矩阵的初等变换与线性方程组

1、-1-线线 性性 代代 数数任课教师任课教师 程林凤程林凤-2- 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。表达的。 例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为

2、线性个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。-3- 线性代数作为独立的分支直到线性代数作为独立的分支直到2020世纪才形成，然世纪才形成，然而它的历史却非常久远。而它的历史却非常久远。 最古老的线性问题是最古老的线性问题是线性方程组线性方程组的解法，在中的解法，在中国古代的数学著作国古代的数学著作九章算术九章算术方程方程中，已经作中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换施行初等变换，消去，消去未知量的方法。未

3、知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，入，行列式行列式和和矩阵矩阵在在1819世纪期间先后产生，为处世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。的发展。-4- 向量概念的引入，形成了向量概念的引入，形成了向量空间向量空间的概念。线性的概念。线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。成了线

4、性代数的中心内容。 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。许多经济学、工程学、物理、化学等领域的的思想。许多经济学、工程学、物理、化学等领域的大型线性问题的计算使得线性代数成为应用最广泛的大型线性问题的计算使得线性代数成为应用最广泛的数学学科之一。数学学科之一。-5-6-今有30000美元投资给三个投资公司A，B，C，投资给这三个公司的(平均)年利润率分别为1

5、2、15、22。投资者投资目标是(平均)年总利润为6000美元，投资者要求投给公司B的资金是投给公司A的2倍。为了达到这个投资目标与要求，应当投资每个公司各多少美元?123,x x x12312312300000.120.150.22600020 xxxxxxxx1232500,5000,22500 xxx解解 设投资于公司A，B，C的资金分别为问题问题1 1（投资问题）（投资问题）-7-11212111bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa221122222121bxaxaxann问题问题：（1）如何判别（*）是否有解？若有解，解是否唯一？（2）如何解（*）？（3）当（*）有无穷多解时

6、，其解如何表示？（*）问题问题2. 线性方程组的一般理论线性方程组的一般理论-8- 问题问题3 航线连接问题航线连接问题 四个城市间的单向航线如图：四个城市间的单向航线如图：1234 0101001000011110可简单地用一个数表来表示：可简单地用一个数表来表示：-9- 问题问题4 Fibonacci数列数列(兔子繁殖问题）兔子繁殖问题） Fibonacci数列满足递推关系式：数列满足递推关系式：, 2 , 1 , 0,12nuuunnn其中其中1,110uu 利用利用矩阵的对角化方法矩阵的对角化方法，可以得到该数列一般项的显，可以得到该数列一般项的显示表达式。示表达式。问题问题5 二次曲

7、面的图形二次曲面的图形线性代数的最基本研究对象线性代数的最基本研究对象线性方程组线性方程组线性代数研究中的最基本工具线性代数研究中的最基本工具矩阵矩阵线性代数研究的非常有用的方法线性代数研究的非常有用的方法矩阵的初等变换矩阵的初等变换-10- -11-排排成成，；，个个数数由由),21,21(njmianmij mnmmnnaaaaaaaaa212222111211矩矩阵阵。简简称称列列矩矩阵阵行行称称为为nmnm ,。或或或或可可简简记记为为矩矩阵阵nmijnmijAaAaAA )()(列列的的数数表表行行的的nm A 为表示它是一个为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。整体

8、，总是加一个括号，并用大写字母记之。列列的的元元素素。行行第第的的第第称称为为矩矩阵阵jiAaij-12-(1) 11的矩阵可以理解为一个数。的矩阵可以理解为一个数。 (2) 行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶方阶方阵或阵或 n 阶矩阵。阶矩阵。 (3) 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 naaaA,21 称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量。维行向量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。(4) 只有一列的矩阵只有一列的矩阵 maaaA21-13-(5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。(6) 矩阵矩阵

9、111E(约定未写出的元素全为零约定未写出的元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。(7) 矩阵矩阵 nD 21称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作),diag(21nD -14-设设 ，如果，如果qpijnmijbBaA )(,)(qnpm ,(此时称此时称A与与B是是) 且且), 1;, 1(njmibaijij 则称则称 ，记作，记作 A = B。 0000 000000问问： 与与 相等吗？相等吗？-15-(3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上， 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种第三种(1)

10、交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为jirr (2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为irk 记为记为jirkr 类似定义三种类似定义三种jiijikcckkccc )3()0()2()1(以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的-16-及及( (行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”) 书书P.5-定义定义4 0000100021200211 00000000002100010230行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵-17-行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵 0000100001100201 0000000000210001021

11、0（3）台阶左下方元素全为零；）台阶左下方元素全为零；（1）每个台阶上只有一行；）每个台阶上只有一行；（2）每个台阶上第一个元素不为零。）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形 (1)(2)(3) + (4)台阶上的第一个元素为台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。-18- 书书P6-定理定理1.1.1 97963422644121121112 9796321132211124121121rr 321r 例例1 3433063550022204121132rr 143rr 132rr 310006200001110

12、41211221r243rr 235rr -19- 000003100001110412110000031000301107021143rr 342rr 31000620000111041211 0000031000301104010121rr 31rr 32rr -20-32212235131132125121620428312131021200001045011321r00000000005410031021r练习练习 将下列矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵将下列矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵,再化为行最简阶梯形矩阵再化为行最简阶梯形矩阵-21-jirr jirr ikrirk1jikrr

13、jikrr 初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换-22-如果如果 ,则称则称 (也称也称)BA 矩阵的相抵关系是不是一个等价关系矩阵的相抵关系是不是一个等价关系?(等价关系等价关系)在一个集合在一个集合 S 中如果有一种关系中如果有一种关系 R 满足满足 (1) 自反性：自反性：aRa; (2) 对称性：对称性：aRb bRa; (3) 传递性：传递性：aRb, bRc aRc。则称则称 R 为为 S 的一个的一个。作业作业 P7 3 4课后思考课后思考 P7 5 6-23-24-11212111bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa221

14、122222121bxaxaxann（*）线性方程组线性方程组记记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 12nxxxx12mbbbb一一. 线性方程组的矩阵形式线性方程组的矩阵形式bAA-25-11212111bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa221122222121bxaxaxann（*）（1 1）若）若0b ，则称（则称（* *）为）为非齐次线性方程组非齐次线性方程组; ;（2 2）若）若0b ，则称（则称（* *）为）为齐次线性方程组齐次线性方程组. .-26-1231232341368xxxxxx例例1 线性方程组线性方程组（*）234316A系数矩阵系数

15、矩阵23413168B增广矩阵增广矩阵记记18b 123xxxx-27-1231231232342(1)21(2)2282(3)xxxxxxxxx 引例引例 用加减消元法解方程用加减消元法解方程组组234212112282B(1)(2)12321(1)xxx 1232342(2)xxx12341(3)xxx 121123421141 )3(21-28-(1)(2)1(3)312321(1)xxx 1232342(2)xxx12341(3)xxx 121113421141 (2)2 (1) (3)(1)12321(1)xxx 2320(2)xx2330(3)xx121101200130-29-(

16、2)2 (1) (3)(1)12321(1)xxx 2320(2)xx2330(3)xx121101200130(1)2 (2) (3)(2)1351(1)xx 2320(2)xx30(3)x105101200010-30-(1)2 (2) (3)(2)1351(1)xx 2320(2)xx30(3)x1051012000101231,0,0 xxx (2)2 (3) 1 (3) 11(1)x 20(2)x 30(3)x 100101000010(1)5 (3) -31-例例2求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx对对增

17、广矩阵增广矩阵用行变换化用行变换化阶梯形阶梯形 200001045011321322122351311321rA最后一行对应的方程是：最后一行对应的方程是： , ,所以无解。所以无解。-32- 25262428323 243214214321421xxxxxxxxxxxxxx 0000000000541003102125121620428312131021rA解方程组解方程组例例3:把增广矩阵用把增广矩阵用行行变换化阶梯形变换化阶梯形,判断是否有解判断是否有解;若有解若有解,继继续化为行最简阶梯形矩阵。续化为行最简阶梯形矩阵。-33-：写出等价的：写出等价的(独立的独立的)方程组，保留第一个未

18、知数在左边方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为其余的移到右边，移到右边的称为自由变量自由变量。 543243421xxxxx 5410031021：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。2412,kxkx 令令 242312211 54 32kxkxkxkkx通解通解 543243421xxxxx-34-思考思考 利用矩阵解线性非齐次方程组的步骤利用矩阵解线性非齐次方程组的步骤.祥见教材第祥见教材第12页页.练习练习 解方程组解方程组4325242122432143214321xxxxxxxxxxxx-35-例例4求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 341122121221A 46304630122113122rrrr 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶梯形:-36- 00003/42101221 00003/42103/520123rr 212rr 0000