电路(基本概念相量表示)

1、4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示：u、it0电子通讯技术中通常接触到的电压和电流，其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如图所示。电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化的正弦电压和正弦电流。表达式为：)sin(umtUu)sin(imtIiu、it0it 正弦交流电的优越性：正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换便于传输；易于变换便于运算；便于运算；有利于电器设备的运行；有利于电器设备的运行；

2、 . . . . .i以正弦电流为例)sin(imtIi振幅振幅角频率角频率、和称为正弦量的三要素。相位相位初相位初相位itOImi波形如图波形如图1. 正弦交流电的周期、频率和角频率： 正弦量在单位时间内变化的弧度数。fT22： 正弦量完整变化一周所需要的时间。： 正弦量在单位时间内变化的周数。Tf12. 正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值)sin()(imtItiIIIUUU414.12707.02mmm是以解析式表示的：就是上式中的Im， Im反映了正弦量振荡的幅度。指与交流电热效应相同的直流电数值。符号：U、IRi交流电交流电i 通过电阻通过电阻R时，在时，在t 时间内产生的热量为时间

3、内产生的热量为QRI例例直流电直流电I 通过相同电阻通过相同电阻R时，时，在在t 时间内产生的热量也为时间内产生的热量也为Q即：热效应相同的直流电流I称之为交流电流i 的。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。3. 正弦交流电的相位、初相和相位差正弦量解析式中随时间变化的电角度)sin( ),sin(imumtIitUuiuiutt)()(相位：时的相位 ，它确定了正弦量在计时起点的位置。初相：两个同频率正弦量之间的相位之差。相位差：例例的相位差为：相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的0，u 与 i 同相。0，u 超前 i，或 i滞后 u。，u 与 i

4、反相。2，u 与 i 正交。(a) u 与 i 同相 (b) u 超前 iu、itOuiu、itOuiu、itOuiu、itOui(c) u 与 i 反相 (d) u 与 i 正交例例幅值：幅值：A707. 021A 1IIm301000sinti已知：已知：Hz159210002rad/s 1000 f频率：频率：30 初相位：初相位：4.2 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示复数复数A在复平面上是一个点，在复平面上是一个点，j0b1a原点指向复数的箭头称为它的原点指向复数的箭头称为它的,模模r与正向实轴之间的夹角称为复与正向实轴之间的夹角称为复数数A的的；A在实轴上的投影是它的在实轴上的

5、投影是它的； A在虚轴上的投影在虚轴上的投影称为其称为其。复数复数A的的为：为：由图可得出复数由图可得出复数A的模值的模值r和幅角和幅角分别为：分别为：abbararctan 22，r由图还可得出复数A与模复数还可以表示为和：41 .53sin531 .53cos5ba又可得到复数A的为：j0b1arr及幅角之间的关系为已知复数A的模r=5，幅角=53.1，写出复数A的极坐标形式和代数形式表达式。极坐标形式为：A=5/53.1sincosrbra代数表达形式为：A=3+j4复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式较方便。设有两个复数分别为：设有两个复数分别为：A1、A2加、

6、减、乘、除的运算公式加、减、乘、除的运算公式2222211111 / /jbarAjbarA212121212121212121212121)()()()(rrAArrAAbbjaaAAbbjaaAA在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：)1803/4(arctan9 .1265 43) 3/4arctan180(9 .1265 43) 3/4arctan(1 .535 43) 3/4(arctan1 .535 43AjAAjAAjAAjA第三象限第二象限第四象限第一象限代数形式中虚部数值前面的 ，一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90；除以j相当于在复平面上顺时针

7、旋转 90（ 数学课程中旋转因子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j )。已知复数已知复数A=4+j5，B=6- -j2， 求求A+B、A- -B、AB、AB。已知复数已知复数A=10/ 30，B=8/-45 求求A+B、A- -B、AB、AB。7 .69/01. 1)4 .18(3 .51/32. 64 . 69 .32/ 4 .40)4 .18(3 .51/32. 64 . 64 .18/32. 626 3 .51/ 4 . 654106/28. 772)2(5 ) 64(7 .16/ 4 .10310) 25 () 64(BABAjBjAjjBAjjBA第第2题自己练习。题自己练习。

8、与正弦量相对应的复电压和复电流称之为。为与一般复数区别，相量的头顶上一般加符号“ ”。正弦量i=14.1sin(t+36.9)A，若用相量表示，其最大值相量为：A9 .36/ 1 .14mI有效值相量为：A9 .36/10I由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相位。正弦量相量)sin(imtIiimmII)sin(umtUuummUU)sin(2itIiII)sin(2utUuUU符号说明瞬时值瞬时值 - 小写小写u、i有效值有效值 - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - 大写大写 + “.”U最大

9、值最大值 - 大写大写+ +下标下标mU解解：A506 .86301003024 .141jIV5 .190110602206021 .311jU已知瞬时值，求相量。已知: V3314sin1 .311A6314sin4 .141tuti求：求： i 、u 的的有效值相量有效值相量 例例例例求：21ii 、已知相量，求瞬时值。两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流的有效值相量形式为：A10A601003021jeIIA )306280sin(210A )606280sin(210021titi解：6280100022fsrad按照各个正弦量的按照各个正弦量的和和关系用关系用画出的若干个相量的

10、图形，称为画出的若干个相量的图形，称为。把它们表示为相量，并且画在相量图中。例例，222111 sin2 sin2tUutUu用有效值相量表示，即：U1=U1 1U2=U2 2画在相量图中：画在相量图中：12U2U1也可以把复平面省略，直接画作也可以把复平面省略，直接画作12U2U1虚线可以不画虚线可以不画+1j利用相量图中的几何关系，可简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。U21222111 sin2 sin2uuutUutUu，求，利用相量图辅助分析，12U2U1根据平行四边形法则，由相量图可以清楚地看出：221122112221122211coscossinsinarctan)s

11、insin()coscos(UUUUUUUUUU1cos1+U2cos 2 2U1sin 1+U2sin 2 21. 把下列正弦量表示为有效值相量：V)30cos(2220 3V)90sin(2220 2A)45sin(10 (1)tututi）（）（V60/220V90/220A45/07. 7UUI2. 指出下列各式的错误并改正：V60/380 3A)9 .36sin(2109 .36/10 2A2220)4sin(2220 (1)45UtIetuj）（）（正弦量和相量正弦量和相量之间只有对应之间只有对应没有相等。没有相等。电压单位是电压单位是V相量上面要加相量上面要加符号符号“”！I =

12、URi =uR一、电阻元件一、电阻元件1. 电阻元件上的电压、电流关系电阻元件上的电压、电流关系 iR utUusin2tItRURuisinsin2m电压、电流的瞬时值表达式为：电压、电流的瞬时值表达式为： 由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：2. 功率功率 )(sin2)(sin2tUutIitUIUItItUiup2cossinsinmm （1）瞬时功率）瞬时功率 p瞬时功率用小写瞬时功率用小写则1. p随时间变化；随时间变化； 2. 2. p0，为耗能元件。，为耗

13、能元件。uip=UI-UIcos2 ttUIUIcos2 tu、i、p ( (一个周期内的平均值一个周期内的平均值) ) tUIUItItUiup2cossinsinmm由由:可得可得:P = UI例例求：求：“220V、100W”和和“220V、40W”灯泡的电阻？灯泡的电阻？平均功率用大写平均功率用大写121040220484100220224022100PURPUR解解：电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之为为。i uL)90sin(cos)si

14、n(LmmmLtUtLIdttIdLdtdiLu1. 电感元件上的电压、电流关系电感元件上的电压、电流关系 tIisin2设通过设通过L中的电流为：中的电流为： 则则L两端的电压为：两端的电压为： 由式推出由式推出L L 的电压的电压电流在相位上存在电流在相位上存在9090的正交关系，的正交关系，且电压超前电流。且电压超前电流。电压电流之间的数量关系：电压电流之间的数量关系：dtdiLu L二、电感元件二、电感元件 XL=2f L=L，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍

15、作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。感抗与哪些感抗与哪些因素有关？因素有关？XL与与频率频率成成；与；与电感量电感量L成成直流情直流情况下感况下感抗为多抗为多大？大？IUXLL直流下频率直流下频率f =0，所以，所以XL=0。u tUutIicossinLmLmtIUtItUiup2sinsincosLmLmL （1）瞬时功率）瞬时功率 pip=ULIsin2 ttu i 同同向向,吸收电能吸收电能;储存磁能储存磁能;p 0u i 反反向向,送出能量送出能量;释放磁能释放磁能;p 0u i 反反向向,送出能量送出能量;释放磁能释放磁能;p 0u i 反反向向,送出能量送出能

16、量;电容放电电容放电;p 0u i 反反向向,送出能量送出能量;电容放电电容放电;p 0电容元件和电感元电容元件和电感元件相同，只有能量件相同，只有能量交换而不耗能，因交换而不耗能，因此也是此也是储能元件。储能元件。p为正弦波，频率为为正弦波，频率为ui 的的2倍；在一个周期内，倍；在一个周期内，C充充电吸收的电能等于它放电电吸收的电能等于它放电发出的电能。发出的电能。P P = 0= 0，电容元件不耗能，电容元件不耗能（2）平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P（3） 无功功率无功功率CUXIUIQ2C2CCC1. 电容元件在直流、高频电路中如何？电容元件在直流、高频电路中如何？2. 电

17、感元件和电容元件有什么异同？电感元件和电容元件有什么异同？直流时直流时C相当于开路，高频时相当于开路，高频时C相当于短路。相当于短路。 L和和C上都存在相位上都存在相位，所不同的是，所不同的是 上上， 上上; L和和C都是都是直流情况下直流情况下C相相当于当于；L相当于相当于CUICuiCUIXUiC）（；）（；）（；）（4 3 2 1LUILuiLUIXUim）（；）（；）（；）（4 3 2 1L想想想想 练练练练1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？判断下列表达式的正误。RuiRUiRUIRUim）（；）（；）（；）（4 3 2 12.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是

18、多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。0。超前且，iu 90。超前且ui ,90电阻元件上电压与电流的相位同相，电感元件上电压与电流的相位差感抗与频率成正比，直流情况下f =0，L相当于短路；高频情况下，由于感抗很大，L 相当于开路。高频情况下，由于容抗近似等于零，C相当于短路。电容元件上电压与电流的相位差容抗与频率成反比，直流情况下f =0，C相当于开路；一、基尔霍夫节点电流定律的相量形式一、基尔霍夫节点电流定律的相量形式 正弦电路中任一节点，与它相连接的各支路电流的相量代数和为零，即 上式就是基尔霍夫节点电流定律的相量形式，简称KCL的相量形式。 00mII或上式就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式，简称KVL的相量形式。 00mUU或二、回路电压定律的相量形式二、回路电压定律的相量形式 正弦电路中，任一闭合回路，各段电压的相量代数和为零，即 综上所述，正弦电路的电流、电压的瞬时值关系，相量关系都满足KCL和KVL，而有效值的关系一般不满足，要由相量的关系决定。 因此正弦电路的某