当aC2,e?(1,e)时，h(a)<0,即

10、a1<(e1)lna,从而ea1<ae1；当a=e时，ea1=ae1；当aC(e,十°°)?(e1,+8)时，h(a)>h(e)=0,即a1>(e1)lna,故ea1>ae1.ee1综上所述，当a一，e时，e1<ae；当a=e时，e=ae；当aC(e,十0°)时，e1>ae1.15.、2014四川卷以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数«x)组成的集合：对于函数Mx),存在一个正数M,使得函数Mx)的值域包含于区间M,M,例如，当«(x)=x3,<2(x)=sinx时，Mx)C

11、A,(2(x)6B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)CA”的充要条件是“？bCR,?aCD,f(a)=b"；若函数f(x)CB,则f(x)有最大值和最小值；若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)CA,g(x)CB,则f(x)+g(x)C/B;x若函数f(x)=aln(x+2)+x2-(x>-2,aCR)有最大值,则f(x)CB.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)15.解析若f(x)CA,则函数f(x)的值域为R,于是，对任意的bCR,一定存在aCD,使得f(a)=b,故正确.取函数f(x)=x(1vxv1),其值域为(一1,1),于是，存在

12、M=1,使得函数f(x)的值域包含于M,M=1,1,但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故错误.当f(x)CA时，由可知，对任意的bCR,存在aCD,使得f(a)=b,所以，当g(x)B时，对于函数f(x)+g(x),如果存在一个正数M,使得f(x)+g(x)的值域包含于M,M,那么对于该区间外的某一个boCR,一定存在一个aoCD,使得f(x)+f(a。)=b。一g(a。)，即f(ao)+g(a0)=b0?M,M,故正确.x对于f(x)=aln(x+2)+/(x>2),当a>0或av0时，函数f(x)都没有取大值.要使得函数xII的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，

13、求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明：e-2<a<1.21.解：(1)由f(x)=exax2bx1,得g(x)=f'(x)=ex2axb,所以g'(x)=ex2a.当xC0,1时，g(x)C12a,e2a.当a<2时，g(x)>0,所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1b;当a>2时，g(x)<0,所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e-2a-b；当2<av|时，令g'(x)=0,得x=l

14、n(2a)C(0,1),所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a),1上单调递增，于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.综上所述，当a<2时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1b；当2<如,g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b；当2号寸，g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)证明：设x。为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)=f(x0)=0可知，f(x)在区间(0,x°)上不可能单调递增，也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正

15、，也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x°,1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知，当a<2M,g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当a>2w,g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，都不合题意.1 e所以2Vave.此时g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a),1上单调递增.因此x1C(0,ln(2a),x2C(ln(2a),1),必有g(0)=1b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0有

16、a+b=e1<2,有g(0)=ae+2>0,g(1)=1a>0.解得e2Va<1.所以，函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e-2<a<1.B4函数的奇偶性与周期性4.2014重庆卷下列函数为偶函数的是()A.f(x)=x-1B,f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2xD.f(x)=2x+2x4.D解析A中，f(x)=x1,f(x)为非奇非偶函数；B中，f(x)=(x)2x=x2x,f(x)为非奇非偶函数；C中，f(-x)=2x-2x=-(2x-2x)=-f(x),f(x)为奇函数；D中，f(-x)=2x+2x=f(x),f(x)为偶函数.故选D.14

17、.、2014安徽卷若函数f(x)(xCR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)=sin 冰，1<x< 2,465，2941314.16 解析由题易知 f 7 +f _6 =f 4 +f5. 2014广东卷下列函数为奇函数的是()x(1x),0<x<1,则f29f417373汽56=-f4-f6=-W+sin6=W.A.2x2xB.x3sinxC.2cosx+1D.x2+2x.一一.15.A解析对于A选项，令f(x)=2x-2x=2x-2x,其定义域是R,f(-x)=2x-2x=f(x),所以A正确；对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x3sinx是

18、偶函数；C显然也是偶函数；对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数.9.、2014湖北卷已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)x+3的零点的集合为()A.1,3B.3,1,1,3C.2",1,3D.2巾，1,39.D解析设x<0,则一x>0,所以f(x)=f(x)=(x)23(x)=x23x.求函数g(x)=f(x)x+3的零点等价于求方程f(x)=3+x的解.当x>0时，x23x=-3+x,解得Xi=3,x2=1;当x<0时，一x2-3x=-3+x,解得X3=25.故选D.4.、201

19、4湖南卷下列函数中，既是偶函数又在区间(一8,0)上单调递增的是()1,A.f(x)=-B,f(x)=x2+1x.C.f(x)=x3D,f(x)=2x4.A解析由偶函数的定义，可以排除C,D,又根据单调性，可得B不对.15.2014湖南卷若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a=.315.2解析由偶函数的th义可得f(x)=f(x),即ln(e+1)ax=ln(e3+1)+ax,3x3.2ax=lne=-3x,.a=12.19.、2014江苏卷已知函数f(x)=ex+ex,其中e是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf(x)<ex+m-1

20、在(0,+00)上恒成立，求实数m的取值范围.(3)已知正数a满足：存在xoC1,+°°),使得f(x0)<a(x0+3xo)成立.试比较e"1与ae1的大小，并证明你的结论.19.解：(1)证明：因为对任意xCR,都有f(-x)=ex+e-(-x)=eTx+ex=f(x),所以f(x)是R上的偶函数.由条件知m(ex+ex-1)<ex-1在(0,十)上恒成立.t1令t=e(x>0),则t>1,所以m<-t2_t+1对任意t>1成立1/心1J1十口十111.11因为t-1+1+142、/(t-1)t1+1=3,所以1"

21、一"3，t1+t-1+1当且仅当t=2,IPx=ln2时等号成立.'因此实数m的取值范围是一8,1.3(3)令函数g(x)=ex+Ja(x3+3x),则g'(x)=ex-占+3a(x21).ee当x>1时，ex!>0,x21>0.又a>0,故g'(x)>0,所以g(x)是1,+°°)上的单调递增函数e因此g(x)在1,+8)上的最小值是g(1)=e+e1-2a.由于存在x0C1,十°°),使exo+ex。-a(x0+3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0,故e+e12a&l

22、t;0,即a>-.令函数h(x)=x(e1)lnx1,则h(x)=1x-.令h(x)=0,得*=31.当xC(0,e-1)时，h'(x)<0,故h(x)是(0,e1)上的单调递减函数；当xC(e1,+8)时，h'(x)>0,故h(x)是(e1,十°°)上的单调递增函数.所以h(x)在(0,+8)上的最小值是h(e1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当xC(1,e1)?(0,e-1)时，h(e-1)<h(x)<h(1)=0；当xC(e1,e)?(e1,+0°)时，h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0对

23、任意的xC(1,e)成立.,e+e,故当ac2ee?(1,e)时，h(a)<0,即a1<(e1)lna,从而ea1<ae1；当a=e时，ea1=aeT；当aC(e,+°°)?(e1,+8)时，h(a)>h(e)=0,即a1>(e1)lna,故ea1>ae1.ee1一，一，一综上所述，当aC2,e时，eaT<aeT；当a=e时，ea1=ae当aC(e,十)时，ea1>ae1.12.2014全国卷奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.1C.0D.112.D解析因为

24、f(x+2)为偶函数，所以其对称轴为直线x=0,所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x=2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R,所以f(0)=0,所以f(8)=f(-4)=-f(4)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=0+f(-5)=-f(5)=-f(-1)=f(1)=1.15.2014新课标全国卷II偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3,则f(-1)=15.3解析因为函数图像关于直线x=2对称，所以f(3)=f(1),又函数为偶函数，所以f(1)=f(1),故f(1)=3.5.2014全国新课标卷I设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数，g(x

25、)是偶函数，则下列结论中正确的是()A. f(x)g(x)是偶函数B. |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数5.C解析因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(g(x)=f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错;|f(一x)|g(x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数，B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确;|f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,即f(x)g(x)为偶函数,所以D也错.1

26、3.2014四川卷设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xC1,1)时，f(x)=4x2+2,1<x<0,x,0<x<1,2+ 2=1.xC m, m+1,都有 f(x)<0 成立,，r-311113.1解析由题意可知，f2=f2-2f-2=-4-2B5二次函数10.2014江苏卷已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意则实数m的取值范围是0解析因为f(x)=x2+mx-1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在f(m)v0,区间端点处取到，所以对于任意xCm,m+1,都有f(x)v0,只需f(m+1)v0,解得3-2<m< 0,14.、2

27、014全国卷函数y= cos 2x+ 2sin x的最大值为314.21解析因为 y= cos 2x + 2sin x= 1 2sinx2+2sin x= - 2 sin x"2 3 ,1 ,+2,所以当sin x=时3函数y= cos 2x+ 2sin x取得取大值，取大值为 2.B6指数与指数函数5.2014安徽卷设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<c B. c<a<bC.c<b<a D. a<c<b5.B解析因为2>a=log37>1,b=21'>2,c=0.83,<

28、1,所以c<a<b.8.,2014福建卷若函数y=logax(a>0,且aw1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是()图1-2D 图 1-38.B解析由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=1,其函数图像不正确；选项B中的函数为y=x3,其函数图像正确;3选项C中的函数为y=(x)3,其函数图像不正确;选项 D中的函数为y=log3(x),其函数图像不正确，故选B.3.、2014辽宁卷已知a=2 131 b= log2qc = log23,则()A. a>b>c B. a>c>bC. c>b>a D

29、. c> a>b13. D 解析因为0<a=2司<131111 一c= log23>log 22= 1，所以 c>a>b.1 b= log 2«<0,315.、2014全国新课标卷I 设函数f(x)=1x3则使得f(x)<2成立的,x> 1,x的取值范围是15. (8, 8解析当 x<1 时，由 ex 1<2,得 x<1;当 x>1 时，由 x3<2,解得1<x<8,综合可知x的取值范围为x<8.5.2014山东卷已知实数x, y满足ax<ay(0<a<1),

30、则下列关系式恒成立的是A.x3>y3B.sin x>sin yC.ln(x2+ 1)>ln(y2+1)f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=x3 B, f(x)=3xC.11 xf(x)=x2 D. f(x)= 27.一，一1 x，、，、 X , 一B 解析由于f(x + y) = f(x)f(y),故排除选项A, C.又f(x)= 5为单调递减函数，所以排除选项D.12. 2014 陕西卷已知 4a = 2, lg x= a,则 x=1 一一1 一一112.，10 解析4 =2,即 2 =2,可得 a = 2,所以 lg x=2,所以 x= 102=f10.7

31、.、2014四川卷已知b>0, log5b=a, lg b = c, 5d=10,则下列等式一定成立的是()A. d= ac B. a=cdC. c = ad D. d=a + c7. B 解析因为 5d=10,所以 d = log510,所以 cd=lg b log510=log5b=a,故选 B.9.、2014四川卷设mCR,过定点A的动直线x + my=0和过定点B的动直线mx ym+30交于点P(x, y),则|PA|十|PB|的取值范围是()A.低2邓B.匹，2季C.赤，4班D. 2眄4乖9. B 解析由题意可知，定点 A(0, 0), B(1, 3),且两条直线互相垂直，则其

32、交点P(x, y)落在以AB为直径的圆周上，所以 |PA|2+ |PB|2二 |AB|2二 10,即 |FA|+ |PB|> |AB|= 710.又|FA| 十 |PB| 二弋(|FA|+|PB|) 2 =|PA|2+2|FA|PB|+|PBp<也一 (|PA|2+ |PB|2) = 2 乖,所以 |PA|十|PB|C 恒，2 V5,故选 B.4. 12014 天津卷设 a= log2 n，b = log2 乳,c= A2,则()A.C.a>b>c B. b>a>c a>c>b D. c> b>a4.一1 _C 解析. a=log2T

33、>1, b=log2T<0,:b<c<a.B7对数与对数函数12. 2014天津卷函数f(x)= lg x2的单调递减区间是12.( 00,0)解析函数f(x)= lg x2的单调递减区间需满足 x2>0且y=x2单调递减，故xC ( °0, 0).311. 2014 安徽卷81 4+log35+ log35 =272 411.27 解析原式=2345 42 3 27+ log3 4X5 = 3 =T8.、2014浙江卷在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是()ABCD图1-28. D解析只有选项D符合，

34、此时0<a<1,嘉函数f(x)在(0,+8)上为增函数，且当xC(0,1)时，f(x)的图像在直线y=x的上方，对数函数g(x)在(0,+8)上为减函数.故选D.8.1, 2014福建卷若函数y=logax(a>0,且a1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是()图1-2ABCD图1-38.B解析由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=1,其函数图像不正确；选项B中的函数为y=x3,其函数图像正确；3选项C中的函数为y=(-x)3,其函数图像不正确；选项D中的函数为y=log3(-x),其函数图像不正确，故选B.13.、2014广东卷等

35、比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.13.5解析在等比数列中，aa5=a2a4=a3=4.因为an>0,所以a3=2,所以aa2a3a4a5=(aa5)(a2a4)a3=a3=25,所以log2a+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.3.、2014辽宁卷已知a=21b=log21,c=log,则(3323A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b113.D解析因为0<a=2

36、3<1,b=log23<0,11., 11c= log23>log22=1,所以 c>a>b.6.,2014山东卷已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a1)的图像如图1-1所示,则下列结论成立的是()图1-1A.a>1,x>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<16 .D解析由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，.Ovavl；图像与x轴的交点在区间(0,1)之间，：该函数的图像是由函数y=logax的图像向左平移不到1

37、个单位后得到的，0<c<1.7 .、2014四川卷已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c7.B解析因为5d=10,所以d=log510,所以cd=lgblog510=log5b=a,故选B.9.、2014重庆卷若log4(3a+4b)=log2牺，则a+b的最小值是()A.6+2小B.7+2第C.6+4*D.7+4小9.D解析由log4(3a+4b)=log2qOb,得3a+4b=ab,则；+b=1,所以a+b=(a+b)+b=7+4b-+3bL>7+2=7+4小，当且仅当4b=3

38、f，即a=4+23,b=23时等号成立，故其最小值是,7+4,3B8募函数与函数的图像8.、2014浙江卷在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是()图1-28.D解析只有选项D符合，此时0<a<1,嘉函数f(x)在(0,+8)上为增函数，且当xC(0,1)时，f(x)的图像在直线y=x的上方，对数函数g(x)在(0,+8)上为减函数.故选d.8.,2014福建卷若函数y=logax(a>0,且a1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是()图1-2CD 图 1-38.B解析由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=

39、3.选项A中的函数为y=3,其函数图像不正确；选项B中的函数为y=x3,其函数图像正确；3选项C中的函数为y=(-x)3,其函数图像不正确；选项D中的函数为y=log3(x),其函数图像不正确，故选B.15. 2014湖北卷如图1-4所示，函数y=f(x)的图像由两条射线和三条线段组成.若？xCR,f(x)>f(x1),则正实数a的取值范围为.图1-41 ，"一，一，15.0,6解析?xCR,f(x)>f(x1)等价于函数y=f(x)的图像恒在函数y=f(x1)的图像的上方"，函数y=f(x1)的图像是由函数y=f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示.因

40、，一，1为a>0,由图知6a<1,所以a的取值范围为0,6.一.一.C113.、2014江苏卷已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当xC0,3)时，f(x)=x22x+.若函数y=f(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是.1 C1,一、一.一13.0,2解析先画出y=x22x+2在区间0,3上的图像，再将x轴下万的图像对称到x轴上方，利用周期为3,将图像平移至区间3,4内，即得f(x)在区间3,4上的图像如下图所示，其中f(-3)=f(0)=f(3)=0.5,f(-2)=f(1)=f(4)=0.5.函数丫=可川一2在区间3,4上有10个零点(互不

41、相同)等价于y=f(x)的图像与直线y=a有10人，、一，1个不同的交点，由图像可得aC0,2.ex1,x<1,15.、2014全国新课标卷I设函数f(x)=1则使得f(x)<2成立的x的取值范围是x3,x>1,15.(8,8解析当x<1时，由ex1<2,得x<1;当x>1时，由x3<2,解得14x<8,综合可知x的取值范围为x<8.6.,2014山东卷已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是()图1-2A.a>1,x>1B.a>1,0<c&

42、lt;1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<16.D解析由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，.Ovavl；图像与x轴的交点在区间(0,1)之间，：该函数的图像是由函数y=logax的图像向左平移不到1个单位后得到的，：0vcv1.B9函数与方程66.2014北乐卷已知函数f(x)=一一log2x,在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+川一66. C解析万法一：对于函数f(x)=-log2x,因为f(2)=2>0,f(4)=0.5<0,根据零点的存x在性

43、定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)=6与g(x)=log2x的大致图像，如图所示，可得f(x)的零x点所在的区间为(2,4).7. 2014浙江卷已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0vf(1)=f(2)=f(3)<3,则()A.c<3B.3Vg6C.6<c< 9 D . c> 97.1+ab+c=8+4a2b+c,C解析由f(1)=f(2)=f(3)得-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c-7+3a-b=0,a=6,?19-5a+b=0b=11,则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0<f(1)<3,故0<6+c

44、<3,.6<c<9,故选C.1 ,-3,xC(1,0,10. 2014重庆卷已知函数f(x)=x十1且g(x)=f(x)mxm在(一1,1x,xC(0,1,内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()91A.-4，2U0,2111B.一不一2U0,292c.-4,2u0,3D.11不2-2 u 0，310.A解析作出函数f(x)的图像，如图所示.函数g(x)=f(x)mxm的零点为方程f(x)mxm=0的根，即为函数y=f(x)与函数y=m(x+1)图像的交点.而函数y=m(x+1)的图像恒过定1点P(1,0),由图易知有两交点的边界有四条，其中kpo=0,kPA=2,

45、kPB=2,第四条为过P点1一、1C的曲线y=-3的切线PC.将y=m(x+1)(mw0)代入y=-3,得mx2+(2m+3)x+m+2=0,x11xII.c一9一9则由=(2m+3)24m(m+2)=4m+9=0,得m=4,即kpc=4,所以由图可知满足条件的头数91m的取值范围是一4,一2U0,1.x22,x<0,15.2014福建卷函数f(x)=的零点个数是.2x6+lnx,x>015.2解析当x<0时，f(x)=x22,令x22=0,得x=V2(舍)或x=-皿，即在区间(一8,0)上，函数只有一个零点.当x>0时，f(x)=2x6+lnx,令2x6+lnx=0,

46、得lnx=6-2x.作出函数y=lnx与y=6-2x在区间(0,+)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)=2x6+lnx(x>0)只有一个零点.综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.9.、2014湖北卷已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)x+3的零点的集合为()A.1,3B.3,1,1,3C.25，1,3D.2巾，1,39.D解析设x<0,则一x>0,所以f(x)=f(x)=(x)23(x)=x23x.求函数g(x)=f(x)x+3的零点等价于求方程f(x)=3+x的解.当x>0时，x23x=

47、3+x,解得Xi=3,地=1;当x<0时，一x2-3x=-3+x,解得X3=-2-77.故选D.一.一.C113.、2014江苏卷已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当xC0,3)时，f(x)=x2-2x+2.若函数y=f(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是.11.13.0,2解析先画出y=x22x+在区间0,3上的图像，再将x轴下万的图像对称到x轴上方，利用周期为3,将图像平移至区间3,4内，即得f（x）在区间3,4上的图像如下图所示，其中f(3)=f(0)=f(3)=0.5,f(2)=f(1)=f(4)=0.5.函数丫=可川一2在区间3,4上有1

48、0个零点(互不相同)等价于y=f(x)的图像与直线y=a有101个不同的父点，由图像可得aC0,2.a2x,x>0,4.2014江西卷已知函数f(x)=2x<0(aCR).若ff(1)=1,则a=()1 1A.4B.2C.1D.2一“C.14. A解析因为f(1)=2=2,f(2)=a2=4a=1,所以a=-.x2+2x+2,x<0,15. 2014浙江卷设函数f(x)=2若f(f(a)=2,则a=.x2,x>0.15.啦解析令t=f(a),若f(t)=2,则t2+2t+2=2满足条件，此时t=0或t=2,所以f(a)=0或f(a)=2,只有一a2=2满足条件，故a=J

49、2.21.2014全国卷函数f(x)=ax3+3x2+3x(aw0).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围.21.解：(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式=36(1-a).(i)若a>1,则f'(x)>0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=1时成立.故此时f(x)在R上是增函数.(ii)由于aw0,故当a<1时，f'(x)=0有两个根；x2 =-1 11 - a若0vav1,则当xC(oo,x2)或xC(x1，+8)时，f(x)>0,故f(x)分别在(一8,

50、x2),(x1，+°°）是增函数;当 xC(x2, x1)时,f'(x)<0,故f(x)在(x2,x1)是减函数.若av0,则当xC（8,x1）或（x2,十川时，f，（x）v0,故f（x）分别在（一8,x1），（x2,十川是减函数;当XC(X1,X2)时f'(x)>0,故f(x)在(XI,X2)是增函数.(2)当a>0,x>0时，f'(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时，f(x)在区间(1,2)是增函数.5当av0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)>0且f(2)>0,

51、解得一44av0.，5综上，a的取值范围是一下0U(0,+8).|x2+5x+4|,x<0,14. 2014天津卷已知函数f(x)=若函数y=f(x)a冈恰有4个零点，则2|x2|,x>0.实数a的取值范围为.15. (1,2)解析在同一坐标系内分别作出y=血)与y=a|x|的图像，如图所示，当y=a|x|与y=f(x)的图像一ax=一x一5x一4,相切时，联立整理得x2+(5-a)x+4=0,则=(5-a)2-4X1X4=0,a>0,解得a=1或a=9(舍去)，：当y=a冈与y=f(x)的图像有四个交点时，有1<a<2.B10函数模型及其应用8. 2014北京卷

52、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数)，图1-2记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()图1-2A.3.50分钟B,3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟0.7=9a+3b+c,a=0.2,8.B解析由题意得0.8=16a+4b+c,解之得b=1.5,0.5=25a+5b+c,c=-2,：p=0.2t2+1.5t2=0.2(t3.75)2+0.8125,即当t=3.75时,p有最大值.10.2014陕西卷如图1-2所示，修

53、建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()图1-31312A.y=2X-XxB.y = 2x3 + ；x2 3xC.y = 4x3-xD.y=1x3+*2x10.A解析由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0,不妨设其解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,则f(x)=3ax2+2bx+c,：f(0)=1,*2)=3,可得c=1,3a+b=1.又y111Q10=ax+bx+cx过点(2,0),：4a+2b=1,：a=2,b=2,c=1,y=f(x)一xx.B11导数及其运算21.、2014陕西卷设函数

54、f(x)=lnx+手,mWR.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值;.x讨论函数g(x)=f'(x)3零点的个数;3(3)若对任意b> a> 0,f (b) f (a)b av1恒成立，求m的取值范围.ex-e21.解：(1)由题设，当m=e时，f(x)=lnx+q,则f'(x)=q-,:当xC(0,e)时,f'(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减;当xC(e,十8)时，f(x)>0,f(x)在(e,+°°)上单调递增.：x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+e=2,e：f(x)的极小值为2

55、.m x3(x>。)，x1(2)由题设g(x)=f(x)-3=x令g(x)=0,得m=-1x3+x(x>0),3.1c设(J)(x)=-Tx3+x(x>0),3则6(x)=x2+1=(x1)(x+1),当xC(0,1)时，6'(x)>0,Mx)在(0,1)上单调递增;当xC(1,+8)时，g(x)<0,Kx)在(1,+8)上单调递减.x=1也是Mx)的最大值点,.x=1是Mx)的唯一极值点，且是极大值点，因此，24X)的最大值为«1)=3.又M0)=0,结合y=(Xx)的图像(如图所示)，可知当m>2时，函数g(x)无零点；当m=2时，函数

56、g(x)有且只有一个零点；32一当0<m<a时，函数g(x)有两个手点；3当m<0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m>，函数g(x)无零点；当m=2或m<0时，函数g(x)有且只有一个零点;3当 0<m<,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,f (b) f (a)<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)x=lnx+x(x>0),x.(*)等价于h(x)在(0,+8)上单调递减.由h(x)=x"学一140在(0,+8)上恒成立,得m>x2+x=

57、x2+4(x>0)恒成立，1 .1.1.m>4对m=4，h(x)=0仅在*=万时成立，1：m的取值范围是,+00x3,其中 a>0.x的值.20.、2014安徽卷设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；当xC0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的20.解：(1)f(x)的定义域为(8,+8),f'(x)=1+a2x3x214+3a令f(x)=0,得X1=13x2=T+严a，且xi<x2,3所以f(x)=-3(x-xi)(x-x2).当x<xi或x>x2时，f'(x)<0;当xi<x<x2时，f(x)>0.故f(x)在