常微分方程Ch图文

1、1/12常微分方程微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数（偏导数）或微凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .1.3 3 基本概基本概念念基本概念基本概念2/12常微分方程微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .分类分类1 1: : 常微分

2、方程常微分方程(ODE)(ODE), , 偏常微分方程偏常微分方程(PDE)(PDE). ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:基本概念基本概念3/12常微分方程分类分类3 3: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy基本概念基本概念4/12常微分方程21. yx 22222.

3、 (1)0d udurrrudrdr3. ( )( )dyp x yxdx( )4. ( , ,)0nF x y yy ( )(1)5. ( , ,)nnyf x y yy22222 6. 4uuux yy n n阶隐式方程阶隐式方程一阶方程一阶方程偏微分方程偏微分方程n n阶显式方程阶显式方程二阶方程二阶方程一阶方程一阶方程线性线性线性线性线性线性基本概念基本概念5/12常微分方程微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxF

4、n微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：本课程的主要学习内容本课程的主要学习内容-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且独且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同. .基本概念基本概念6/12常微分方程(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解(1) (1) 积分曲线积分曲线: :一阶微分方程一阶微分方程代表代表微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .

5、(3)(3)隐式解隐式解: : 由隐函数表示的微分方程的解由隐函数表示的微分方程的解. .积分曲线与方向场积分曲线与方向场: :),(yxfdxdy的解的解)(xy平面上的一条曲线平面上的一条曲线, ,我们称它我们称它xoy基本概念基本概念7/12常微分方程(2) (2) 方向场方向场: :设函数设函数),(yxf的定义域为的定义域为D在每一点在每一点Dyx),(处画上一个小线段处画上一个小线段. .其斜率等于其斜率等于),(yxf我们把带有这种直线段的区域我们把带有这种直线段的区域D称为由方程称为由方程),(yxfdxdy规定的方向场规定的方向场. .(3) (3) 等斜线等斜线: :在方向

6、场中在方向场中, ,方向相同的点的几何轨迹方向相同的点的几何轨迹 称为等斜线称为等斜线. .基本概念基本概念8/12常微分方程(4) (4) 驻定与非驻定驻定与非驻定: :方程右端不含自变量，则称为驻方程右端不含自变量，则称为驻定或自治的，若含自变量则称为是非驻定的或非自定或自治的，若含自变量则称为是非驻定的或非自治的治的. .如如( )dyf ydx),(yxfdxdy驻定或自治驻定或自治非驻定或非自治非驻定或非自治(5) (5) 奇点奇点( (平衡点平衡点) ): :对上述自治方程，使得其右端函对上述自治方程，使得其右端函数数f(y)=0(y)=0的解的解y=y*称为平衡解称为平衡解( (

7、驻定解、常数解驻定解、常数解) )，又，又称为奇点或平衡点称为奇点或平衡点. .基本概念基本概念9/12常微分方程过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .基本概念基本概念10/12常微分方程例例 3 3 验验证证:函函数数ktCktCxsincos21 是是微微分分方方程程0222 xkdtxd的的解解. 并并求求满满足足初初始始条条件件0,00 ttdtdxAx的的特特解解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd基本概念基本概念11/12常微分方程. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初