矩阵的乘法运算

1、上海八中上海八中 许颖许颖 2009年年12月月10日日思考问题：思考问题：记甲、乙、丙三位同学的语文平时、期中、期末记甲、乙、丙三位同学的语文平时、期中、期末成绩为矩阵成绩为矩阵A，平时、期中、期末成绩的所占比例为，平时、期中、期末成绩的所占比例为矩阵矩阵B，这三位同学的语文总评成绩用矩阵，这三位同学的语文总评成绩用矩阵C表示。表示。 908060807090757080A 4 . 03 . 03 . 0B甲同学的语文总评成绩为甲同学的语文总评成绩为 80 0.3+70 0.3+75 0.4=75 乙同学的语文总评成绩为乙同学的语文总评成绩为 90 0.3+70 0.3+80 0.4=80

2、丙同学的语文总评成绩为丙同学的语文总评成绩为 60 0.3+80 0.3+90 0.4=78 解：解：我们还可以利用矩阵某种运算得到上述我们还可以利用矩阵某种运算得到上述总评成绩，这就是我们今天要学习的主题。总评成绩，这就是我们今天要学习的主题。 788075C 323122211211232221131211,bbbbbbBaaaaaaA 22211211ccccC如果如果 31132112111111bababac 32132212121112bababac 31232122112121bababac 32232222122122bababac 那么矩阵那么矩阵C叫做矩阵叫做矩阵A和和B的

3、乘积，记作的乘积，记作C=AB。矩阵矩阵A的第的第1行的行向行的行向量与矩阵量与矩阵B的第的第1列的列的列向量的数量积列向量的数量积 矩阵矩阵A的第的第2行的行向行的行向量与矩阵量与矩阵B的第的第1列的列的列向量的数量积列向量的数量积 1. 矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义 一般地，设一般地，设A是是m k阶矩阵，阶矩阵，B是是k n阶矩阵，阶矩阵，设设C为为m n矩阵。矩阵。 如果矩阵如果矩阵C中第中第i行第行第j列元素列元素cij是矩阵是矩阵A第第i个行个行向量与矩阵向量与矩阵B的第的第j个列向量的数量积，那么个列向量的数量积，那么C矩矩阵叫做阵叫做A与与B的乘积的乘积.记作：记作：C=AB

4、mnmmnnknkknnmkmmkkcccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaaABC212222111211212222111211212222111211), 2 , 1;2 , 1(2211njmibababackjikjijiij ，2. 定义的推广定义的推广 908060807090757080A 4 . 03 . 03 . 0B 788075ABC思考问题的另解思考问题的另解例例1:设设 5251,3132,1212,1111DCBA求：求：(1)AB和和BA；(2)AC和和AD；(3)(BA)C和和B(AC) (4)A(C+D)和和AC+AD； 解：解：(1) 0000

5、AB 3333BA(2) 0303AC 0303AD(3) 090931323333)(CBA 090903031212)(ACB(4) 060623231111)(DCA 060603030303ADAC（1）两矩阵可乘的条件：）两矩阵可乘的条件： 矩阵矩阵A的列数与矩阵的列数与矩阵B的行数是相等的。的行数是相等的。 （2）在数乘中，）在数乘中，ab=0a=0或或b=0； 在矩阵中，在矩阵中，AB=0 A=0或或B=0 （3）在数乘中，）在数乘中，ab=ba；在矩阵中，在矩阵中， 一般情况下，一般情况下，AB BA （4）在数的乘法中，）在数的乘法中，ab=ac且且a 0b=c；在矩阵乘法中

6、，在矩阵乘法中，AB=AC且且A 0 B=C 分配律分配律 AB+AC=A(B+C) (A+B)C=AC+BC 结合律结合律 (AB)C=A(BC) 5. 进一步有进一步有1、 将二元一次方程组将二元一次方程组 用矩阵的乘法运算来表示。用矩阵的乘法运算来表示。 222111cybxacybxa解：用矩阵乘法运算来表示：解：用矩阵乘法运算来表示： 212211ccyxbaba2、 已知矩阵已知矩阵 ，矩阵，矩阵 ，求，求AB。 0110A 21B 12AB解：解： 21 12向量向量 经过矩阵经过矩阵A变换为向量变换为向量 。， 变换后的向量和原向量关于变换后的向量和原向量关于 对称。对称。 直

7、线直线y=x1 当矩阵当矩阵A 的列数与矩阵的列数与矩阵B的行数相同时，的行数相同时， 两矩阵可以相乘。两矩阵可以相乘。2 若若C=AB，则矩阵，则矩阵C中第中第i行第行第j列元素列元素cij 是矩阵是矩阵A第第i个行向量与矩阵个行向量与矩阵B的第的第j个个 列向量的数量积。列向量的数量积。3 矩阵的乘法满足结合律和乘法对加法的分配律。矩阵的乘法满足结合律和乘法对加法的分配律。4 一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律。一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律。1、必做题：练习册、必做题：练习册P47/3(2)(3)，P48/5(2)，P49/22、思考题：、思考题：(A)练习册练习册P50/4 (B)如