线性代数全集精品专业课件

1、1精品 PPT 欢迎下载 可修改课课程程l 线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。2精品 PPT 欢迎下载 可修改内内容容l 线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。l 既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。 3精品 PPT 欢迎下载 可修改用用途途l 线性代数理论不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科大学生的一门重要的

2、数学基础课。该课程的特点是：公式多，式子大，符号繁，但规律性强，课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力。4精品 PPT 欢迎下载 可修改l 本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法。此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则。5精品 PPT 欢迎下载 可修改l1、 二元线性方程组 22221211212111bxaxabxaxa6精品 PPT 欢迎下载 可修改 211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa7精品 PPT 欢迎下载 可修改l当

3、 时，l求得方程组有唯一解：021122211aaaa211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx8精品 PPT 欢迎下载 可修改 22111121121122221212122211babaabbaDababbaabD2221121121122211aaaaaaaaD9精品 PPT 欢迎下载 可修改 DDxDDx221110精品 PPT 欢迎下载 可修改l9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。2022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022-3-182022-3

4、-182022-3-183/18/2022 8:35:35 PMl11、人总是珍惜为得到。2022-3-182022-3-182022-3-18Mar-2218-Mar-22l12、人乱于心，不宽余请。2022-3-182022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022l14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月18日星期五2022-3-182022-3-182022-3-18l15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。2022年

5、3月2022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022l16、业余生活要有意义，不要越轨。2022-3-182022-3-18March 18, 2022l17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3-18l例如23)2(435342512精品 PPT 欢迎下载 可修改l9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。2022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022 8:35

6、:35 PMl11、人总是珍惜为得到。2022-3-182022-3-182022-3-18Mar-2218-Mar-22l12、人乱于心，不宽余请。2022-3-182022-3-182022-3-18Friday, March 18, 2022l13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3-183/18/2022l14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月18日星期五2022-3-182022-3-182022-3-18l15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。2022年3月2022-3-182022-3-182022-3

7、-183/18/2022l16、业余生活要有意义，不要越轨。2022-3-182022-3-18March 18, 2022l17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2022-3-182022-3-182022-3-182022-3xxx14精品 PPT 欢迎下载 可修改104231D1945311D352112D101911DDx22310DxD15精品 PPT 欢迎下载 可修改 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa16精品 PPT 欢迎下载 可修改0333231232221131211aaaaa

8、aaaaD时，17精品 PPT 欢迎下载 可修改DDxDDxDDx33221118精品 PPT 欢迎下载 可修改3332323222131211aabaabaabD 3333123221131112abaabaabaD 1112132122231323aabDaabaab19精品 PPT 欢迎下载 可修改l 322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD20精品 PPT 欢迎下载 可修改7628439519876543210-357-249-16821精品 PPT 欢迎下载 可

9、修改021515321321321xxxxxxxxx22精品 PPT 欢迎下载 可修改6211151511D182101515111D62011115112D60111511113D311DDx122DDx133DDx23精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb1111221121122222112224精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnjabaabaabaD122211111nj,2,125精品 PPT 欢迎下载 可修改DDxjjnj, 2 , 1l（1）D=

10、？（怎么算）？l（2）当D0时，方程组是否有唯一解？l（3）若D0 时，方程组有唯一解，解的形式是否是 26精品 PPT 欢迎下载 可修改l1、全排列l用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即： 123，231，312，132，213，32127精品 PPT 欢迎下载 可修改l 一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？l这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；l在从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；l于是：(1)3 2 1!nPn nn 28精品 PPT

11、 欢迎下载 可修改l对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。 29精品 PPT 欢迎下载 可修改niinttttt121), 2 , 1(niPi12nP PP 不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准次序，设 为这个自然数的一个n级排列，考虑元素 ，ipipitit如果比 大的，且排在 前面的元素有 个，说这个元素的逆序是 个

12、，全体元素逆序之和即是 的逆序数，12nP PP30精品 PPT 欢迎下载 可修改l例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为： t = 1 + 3 + 0 + 1 + 0 = 5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为l t=1+2+0+1+0=4l可见排列 3 2 5 1 4 为奇排列，而 3 1 5 2 4 为偶排列，可见一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 31精品 PPT 欢迎下载 可修改l

13、 定义定义1 设有n2个数，排成n行n列的数表nnnnnnaaaaaaaaa212222111211l 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如的项，其中 为自然数1，2，n，的一个排列，t 为这个排列的逆序数。1212(1)ntPPnPaaa12nPPP 32精品 PPT 欢迎下载 可修改l这样的排列共有n!个，所有这些项的代数 和称为n阶行列式。记为:nnPPPtaaaD2121) 1()det(ijaD l 也可记为:33精品 PPT 欢迎下载 可修改l另一种定义形式为:nnpqpqpqaaaD2211) 1(nqqqtnaaaD2121)1(l 同理，也可

14、以定义为:34精品 PPT 欢迎下载 可修改l（1） 对角行列式nn212100nnnn212)1(21)1(0035精品 PPT 欢迎下载 可修改l（2） 下（上）三角行列式 nnnnnnaaaaaaaaa2211212221110nnnnnnaaaaaaaaa22112221121136精品 PPT 欢迎下载 可修改l（3） 21111111111111111111110DDbbbbaaaabbccbbccaaaaDnnnnkkkknnnnknnkkkkkkkkkaaaaD11111nnnnbbbbD11112l 其中 ，37精品 PPT 欢迎下载 可修改 2.行列式的性质行列式的性质 有

15、了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。 当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。38精品 PPT 欢迎下载 可修改l l 把行列式的行换成同序数的列而得到的行列式称为原行列式的转置行列式。即l nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111称DT为D的转置行列式39精品 PPT 欢迎下载 可修改l 证证 设设nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212

16、22211121140精品 PPT 欢迎下载 可修改 l 由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。 jiijab 显然按定义nji,2,1,Dnppptnaaa21211nnppptTbbbD2121141精品 PPT 欢迎下载 可修改kpkpabipjpjpipabab,时即当jik 11121121212,niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa证设行列式1112112T1212,niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbbTDD,是由行列式 变换两行得到的,ki j当 时42精品 PPT 欢迎下载 可修改l于是

17、njinpjpipptbbbbD1111njinpipjpptaaaa111nijnpjpipptaaaa111nijnpjpipptaaaa1111D43精品 PPT 欢迎下载 可修改l 推论推论 如果行列式有两行（列）如果行列式有两行（列）完全相同完全相同,则此行列式等于零则此行列式等于零.l 证证 把这两行互换，有l D=D，故l D=0.44精品 PPT 欢迎下载 可修改l证 设l l D=nnnniniinaaaaaaaaa2121112111Dnnnniniinaaakakakaaaa21211121145精品 PPT 欢迎下载 可修改故ninpippptakaaaD212111k

18、Dninpippptaaaak2121) 1(46精品 PPT 欢迎下载 可修改l 推论推论 行列式中某一行（列）的所有行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面元素的公因子可以提到行列式的外面.l例如例如5310225111125610245112147精品 PPT 欢迎下载 可修改l 性质性质4 行列式中如果有两行（列）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零元素成比例，则此行列式等于零.l例如0321945321264294532148精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnjnjnnjjnjjabaaabaaabaaD)()()(12222111111nnnjn

19、njnjabaabaaba122211111nnnjnnjnjaaaaaaaaa12221111149精品 PPT 欢迎下载 可修改例如 计算221111222112112222111211babaaaaabaabaa50精品 PPT 欢迎下载 可修改333231232221131211aaaaaaaaaD 313332312123222111131211kaaaakaaaakaaaal 例如51精品 PPT 欢迎下载 可修改l例1 计算3351110243152113D52精品 PPT 欢迎下载 可修改3351110243152113D7216064801120213132 rr151000

20、1080011201131842423rrrr121312153402115133cc解：2141131208465021101627rrrr53精品 PPT 欢迎下载 可修改2500010800112021314534rr4054精品 PPT 欢迎下载 可修改l例例2. 计算计算3111131111311113D55精品 PPT 欢迎下载 可修改3111131111311113D31111311113166664321rrrr解：解：56精品 PPT 欢迎下载 可修改311113111131111164862000020000201111141312rrrrrr57精品 PPT 欢迎下载 可

21、修改l例3 计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD361036323423258精品 PPT 欢迎下载 可修改l 解： 从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232cbabaacbabaacbabaadcba36302320059精品 PPT 欢迎下载 可修改l同理，可得：baabaacbabaadcba300200040002000aabaacbabaadcba60精品 PPT 欢迎下载 可修改l例4 计算321421431432432161精品 PP

22、T 欢迎下载 可修改l解：把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行。32142143143243213211021410143104321062精品 PPT 欢迎下载 可修改32112141143143211011102220311043211063精品 PPT 欢迎下载 可修改12010400013003110432122423rrrr64精品 PPT 欢迎下载 可修改余子式和代数余子式余子式和代数余子式 在在n阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在第所在第i行和第行和第j列划去后，留下列划去后，留下来的来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素

23、的余子式的余子式.记作记作 .即即 的余子式记作的余子式记作 . 的代数余子式的代数余子式 ijMijMijjiijMA1.ijaija65精品 PPT 欢迎下载 可修改中元素 的余子式和代数余子式分别为 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44434124232114131132aaaaaaaaaM 32M32a例如四阶行列式3 232321AM 66精品 PPT 欢迎下载 可修改 引理 设D为n阶行列式，如果D的第i行所有元素除 外，其余元素均为零，那么行列式D等于 与其代数余子式的乘积，即ijaijaijijAaD 67精品

24、PPT 欢迎下载 可修改证：证：设nnnjnijnjaaaaaaaD111110068精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnjnnijiinijiinjijiaaaaaaaaaaaaa1111111111111100169精品 PPT 欢迎下载 可修改 ijijijijjinnnjnjnnjnijijiijinijijiijinjjjijjiAaMaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa10000111111111111111111111111111111170精品 PPT 欢迎下载 可修改1122 iiiiininDa Aa Aa A 1,2,.in1122 1,2,.jjjjnjnjDa

25、 Aa Aa Ajn71精品 PPT 欢迎下载 可修改证： nnnniniinaaaaaaaaaD21211121172精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000073精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa21112110074精品 PPT 欢迎下载 可修改类似地.若按列证明，可得1122 1,2,.iiiiinina Aa Aa Ain1122 1,2,.jjjjnjnjDa AaAa Ajn75精品 PPT 欢迎下载 可修改

26、例1.计算 3351110243152113D03550100131111115D:解76精品 PPT 欢迎下载 可修改 0551111115133055026115502855261314077精品 PPT 欢迎下载 可修改 例2 计算dcdcdcbababaDn0000278精品 PPT 欢迎下载 可修改 解: 按第一行展开00100122cdcdcbababddcdcbabaaDnn79精品 PPT 欢迎下载 可修改以此作递推公式，即可得122nnDbcadD21Dbcadndcbabcadn 1nbcad222nDbcad12112121nnnDbcadD1212nnbcDadD12)

27、(nDbcad80精品 PPT 欢迎下载 可修改,1111112112222121jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD其中记号“”表示全体同类因子的乘积. 1,1111112112222121jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD81精品 PPT 欢迎下载 可修改所以当n=2时（1）成立. 现在假设（1）对于n1阶Vandermonde行列式，即jijinnnnnnnxxxxxxxxD222322321111jijixxxxxxD12122121182精品 PPT 欢迎下载 可修改 我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立.1213231222113312211

28、3120001111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn83精品 PPT 欢迎下载 可修改 223223211312111nnnnnnxxxxxxxxxxxx11312xxxxxxnjijinxx 2jijinxx184精品 PPT 欢迎下载 可修改12543254325432111133332222D例4.计算85精品 PPT 欢迎下载 可修改 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即, 02211jiAaAaAajninjiji或 , 02211jiAaAaAanjnijiji86精品 PPT 欢迎下载 可修改 证

29、: 设nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD2121211121187精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211jnjnjjjjAaAaAa221188精品 PPT 欢迎下载 可修改iniiaaa,21,21jnjjaaa得nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaa21212111211jninjijiAaAaAa2211ji 89精品 PPT 欢迎下载 可修改同理可证, 02211jiAaAaAajninjiji, 02211jiAaAaAanjnijiji90精品 PPT 欢迎下载 可修改综合定理1和推论有

30、.,0,1jijiij当当其中 或kjnkkiAa11 j , 0 j; nikjkijkDia ADi当当 j , 0 j; ijDiDi当当91精品 PPT 欢迎下载 可修改例5已知行列式 求 , 其中 是D的第4行元素的代数余子式.解： 3245543211114321D44434241AAAA44434241,AAAA44434241AAAA4142434411110AAAA 92精品 PPT 欢迎下载 可修改 4.克拉默法则克拉默法则 一.非齐次线性方程组的克拉默法则nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1) 设非齐次

31、线性方程组93精品 PPT 欢迎下载 可修改njDDxjj,2, 1,(3)则线性方程组(1)有唯一解 若(1)的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD(2)94精品 PPT 欢迎下载 可修改njDDxjj,2,1,njDDxjj,2, 1,., 2 , 1,2211nibxaxaxaininii.,2, 1,2211nibDDaDDaDDaininii 即证明：等式成立证明： 先证 是（1）的解， 要证 是（1）的解，只须证明（3）满足（1）即可，为此把（1）改写成：95精品 PPT 欢迎下载 可修改nnnjnninijiinjinijiinaaabaaabaa

32、abaaabD111111111 做n+1阶行列式显然 . 把 按第一行展开.需要求出第一行每个元素的代数余子式.第一行元素 的代数余子式为:01nD1nDija96精品 PPT 欢迎下载 可修改所以022111niniiinDaDaDaDbD即的解是这说明) 1 (, 2 , 1, 2 , 12211njDDxnibDDaDDaDDajjininiinnjnnjnnnjjjjaabaaaabaa1,1,111, 111, 11112) 1() 1(., 2 , 1) 1() 1(12njDDjjjjnnjnjnnnnjjjijaaaabaaaabA1,1,111, 11, 111111) 1

33、(97精品 PPT 欢迎下载 可修改 再证唯一性.假设 也是(1)的解.在(2)两端同时乘以njcxjj, 2 , 1,jcnnjnjnnjjjacaaacaaDc11111nnnnnjnjnnnnnjjacacacaaacacacaa)()(1111111111198精品 PPT 欢迎下载 可修改由于 , 所以故线性方程组(1)有唯一解(3).0D.,2, 1njDDcjjjnnnnnDabaaba1111199精品 PPT 欢迎下载 可修改例1.解方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解:6741212060311512D127702120

34、60311357012772121357277010353.272733100精品 PPT 欢迎下载 可修改8167402125603915181D10867012150609115822D2760412520693118123D2707415120903185124D101精品 PPT 欢迎下载 可修改 定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0,则(1)有唯一的解. 定理 .如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的系数行列式必为0.于是得原方程组的解为11434321xxxx2102精品 PPT 欢迎下载 可修改 二.齐次线性方程组的克拉默法则 设齐次线性方程组000221122

35、221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4) 若(4)的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD(5)则(4)没有非零解.103精品 PPT 欢迎下载 可修改. 定理 .如果齐次线性方程组(4)有非零解,则它的系数行列式必为0。 定理3.如果齐次线性方程组(4)的系数行列式D不等于0,则齐次线性方程组(4)没有非零解. 例2. 问 在什么条件下,方程组002121xxxx有非零解？3104精品 PPT 欢迎下载 可修改 解：由定理 知，若方程组有非零解，则其系数行列式必为零。 所以，当 或 时，上面方程组有非零解。111,10

36、1011212D3105精品 PPT 欢迎下载 可修改例3 设非齐次线性方程组12312321231xxxxxxxxx问 为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。解：方程组的系数行列式为111111（ +2）2(1)显然当 2， 1时，方程组有唯一解。D=106精品 PPT 欢迎下载 可修改1211111D2(1) (1) 2211111D2(1)3211111D22(1) (1)107精品 PPT 欢迎下载 可修改11DxD1222DxD22(1)(1) (2)12222(1) (1)(1) (2)2(1)233DxD22(1) (1)(1) (2)108精品 PPT 欢迎下载 可修改行列式主

37、要知识点网络图行列式主要知识点网络图概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.互换行列式的两行(列)，行列式变号。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则 该行列式可拆成两个行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。TDD 行列式知识点性质nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212222111211) 1(109精品 PPT 欢迎下载 可修改展开计算行展开列展开nkkjkijijiDAa10nkjkikjijiDAa10定义法递推法加边法数学归纳法公式法拆项法乘积法析因子法齐次线性方程组

38、有非零解的充要条件克拉默法则应用110精品 PPT 欢迎下载 可修改第二章 矩阵及其运算1 矩阵一、矩阵概念 定义定义1.mnmmnnaaaaaaaaa212222111211), 2 , 1;, 2 , 1(njmianmij个数由列的数表行排成nm,列矩阵行称为nm.矩阵简称nm 111精品 PPT 欢迎下载 可修改 为表示它是一个整体 , 在这数表的两边用大圆括 弧把它范围起来，并用大写黑体字母表示:mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211112精品 PPT 欢迎下载 可修改 例例1 1.某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数量和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划. 若用

39、表示为工厂向第 i 店发 送第 j 种产品数量，则矩阵ija343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.113精品 PPT 欢迎下载 可修改4241323122211211bbbbbbbbB表示了这四种产品的单价及单件重量.,1种产品的单价表示第若用ibi种产品单件的重量表示第ibi 2:则矩阵114精品 PPT 欢迎下载 可修改01ija0101001000011110A4213 例2. 四个城市间的单向航线如下图所示. 若令 从i市到j市有一条单向航线 从 i 市到 j 市没有单向航线 则图中的航线用矩阵表示为 115

40、精品 PPT 欢迎下载 可修改 例3.mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay2211222212121212111112,nnx xxm个变量与 个变量12,myyy之间的关系式1212,nmijijx xxy yyaa表示了一个从变量到变量的线性变换其中 为常数 这个线性变换的系数 构成矩阵116精品 PPT 欢迎下载 可修改二、矩阵的表示方法等可用一个大写字母表示EDCBA,:. 1tsnmBA,:. 2表示用大写字母加上下角标表示或nmijijaAaA)()(.3三.几种特殊的矩阵1.方阵nnnnnnaaaa

41、aaaaaA212221211211117精品 PPT 欢迎下载 可修改2.上三角矩阵nnnnaaaaaaA000222112110001222111211nnbbbbbbB 3.下三角矩阵nnnnnnaaaaaB21210000nnnnaaaaaaA21222111000118精品 PPT 欢迎下载 可修改 4.对角矩阵n000000215.单位矩阵100010001E119精品 PPT 欢迎下载 可修改6.行矩阵),(11211naaaA 7.列矩阵12111mbbbB8.零矩阵000000000O120精品 PPT 欢迎下载 可修改 9.负矩阵 10.同型矩阵 两个矩阵的行数和列数分别相

42、同的矩阵称为同型矩阵.为同型矩阵和如nmnmBA 11.对称矩阵 12.反对称矩阵为对称矩阵则称且设AaaaAjiijnnij,)(为反对称矩阵则称且设AaaaAjiijnnij,)(),()ijm nijm naaAaA 设称为矩阵 的负矩阵121精品 PPT 欢迎下载 可修改2.矩阵的运算一、矩阵的加法1、定义 定义2 设有两个mn矩阵 A B 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B , 规定为)( ),(ijijbaA + B =mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111矩阵的 减法：A B = A + (B )122

43、精品 PPT 欢迎下载 可修改2、运算律 矩阵的加法满足下列运算规律设 A、B、C 都是 mn 矩阵:1） A + B = B + A2）（A + B）+ C = A +（ B + C ）3） A +（A）= A A = 0二、数与矩阵相乘1、定义 定义3 数 与矩阵的乘积,记作 A 或A,规定为A = A =mnmmnnaaaaaaaaa212222111211123精品 PPT 欢迎下载 可修改2、运算律 数乘矩阵满足下列运算规律设 A、B 为 mn 矩阵，、为数：2） （ ) A = A + A；1） （）A = ( A ) 3） ( A + B ) = A + B 这样定义矩阵加法和数

44、乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.124精品 PPT 欢迎下载 可修改 三、矩阵与矩阵相乘 1、定义 定义4 设 A =（aij)ms , B = ( bij )sn 矩阵，那末规定矩阵 A与矩 B 的乘积是一个mn矩阵C = ( c ij )mn 。其中即 A B = C.1(1,2,;1,2),sikkjka bim jn1 122ijijijissjca ba ba b125精品 PPT 欢迎下载 可修改注意：ijkjskikcba11212jjiiissjbbaaab1 122ijijissja ba ba b126精品 PPT 欢迎下载 可修改例1.求矩阵2012130143110

45、2311014 A =B =与的乘积AB127精品 PPT 欢迎下载 可修改 C AB20121301431102311014 1199129解：128精品 PPT 欢迎下载 可修改例2. 设矩阵21426342A =B =求AB与BA。129精品 PPT 欢迎下载 可修改AB =214263421683216634221420000解：BA=130精品 PPT 欢迎下载 可修改2. 运算律 1) 矩阵的乘法一般不满足交换律 2) （AB）C = A（BC） 3) (AB) = (A) B = A( B),( 其中为数 );4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C )

46、A = BA + CA131精品 PPT 欢迎下载 可修改3. 设E为单位矩阵EA = AE = A或简写成,mm nm nE AAm nnm nAEA132精品 PPT 欢迎下载 可修改4、方阵的幂运算 设 A为 n 阶方阵. k , l 为正整数kkAAAA )1lklkAAA )2kllkAA)( )3:.kkkABA B注 一般说来133精品 PPT 欢迎下载 可修改如AB4241323122211211343332312423222114131211bbbbbbbbaaaaaaaaaaaa23)(ijcC 其中 是向第 i 店所发产品的总值 , 是向第 i店所发产品的总重量。C 表示

47、为向三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵。1ic2ic134精品 PPT 欢迎下载 可修改,0101001000011110A 则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数构成的矩阵。又如22110011110000211A 1243135精品 PPT 欢迎下载 可修改四、矩阵的转置1、定义 定义5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 AT。,654321A.635241TA例如136精品 PPT 欢迎下载 可修改2.运算律; )2TTTBABA; )3TTAA. )4TTTABAB;)( ) 1AATT137精品 PPT 欢迎下载 可修

48、改这里仅证明4）设 A = ( aij )ms , B = ( bij )sn 。ABC = ( cij )mn ， BTAT = D = ( dij )nm。 显然，要证明（ AB )T = BTAT, 只须证明 cji = dij 即可。138精品 PPT 欢迎下载 可修改因为sijsijijjibababac2211jssijijiababab2211ijd).,2,1;,2,1(mjni.,TTTTABABCD也就是即139精品 PPT 欢迎下载 可修改例3.已知201,132A171423201,B( AB )T。140精品 PPT 欢迎下载 可修改解法1：因为AB =1013173

49、1401031314170 所以TAB102324171231102141精品 PPT 欢迎下载 可修改.1031314170解法2：ABBATT311 2142精品 PPT 欢迎下载 可修改 有了转置矩阵的定义后，显然有A为对称矩阵，A为反对称矩阵，; TAA 则. TAA则143精品 PPT 欢迎下载 可修改 例例4 试证任意n阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。证证 由于A = (A + A + ATAT )= (A + AT + AAT )22TTAAAA ()22TTTTTAAAA TA+A 2因为()22TTTTTAAAATAA2故A等于对称

50、矩阵 与反对称矩阵 之和。TA + A2TAA2144精品 PPT 欢迎下载 可修改例例5：设列矩阵12nxxx X = 满足XTX = 1，E为 n 阶的单位矩阵，H = E 2XXT,证明 H 是对称矩阵，且 HHT = E 。145精品 PPT 欢迎下载 可修改证明:TTT)(2XXE,2THXXE所以H是对称矩阵.TTT(2)HEXX146精品 PPT 欢迎下载 可修改2T2T)2(XXEHHH)(44TTTXXXXXXETTT)(44XXXXXXETT44XXXXEE147精品 PPT 欢迎下载 可修改 五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的

51、位置不变），称为方阵A的行列式，记作 |A| 或 detA 。148精品 PPT 欢迎下载 可修改2、运算律;).1TAA;).2AAnBAAB).3149精品 PPT 欢迎下载 可修改 我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。记 2n 阶行列式11111111011nnnnnnnnaaaabbbb D =AOEB 150精品 PPT 欢迎下载 可修改 显然，D = |A|B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ， ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , , n ) , 有D=1112111 1112

52、 211111 112 212122221 1122 212121 122 22121 112 2111 12 21 00010nn nnnn nnnn nnnn nnnnnnnnnn nnnnnnn nnaaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba b 0001 151精品 PPT 欢迎下载 可修改0ACDE 其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+ainbnj ,故 C = AB。再对 D 的行作 rj rn+j （j = 1, 2, , n ），有0( 1),nEDAC 从而有

53、D = ( 1 )n|E|C| = ( 1 )n( 1 )n| C | = | C | = | AB |。于是 | AB | = | A | | B |152精品 PPT 欢迎下载 可修改 例例6：设A , B 均为 n 阶方阵且, 1,TTBAEBBEAA.0 BA则证BAABABBATTBABA)(TTBBAAT)(BAB2BA .0 BA故153精品 PPT 欢迎下载 可修改 例例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵。证证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T= BTAT + ATBT= BAAB= （ A

54、B + BA ）所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。154精品 PPT 欢迎下载 可修改例例 8 设1213112 ,3 令 A = T, 求 An 及| An|。解 11232332111121,2123331 155精品 PPT 欢迎下载 可修改An = ( T )n = TTT T= 3n-1A| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A | 1123123321(3) 2131nn = 0156精品 PPT 欢迎下载 可修改六、共轭矩阵1、定义 定义7 设A= 为复矩阵， 表示 的共轭复数，记 )(ijaija).(ijaAija则 称为A的共轭矩阵。A15

55、7精品 PPT 欢迎下载 可修改2.运算律 设 A 、B 为复矩阵， 为复数.; )1BABA. )3BAAB2) AA 158精品 PPT 欢迎下载 可修改七、 可换矩阵及方阵多项式1、可换矩阵设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的可换的。例例 9 设12,.1132abAB 若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。解解 由于 AB = BA ，即159精品 PPT 欢迎下载 可修改1212113 23 211a ba b 6423524aabbabab 亦 即故 a = 8 , b = 6 。6423254abababab 即160精品 PPT 欢迎下载 可修

56、改 例例10 设100020003A 求与 A 可交换的所有矩阵。123123123xxxXyyyzzz A 与可交换，即有解解 设161精品 PPT 欢迎下载 可修改1231231231231231231 0 01 0 00 2 00 2 00 0 30 0 3xxxxxxyyyyyyzzzzzz 于是123123123123123123232222333323xxxxxxyyyyyyzzzzzz 从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 ,162精品 PPT 欢迎下载 可修改即 x2 = x3

57、= y1 = y3 = z1 = z2= 0 ,所以，与可交换的任一矩阵是000000abc其中 a ，b，c 为任意实数。163精品 PPT 欢迎下载 可修改2、方阵多项式 设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + + a1A + a0称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式矩阵多项式。例例11 设有多项式 f () = 2 3 + 2和矩阵112011121A 求矩阵多项式 f (A) 。 164精品 PPT 欢迎下载 可修改解解 因为211211201101112

58、1121A3363033363A 325112231 165精品 PPT 欢迎下载 可修改则f (A) = A2 3A + 2E3253362 0 01120330 2 02313630 0 2 251121.130 166精品 PPT 欢迎下载 可修改练习：1.计算下列矩阵的乘积.;21312 ) 2( ;123321 ) 1 (. ) 3 (321333231232221131211321xxxaaaaaaaaaxxx2.11410,1102 PAPP 设其中.A 求167精品 PPT 欢迎下载 可修改第七讲3.逆矩阵一.逆矩阵 定义8. 设 A 为 n 阶方阵，如果有一个 n 阶方阵 B

59、，使 AB = BA = E,则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.A的逆记之为A-1.168精品 PPT 欢迎下载 可修改二. 逆矩阵是唯一的. 证明：设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C所以A的逆矩阵是唯一的.169精品 PPT 欢迎下载 可修改三三. 逆矩阵的有关定理逆矩阵的有关定理 定理1. 方阵 A 可逆的充分必要条件是 |A| 0 ,且,1 1AAA其中nnnnnnAAAAAAAAA212221212111A 称为 A 的伴随矩阵. A*中元素是A 的所有元素的代数余子式.170精品 P

60、PT 欢迎下载 可修改证明： 必要性: 因为A可逆，则有 ,使 1AEAA 111EAA.0 A所以171精品 PPT 欢迎下载 可修改充分性: 由于AAnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaa212221212111212222111211AAA000000EA172精品 PPT 欢迎下载 可修改同理 所以.EAAAAA因为.0AEAAAAAA.11AAA所以由定义，知A AA E, 173精品 PPT 欢迎下载 可修改推论：若 AB = E (或 BA = E），.1 AB则证明：. 1EBA,0A1ABAAEBB)(1EAABA11)(故因而存在，于是1A174精品