中考之圆综合题型

1、6. (2017武汉元调)如图， OA、OB、OC都是。O的半径，Z AOB = Z BOC.(1)求证：Z ACB=2ZBAC;(2)若AC平分/ OAB,求/ AOC的度数.解：(1)证明：在。中，/ AOB=2Z ACB, ZBOC=2ZBAC, ZAOB = 2ZBOC. .ZACB=2Z BAG.(2)解：设/ BAC=x . AC 平分/ OAB, . Z OAB= 2Z BAC= 2x0 ,. Z AOB=2Z ACB, Z ACB=2ZBAC, . Z AOB= 2Z ACB= 4Z BAC= 4x ,在aOAB 中，Z AOB + Z OAB+Z OBA= 180 ,4x+2

2、x +2x= 180,解得：x=22. 5,Z AOC = 6x = 135编辑版word(1)(2)7. （2017武汉元调）如图，在 RtABC中，/ BAC= 90 , BD是角平分线，以点 D为圆心，DA为半径 的。D与AC相交于点E.求证：BC是。D的切线；若 AB=5, BC= 13,求 CE 的长.解：（1）(2)证明：过点 D作DFXBC于点F,. / BAD= 90 , BD 平分/ ABC, . AD = DF .AD是。D的半径，DFXBC,BC是O D的切线;解：BAC= 90 . ，AB 与。D 相切，BC是。D 的切线，AB=FB., AB=5, BC= 13, .

3、 CF= 8, AC=12.1016在 Rt ADFC 中，设 DF=DE = r,则 r2 + 64= (12 r) 2,解得：r= .，CE=.3313. (2016武汉元调)如图， AB为。O的直径，C为。O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D, AD交。O于点E.(1)求证：AC平分/ DAB;(2)连接CE,若CE=6, AC =8,直接写出。O直径的长.解：(1)证明：连接 OC, CD是。O的切线，CDXOC,又. CDAD, .AD/OC, ，/CAD=/ACO,. OA=OC, . CAO = Z ACO, . CAD = Z CAO,即 AC平分/ DAB；(2)解

4、：. / CAD = /CAO,Ce Cb , . . CE=BC= 6,.AB 为直径，ACB= 90 ,由勾股定理得：AB= AC1 一疗=、82 62 =10,即。O直径的长是10.【案例1】圆中的线段【真题呈现】如图，在。O中，弦AB、AC互相垂直，D、E分别为 AB、AC的中点，则四边形 OEAD为（C ）A.正方形B.菱形 C.矩形 D.直角梯形【真题解读】因为D、E分别为AB、AC的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 得OEAC , ODXAB. - ABXAC, . OEAD为矩形，故填 C.【真题变式】1.如图，在O O中，弦AB、CD相交于E,且ABXCD, AE

5、 = 2, BE=6, CE= 4,则。O的半径 R=.4 2x解：过 O 作 OGCD 于 G, OFXAB 于 F,设 DE = 2x, CG=2+x, GE=2+x-2x=2- x,2AF=FB=2X(2+6尸4,，EF = AFAE = 42= 2, 22+(2+x)2=O内 OB2= (2x)2+ 42,解得 x=1 5.R=啖2.如图，O O的半径R=6,点A、B、C在O O,/A=60 ,求 AB2+AC2 AB AC 的值.A解：延长 CO 交。O 于 D,连 DB、CB,过 C 作 CEL AB 于 E, Cb = Cb ,D = /A=60 ,. CD 为直径，./ CBD

6、=90 , .BC=立 CD=X6X2= 6百，易得八=殷，CE=AC, 2222. CEXAB, . CE2+BE2= BC2,即 (AC+ (AB ；AC)2 = (6石)2 , . . AB2+ AC2-AB AC =108.3.如图，O O 的半径 R= 6,点 A、B、C 在 OO, / A=60 , ODAB 于 D, OEAC 于 E.连 DE , 求DE的长.FAADBBOC=OBCCAAOODDBB易知的长度不变AO DE时面积DE2CCAAiOODDBBD。OA、OC、OB、BCAO、DED, OEAC 于 E5.如图E,C在O O上运动，保持/(B)R=6, ，OF =

7、3, CF=点A、B、C在OO上运动，保持/ A=60 面积的最大值.D O的半径R= 6,点A、B、 DE,则下列结论中，错误的是111OEXAC, ODXAB. /. D. E 分别为 AB、AC 的中点.，DE = -1 DE=- 24.如图，。O的半径R= 6, 连DE,求四边形OEAD1S四边形OEAD =:CCA.B.C.弦BC的长为定值四边形OEAD的面积为定值 线段DE的长为定值D.四边形OEAD的面积有最大值案例2切线中常见基本图形真题呈现AD和过C的切线互相垂直，垂足为 D, AD交。O于点E,如图，AB为。O的直径，C为。O上一点, 连接AC.(1)求证：AC平分/ DA

8、B;(2)若CE=6, AC =8,直接写出。O直径的长.真题解读(1)遇切线连接切点和圆心，故连 CO,则CO CD . CO=AO,CAO=ZACO. . COXCD, ADXCD, . AD/CO, . ZACO = ZDAC, . Z DAC=Z CAO,即 AC 平分/ DAB.(2)用(1)的结论：. AC 平分/ DAB,CE=CB, . AB 为直径，/ ACB= 90 ,AB =Jac2 cb2 q8 62 =10.【真题变式】1.例题中在(2)的前提下： CD=;DE =.解：过 C 作 CF, AB 于 F,DAC=/CAO, .CD = CF, CF= ABgCB 8=

9、4. 8, . DE =AB 10JCE2CD2J624.82= 36;易证CDEA CFB,设 DE =BF= x,/. 62-x2 = 82-(10-x)2,2.在例题条件下，已知2.2R=i2b解得x= 3. 6.解：连 OC、BE相交于F,连CE,易证： DCEAFBC.在OFB 中，OB2=OF2+BF2,(Rb)2+a2= R2,解得3 .在例题条件下，已知 R= 6, CE = 2，5,则R=解： R232= (2 J5) 2= ( 3) 2,解得 R=5, R2=- 2 (舍去)CD=加函2 2=1.4 .在例题条件下，延长 AB, DC相交于F,若/ F= %连接AC.一，A

10、F-(1)如图1,当a 30 时，=;3AC.一, AF-(2)如图2,当k 45 时，=；y2 +1AO(3)如图 3,当 k 60 时，AF =; 23 + 1AO3案例3图中几何变换【真题呈现】如图， ABC是等边三角形,O为BC的中垂线 AH上的动点，O O经过B, C两点,D为？C上一点,D, A两点在BC边异侧，连接 AD, BD, CD.(1)如图1,若。O经过点 A,求证：BD + CD= AD;(2)如图2,圆心O在BD上，若/ BAD= 45 ,求/ ADB的度数;(3)如图 3,若 AH=OH,求证：BD2+CD2 = AD2.【真题解读】(1)求证的是两条线段之和等于第

11、三条线段，故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转.方法一：延长 BD至IJF,使DF=DC,再证 BCF MCD ;方法二：在 AD上截取DG=DC,连接CG,先证 DCG为等边三角形，再证 ACGA BCD;方法三：此题也可作垂线，构造全等；过 C作CMLAD于M, CNXBD于N.先证 ACMA BCN,再证 MCDA NCD.【解后反思】AD CD一一一当 ABC为等边三角形时， AD CD 1, 一般化，对于等腰 ABC不妨设AB=BC,且/ ABC= %BDAD CD AD CD_ADBDC为多少呢?不妨先特殊化：a= 90。，60。，120。，丝玩芦 的值分别为 叵,工 展(2

12、)几何直观可以猜想，4BCD为等腰直角三角形，但无法证明.看此问题添加了条件/ BAD=45 , 联想到等腰直角三形，故设 AD交。O于E,连接BE,则BEXED, BAE=ZABE=45 ,则/CAE= /CBE=15 , . EC ?C , . CBE=/CDA= 15 , . Z CAE=Z CDA,AC=CD = BC, . BD15 = 30D 在。0 外，已知/ ADB = 45 , OO为。O 的直径， / BCD= 90 , ZCDB= 45 , . ./ADB=45 【真题变式】1.如图，AB是。O的直径，C为圆上一点，4ACD为等边三角形， 的半径为4,则AD的长为解：/

13、CDB=60 -45 =15 ;/CBD=180 60 90 15 = 15 ;DC=CB= AC = AD; AD=AC=4A ABD =. 16734 .四边形 ABCD中，/ BCD= 30 ,AC=6, AB=BD = AD,求 BCD的面积的最大值.解：以 CD 为边作等边 CDE, AD = BD, DC=DE, / ADC= 60 + Z BDC= Z BOE , . ADCA BDE , . AC=BE,在 BCE 中，BE2= BC2+ CE2,即 BC2+CD2= AC2= 362BC - CD, . BC CD2BC- CD=2X 48= 96,AO 4 , 6, 1 A

14、C 的最小值为 4% 6.案例4 圆与等腰三角形（1）【真题呈现】如图1,已知。O中，BC是直径，D点为OB上任意一点（异于 O, B）,过D点作ADXBC,交O O于A点，AB= AF ,连接BF交AD于E点.【真题解读】BA = Af , . BG= BA= Af.从结论看到要探究 AE与BE的大小，几何直观看 AE = BE,故可连接AB.证/ ABE=Z BAE,显然，由AB = AF可得到结论，请规范表述:延长AD交。O于G,连接 AB,直径BCXAG,BA = BG ,又BA = AF , BG= AF.abe=/ bae.第二问：能否运用第一问的方法？故仍然延长AD交。于G,连接

15、AB,其实证法与上一问做法模一样，请规范表述：同上.【解后反思】其实第二问作出图形有两种情况，请试一试，如图3,但做法仍与图2一样.（回归双基）【真题变式】1 .(回归双基)如图 2,若OD = 5, AD = 12,则EC=.解：连接 OA,则 OA = ；52+ 122=13, BD=5+13=18,设 BE=AE=a,则 DE=a-12,在 RtABDE 中，a2= 182+(01- 12) 2,解得3939 9a= .EG = 2AD-AE = 2X 12- - =-.2222 .如图 3,已知 OB=5, CD=2,则 EG =.解：CD=2,半径为 5,从而 OD = 3,在 Rt

16、A ODG 中，DG = OG2- OD2=4, 设 CE = x,贝U DE=4+x, BD = AE+8=8+x,在 RtABDE 中，82+(4+ x)2= (8+x)2,解得 x=2.3 .(回归双基)如图 1,连AF、AC交BF于M,已知BD = 4, DE = 3,则(1) AF =;(2) BC=;(3 ) Sk AMF = .解：(1) . BD = 4, DE= 3, . BE=5=AE, AF = AB=45;(2)连接OA交BF于点N,由圆的对称性知 OAXBF,则BDEANE;.AN =4, EN =3,设圆的半径为 r, (r-4)2+ 82= r2,解得 r=10,

17、 BC=20;1MF CF 12 3贝 u = =一、人 BM BC 20 5,(3)易知 ON = 2CF= 10 4 = 6, CF= 12, BF =16,由 AB = AF , AC 平分/ BCF,. MF = BF= - X 6, Saamf=二MF , AN = ； X 6X 4= 12.8822案例5 圆与等腰三角形（2）【真题呈现】小明学习了垂径定理，做了下面的探究，根据题目要求帮小明完成探究.(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在。O中，C是AB的中点，直线 CD，AB于点E,则AE=BE.请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该

18、圆的一条折弦.如图2, PA, PB组成。O的一条折弦.C是劣弧AB的中点，直线 CDLPA于点E,则AE=PE+PB.请证明此结论；(3)如图3, PA、PB组成。O的一条折弦，若 C是优弧AB的中点，直线 CDLPA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论.（图2）（图3）【真题解读】第一问：证4 OAEOBE即可;第二问：CA= CB, . AC= BC,CP= CP, Z CAP= / CBP,再从结论 AE=PE+ PB,可考虑截长法，即在 AP上取AF=BP,再证EF=EP即可；第三问：用第二问的方法，可考虑补短法，即在PA的延长线上截取 AF=BP,连

19、接CF、AC、CP、CB,先证 AFCABPC;再证 EF=EP 即可.解：(1)略；（2）连接 AC, BC. . C为 AB 的中点，. . AC= BC, . Cp=Cp, . ZCAP=ZCBP,在 AP 上截取 AF=BP,连接 CF、CP, AFCBPC, . CF= CP, . CEXAP, ，EF = EP, . AE = AF+EF=BP+EF,即 AE= PE+ PB;(3) PE= AE + PB.证明： C是 AB 的中点，AC= BC,延长 PA 至UF 使 AF=BP,连 CF、CA、CP、CB,. /CAP+ /B=180 ,FAC+/CAP=180 , ./ B

20、=/FAC, FACA PBC, CF= CP,. CDXAP,PE=EF,PE= AE + AF = AE+PB.【解后反思】从条件看弧的中点可得到等弧，运用旋转可完成一些图形的变换.在运用旋转时，等角、等边是关键，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角也是常见旋转的工具.【真题变式】1. BC为。内一弦，A为优弧BAC的中点，D为劣弧AB上任意一点，过 A作AELBD于E, AFXCD 于F,则下列结论正确的有 (填序号).CD-BD/ABD = /ACD,/ EAF = /BAC,/ BAC=2/DEF,-ED= 2.【提示】: AD = AD,ABD=/ACD,故对;. AEXBD, A

21、FCD, ./AEB = /AFC=90 ,A 为BAC的中点，. AB = AC, . ABEAACF, . Z EAB=Z FAC,丁./ EAF=Z BAC,故对；. ABEA ACF, AE = AF,连 AD ,则AEDAFD, DE=DF, ./ DEF = Z DFE, / BDC=Z DEF + / DFE = 2/ DEF.BC=BC,BAC=Z BDC = 2Z DEF ,故对；CD-BDED2ED亩=2,故对;. ABEA ACF, . BE=CF. AAEDAAFD, . . DE = DF ,CF+ DF (BE-ED) DF + ED -= EDED故填.2.如图，

22、在O O中，直彳仝ABL弦CD,点P是AD上任一点,作AM DP延长线于PC- PDM,则一PM【提示】连接 AD、AC,过A作AN LCP于N.直径 ABXCD, . . Ac= Ad , AC=AD.Ap= Ap, / acp= /adp, amxmd, an cp, AMD ANC , DM = CN , AM = AN, . AP=AP, AMPA ANP, MP=PN,PC- PD CN + PN (DM MP) PN+PM 2PMPMMPPMT77= 2. PM3.如图，已知等边 ABC内接于。O, AB=2,点D为弧AC上一点，/ ABD = 45AELBD 于点 E,则 BDE

23、的周长是A【提示】运用真题结论：BE=ED + CD,BDC 的周长=BC+ BD + CD = BC+ BE+ED + CD=BC+ 2BE=2+ 2X 申AB = 2+25案例6看不见的圆一一路径问题【真题呈现】如图，扇形 OAB的圆心角的度数为 120 ,半彳5长为4, P为AB上的动点，PMXOA, PNXOB,足分另1J为M、N, D是4PMN的外心.当点P运动的过程中，点 M、N分别在半径上作相应运动，从点 离开点O时起，到点 M到达点O时止，点D运动的路径长为(B.兀C. 2【真题解读】当点N与点O重合时，作出当点M与点O重合时，作出PiMiO,外心 P2M2。，外心Di为PiO

24、的中点.D2为P2O的中点.当P在PP让运动时，取OP中点为D,则DM = DO = DP,DN =DO = DP.是 DM= DN = DP,从而点D为乙PMN的外心.点P运动时，OP= 4,从而DO = 2,点D在以O为圆心半径为2的RD?上运动从而所求得的路径长即为D1D2的长.又D1D2的圆心角为/ DiOD2=60 ,从而弧长为 ,故选择A.3【真题分解】1 .如图，扇形 AOB的半径为R, P为Ab上的动点,PMLOA于M, PN，OB于N, PMN外接圆半径为r.则工的值R解：连OP,取OP中点Q,由题意可知 OQ=QP= QM=QN.从而点 M、O、N、P在以Q为圆心，OQ长为

25、半径的圆上.于是 PMN的外接圆为。Q,从而r=OQ, R= OP,于PMXOA 于 M, PNXOB2 .如图，扇形 AOB的圆心角的度数为120。，半径长为6, P为Ab上的动点,于N.则线段MN的长为解：连OP,由/ OMP=90 , / ONP = 90知M、N在以OP为直径的圆上，则/ MPN=60 ,设OP的中点为 Q,从而/ MQN = 120 .由于 OA = 6,从而OP=6, QM = QN=3,有垂径定理可知 MN 3 33 .如图，扇形 AOB的圆心角的度数为120。，半径长为8, P为Ab上的动点，PMLOA于M, PNXOB于N.则四边形PMON的最大值为解：连OP

26、、MN,运用上一题的方法，由OA= 8,可知 OP= 8.由/ AOB= 120 ,可知 MN 4J3 ,于边形PMON；MNgDP 16 34 .（武汉四调）如图，直径AB、CD的夹角为60,P为。O上的一个动点（不与点A,B,C,D重合），PM、PN分别垂直于 CD, AB,垂足分别为 M、N.若。O的半径长为2,则MN的长（ B ）A.随P点运动而变化，最大值为 73B.等于MC.随P点运动而变化，最小值为 我D.随P点运动而变化，没有最值【真题变式】1.如图，四边形 ABCD为正方形，边长为3金,E在CD边上，CE=76,点P在线段CE上运动，DHL直线BP于H.当点P从C运动到E时，

27、求点H运动的路径长为 解：以BD为直径画圆，圆心为 O,由BC 3,知直径DB=6,从而半径为 R=3,连BE,延长后交O O于F,则点H的运动轨迹为弧CF,又BC 42 加,.- / EBC= 300 ,于是/ FOC= 2/ EBCCE .6= 60。从而弧CF的长为2 R60 =3602 .已知半圆O的直径AB长为8,点C在Ab上，且Be =2Ac ,点P在Cb上运动，Q为弦AP的中点.当点P从B运动到C时，点Q运动的路径长为 ED为半径，在解：连AC,取AC中点D,取AO中点E,连DE,则/ ADO = 90 ,以E为圆心,直线AB上方画圆，可知点 Q的轨迹为弧 DO,由于Bc=2Ac

28、,从而/ BOC=120 ,由DE / OC知/DEO=120 ,又AB=8,从而AO = 4,于是OE = 2,于是弧 DO的长为2 R 皿=22 1 = L3603 33 .如图所示，AB为。O的直径，弦 CDLAB于E, E为OB的中点，BE= J3 ,点P在Cb上运动，连AP, DFXAPT F,当点P从C运动到点B时，则点F的运动路径的长为 解：由BE 而知CE 芯,OB 2石，从而AE 373 , DE TOD_OE7 3 ,连AD、AC,从而AD JAE_De 6, AC = 6,可知 ACD为等边三角形，取 AD中点为M, AC中点为G,以M为圆心，3为半径作圆 M,则点F在M

29、上运动，当P在C点时，F在G点，当P在B时，F在点E;当P在弧CB上运动时，F在弧GE上运动，所求路径长为弧 GE的长，又可知/ GME=60 ,从而弧GE的长为2 R -60- =3604 .如图所示，O O的半径为6,弦ABCD,且AB= 6CD = 6，3 ,点P在Cd上运动，连 PA、PB, BE，PA于E, AF，PB于F, BE交AF于G,当点P从C运动到D时，求点G运动路径的长.解：有 R=6, AB 6J3, CD 6用,可知圆心角/ AOB= 120 , Z COD = 120 ,从而/ APB= 60 ,于是Z AGB=120 ,当P在C点时，G在A点，当P在D点时，G在B

30、点，做弧 AB关于直线 AB的对称图形，得弧 AOB,当P在弧CD上运动时，G在弧AOB上运动，从而弧 AOB的长=弧AB 的长=2 R =43605 .如图所示，oo的直径ab长为6亚，点c、d在Ab上，Ac = Cd = Db ,点p在Cd上运动，连pa、PB, I为4PAB的内心，当点 P从C运动到D时，则点I运动路径的长为 .在弧6.如图所示,动，APC的外接圆的圆心为O,当点P从B运动到D时，则点O运动路径的长为解：连AI、IB,则/ A旧= 135。，取下半圆弧 AB的中点Q, Q与P在直线AB异侧，则QA = 6, QB =6, QI = 6,连 QC、QD,则/ COD =60

31、 , / CQD = 30 ,以 Q 为圆心，6 为半径，作圆 Q, 设圆Q与QC交于M,与QD交于N,当P在C点时，I在点M,当P在D点时，I在N,当PCD, I在弧MN,从而点I运动的路径长为2 R -60- =360 BAC 中，/ BAC= 120 , AB = AC,点 D 在 BC 边上，BD = 2DC.点 P 在线段 BD 上运解：由题意可知,DC -BC 2,BD = 4, AB 26，AC 2 73 .作线段AC的垂直平分线l ,则4 3APC外接圆的圆心在直线l上运动，过点 A作BC的垂线与l交于M,作AD的垂直平分线交l于N ,当P在B点时，O在M点，当P在D点时，O在

32、N点；点P从B运动到D时，点 O从M 运动到N,所求路径 MN的长为4.7.如图所示，平面直角坐标系中，点A（0, 2）, B（-2, 0）, C（6, 0）,点P在x轴正半轴上运动.以 AP为直角边作等腰直角三角形，/ APQ= 90 , M为BQ的中点，点 Q与B在直线AP异侧，当点P从原 点O出发运动到C时，则点M运动路径的长为 .x上，当P在O点时，t0,解：设P为（t, 0）,则Q为（2+ t, t）,从而M为，点M在直线y2 2M为（0, 0）;当P在C时，t = 6, M为（3, 3）,从而点 M运动路径长为 J3 372 .案例7几何定值问题【真题呈现】如图，扇形AOD中，/A

33、OD = 90 ,OA = 6,点P为Ad上任意一点（不与点A和D重合），PQ OD于Q,点I为 OPQ的内心，过O, I和D三点的圆的半径为r .则当点P在Ad上运动时，r的值满足（D ）A. 0 r 3B. r 3C. 3 r 372D. r 372【真题解读】分析四个选项，我们看到B和D意味着r为定值，我们作出 OID的外接圆。E,又作出直径 DF,此时/ DOF= 90 ,由OA = 6,知OD = 6,从而r为定值等价于/ F为定角，由于圆内接四边形 OFDI中， /F+/ OID= 180 ,这要求/ OID为定角，我们注意到 OIP和AOID关于OI轴对称，从而要求/ OIP 为

34、定角，这一点恰好成立，易知/ OIP= 135。，详细推理过程，请同学们自己给出.由/ OQP=90 ,可知/ OIP=135 ,从而/ OID = 135 ,于是/ OFD = 180 / OID=45 ,从而 OFD为等腰直角三角形，于是 DF 72OD 6石，又DF 2r ,从而r /，故而选择 D.【解后反思】如图4ABP中，AB为定长线段，P为动点，若保持/ APB= 9为定角），则 APB的外接圆半径 R为 定值.这个结论，我们称为“定线定角定半径”.【真题分解】1. ABC 中,I 为内心，/ BAC=a,则/ BIC =（用含a的式子表示）.解：BACABCACB18090IB

35、CICB1 ABC2ACB从而BIC180IBCICB180909012122.如图,四边形ABCD,内接于。O,CD为直径,/ BAD= 135,AB= 3夜，AD = 1,则 CD =知 BEA和 BCD为等腰直角三角形，由 AB解：作BE,直线 AD于E,连BD,由/ BAD=135 ,=3夜知 AE = 3, BE = 3,又 AD = 1 ,从而ED = EA + AD = 4 ,于是 Rt BED 中，22BD BE ED3. AABC 中，/ A= 905, rBCD 中，CD VBC1 B5T 5我.,AB=6, AC = 8, I为ABC的内心，求 旧C的外接圆的半径.解：由

36、题 1 中结论知，/ BIC=135 ,由 AB =6, AC= 8, /A=90 ,知 BC Jab2 AC2 10,作出ABIC的外接圆O,又作出直径 CD,连BD,从而/ BDC = 45 , BDC为等腰直角三角形，是BD VCD_BCT 1072 ,从而旧C的外接圆的半径为 -BD 5宓.24.如图， ABC 中，/ BAC=60 ,AB = 273 , AC= 33 , I为ABC的内心，则4 旧C的外接圆的半径R=是 BC= BEEC解：由/ BAC= 60 知，/ BIC=120 ,作 CE AB 于 E,又作出连 BD, AAEC 中，AC= J3, AE =变,EC= 3

37、,从而 BE = ABAE=33 ,于222是 BC= V3 R,从而 V3 R=3,=3, ABDC 中，/D = 60 , / BCD=30 ,从而 DC= 2R, BD= R,于解：由/ ACO=90圆。E,又作。,可知/ AIO = 135 ,易知 AIOABIO ,从而/ BIO=135 ,作出 BIO的外接E的直径BD,连OD, / D=180 / BIO = 45 ,从而，BOD为等腰直角三角形，于是 BD= 72BO,从而 BO=42 , AOC 中，AC=-AO=- BO=2& .【真题变式】1.（回归教材）如图，点P在线段AB上运动，4APM和4PBN为等边三角形，点M,

38、N在直线AB同侧,AN和BM相交于点H,已知AB=36, AAHB外接圆半径为 R,求R的值.5.如图，扇形 AOB中，/AOA = 30 , ACOB于C, AAOC的内心为I,以I, O, B为顶点的三角形 的外接圆直径为 8,则AC的长为.解：先证 APNA MPB,由此可知/ AHB=120 , 作出AAHB的外接圆O,又作出直径 BC,连AC,则/ACB=60 , /ABC=30 ,从而 BC= 2R, AC=R, 于是 ABC中，R2+ (36)2= (2R) 2,从而 R=3.2.如图，点P在线段AB上运动， APM和 PBN为等边三角形，点 M, N在直线 AB同侧，AN和BM

39、 相交于点H,已知AB = 6,求AAHB的面积的最大值.HNAPB解：与上题相同的辅助线，可求出AHB的外接圆半径 R= 2邪,点H的运动轨迹为劣弧 AB （去掉A、B两端点），易知当 H为弧AB的中点时,1 AHB的面积最大，此时 SaAHB =一 X6X察=34.3.如图，线段 AB长为8,点P在AB上运动，以 AP为直径作。O, BDXAB,且BD= BP, AD交。O 于点E,求 ABE外接圆半径 R的长.解：连PE、PD,从而/ AEP=90 ,于是B、E在以PD为直径的圆上，作出此圆，从而 BD = BP, / BPD=ZBDP=45 ,于是/ AEB=135 ,再彳出 AEB 的外接圆 F,又作出F的直径AG,从而AG= J2AB=8j2,又AG = 2R,于是R=442 .案例8几何最值问题【真题呈现】如图，在。中，弦AD等于半径，B为优弧Ad上的一动点，等腰 ABC的底边所在直线经过点 D,若。O的半径等于1,则OC的长不可能为（）AA. 2- 73B. 73-1C. 2 D.T3 + 1【真题解读】连AO, DO,则4AOD为等边三角形，从而/ AOD = 60