二元一次方程组竞赛题集(答案+解析)

1、二元一次方程组典型例题【例1】 已知方程组的解X, y满足方程5x-y=3,求 k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.(1 ) 由已知方程组消去k,得x与y的关系式，再与5x-y=3 联立组成方程组求出x, y的值，最后将x, y的值代入方程组中任一 方程即可求出k的值.(2) 把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于 k的方程，便可求出k的值.(3) 将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11,又知 5x-y=3,所以整体代入即可求出k的值.2.%+3y=Jc,3%-4尸A+ I I.5%-y=3.解法一：-(1),得*5，得34y二-52

2、,解得产一叠.杷产一鲁代人，得5行答:3,解得寻把片击，尸-告代人，得2%5+3式-存)二女，解得k=-4.解法二：X3X2,得17尸k-22,解得尸啜.把尸替代人，得2/3式上常）4,解得吟）杷/=笔和片士萨代人r得”喑_一替二3 ,解得仁-4一解法三：+，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4.【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧 妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经 用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该 用巧妙解二元一次方程组能力提升讲义知识提要1 .二元一次方程组卜炉+ =白的解的

3、情况有以下三种：a2x + b2y = c2当= % = l时，方程组有无数多解。（两个方程等效） by Q ， 一 当包=2工2时，方程组无解。（两个方程是矛盾的）a, by c, 当w区（即ab-azbHO）时，方程组有唯一的解: a 2 b?c仇一c也 A（这个解可用加减消元法求得）叫fbm-a2b2 .方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解, 若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 .求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定 系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、 3）例题例1.选择一组a,c值使方程组+ v = 71

4、.有无数多解，2.ax + 2y = c无解，3.有唯一的解的汇+y=4）【例2】解方程组95尸&【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由，得y=4一mx,把代人，得 2x+5 (4-mx)=8,解得 (2-5m) x=T2,当 25m=0,2即田=1时，方程无解，则原方程组无解.212当2-5m手0,即亍时，方程解为“藐点_ 128-8rri将“h赤万代入，得及百丁2故当mH于时，8-8m原方程组的解为六至元例3. a取什么值时，方程组的解是正数5x + 3y =

5、 31例4. m取何整数值时，方程组产+ ” 4的解x和y都是整数 x + 4y = 1二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为 “一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了 “未知”转化到“已知”的重要教学化归思想。2、灵活消元(1)整体代入法y +1_ x + 21.解方程组4丁 =三一2x - 3 v = 1(2)先消常数法2.解方程组vl(3)设参代入法3.解方程组尸f=2 x: y=4:3vl(4)换元法x+y xy4.解方程组V 2=63（x + y）

6、 = 4（.v-y）(5)简化系数法-e3y=3vl5.解万程组匕-。课堂练习1 .不解方程组，判定下列方程组解的情况:卜y = 34x 2y = 33x + 5y = 13x - 5 v = 112 a取哪些正整数值，方程咻的解x和y都是正整数3要使方程组答:的解都是整数，k应取哪些整数值二元一次方程组应用探索【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步躲可概括为“审、找、列、 解、答“五步，即：(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数 和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；(2)找：找出能够表示题意两个相等关系；(3)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方 程

7、组；(4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值；(5)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写 出答案.二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、 生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来 加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果 交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27,求这 个两位数.分析：设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数XV1Ox+y1Ox+y=x+y+9

8、新两位数yX1Oy+x1Oy+x=1Ox+y+27解方程组管:得I;，因此，所求的两位数是 10y + x = 10x + y+ 27y = 414.点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只 设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为X, 或只设十位上的数为X,那将很难或根本就想象不出关于X的方程.一 般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为 “元”，然后列多元方程组解之.二、利润问题例2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折 出售可以盈利10元，问此商品的定价是多

9、少分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品 的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为元，获利元，因 此得方程=20%y;打八折时的卖出价为元，获利元，可得方程二10.解方程组x = 200y = 1500.9x-y = 20% yO.8x-y = 10因此，此商品定价为200元.点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相 对于定价或卖出价.利润的计算一般有两种方法，一是：利润二卖出 价-进价；二是：利润二进价X利泗率（盈利百分数）.特别注意“利 润”和“利润率”是不同的两个概念.三、配套问题例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母2

10、0个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排 多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产 品配成最多套分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和 螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式： 每天生产的螺栓数X2二每天生产的螺母数X1.因此，设安排x人生 产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓25 x个，螺母20 y个， 依题意，得x+y = 120(x = 20tn，旬1，解之,得彳inn-故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力， 使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题

11、，解决配套 问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配 套问题的等量关系是：(1) “二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套， 那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即甲心数=,二山数；ab(2) “三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品 c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：甲产品数_乙产品数_丙产品数 abc四、行程问题例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到 B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个 加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高 速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡

12、逻车接到指挥中心的命令后 立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的 团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙 经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的 速度各是多少【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时， 则3（x-y） = 12O x + y = 120整理,卜一)，=401寸口+), = 120，解得x = 8Oy = 40因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40 千米/时.点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种 题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者 的

13、速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们 原来的距离.五、货运问题典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨 的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货 物应各装多少吨分析：”充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重 量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”.设甲种货物装 x吨，乙种货物装y吨，则y = 300fx+y = 300, z x = 1506x + 2y = 1

14、2OO，整理，3x+y = 600,解得)，= 15(T因此，甲、乙两重货物应各装150吨.点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实 际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少 计算量，增加准确度.化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数 的最大公约数或移项、合并同类项等.六、工程问题例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期 限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装4150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的； 现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且

15、比订货量多生产25套， 求订做的工作服是几套要求的期限是几天分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得4150），= xfx = 3375- 5,解得_18200（-l） = x + 25）点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关 系，即“工作量二工作时间X工作效率”以及它们的变式“工作时间二 工作量+工作效率，工作效率;工作量工作时间”.其次注意当题 目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量.【例7】 某种商品价格为每件3 3元，某人身边只带有2元和 5元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零 钱，则付款方式有哪几种（指付出2元和5元

16、钱的张数）哪种付款方 式付出的张数最少？【思考与分析】 本题我们可以运用方程思想将此问题转化 为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量 关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式 付出的张数最少.解： 设付出2元钱的张数为x,付出5元钱的张数为y,则 x, y的取值均为自然数.依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是。或5,所以2x个位上数应为3或8.又因为2x是偶数，所以2x个位上的数是8,从而此方程的解,产53=3产L由得号二；由；得x+y=12；由得x+y=15.所以 第一种付款

17、方式付出的张数最少.答： 付款方式有3种，分别是： 付出4张2元钱和5张 5元钱；付出9张2元钱和3张5元钱；付出1 4张2元钱和1张5 元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【例8】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室,这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门 时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门 时，4分钟可以通过800名学生.(1) 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学 生？(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降 低20%.安全检查规定，在

18、紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通 过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生， 问：建造的这4道门是否符合安全规定请说明理由.【思考与解】(1)设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一 道侧门可以通过y名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以 通过学生80人.(2)这栋楼最多有学生4X8X45=1440 (人).拥挤时5分钟4道门能通过5X2X (120+80) X (1-20%) =1600 (人).因为16001440,所以建造的4道门符合安全规定.答：平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80 名学生；建造的这4道门符

19、合安全规定.【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蒸 数（千克不超过20千克20千克以上但 不超过血千克40千克 以上每千克价 格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多 少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱 数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5 元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两 次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张 强第一次、第二次分别购买香蕉的千克

20、数.解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克.由 题意，得0x25.y=36.当0xW20, yW40时，由题意，得二%4解得当040时，由题意，得&吊丁2见解得尸回（与。& W20, yW40相矛盾，不合题意，舍去）.当20x25时，25y30此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y） =5 X 50=250264 （不合题意，舍去）.综合可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉 36千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出 了 一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性, 看有几种情况符合题意.【例10】 用如图1中