实对称矩阵的对角化

1、定理定理1 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.一、实对称矩阵的性质一、实对称矩阵的性质4. .3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化证明证明, 设设复复数数 为为实实对对称称矩矩阵阵 的的特特征征值值 复复向向量量 为为对对应应的的特特征征向向量量Ax . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 . xxAx , 的的表表示示xx共共轭轭复复向向量量于是有于是有及及相减相减定理定理1 1的意义的意义 当特征值当特征值 i 为实数时为实数时 齐次线性方程组齐次线性方程组(A i I)x 0是实系数方程组是实系数方程组 由由|A i I| 0

2、知必有实的基础解系知必有实的基础解系 所以对所以对应的特征向量可以取应的特征向量可以取实向量实向量. . 证明证明 设设A为实对称矩阵为实对称矩阵, Ap1 1 p1 Ap2 2 p2 1 2. . 一方面一方面 于是于是 ( 1 2) p1Tp2 0. .但但 1 2 即即p1与与p2正交正交. . 故故 p1Tp2 0 定理定理2：实对称矩阵：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交的对应于不同特征值的特征向量正交.另一方面另一方面 推论推论 设设A为为n阶实对称阵阶实对称阵 是是A的特征方程的的特征方程的k重根重根 则对应特征则对应特征值值 恰有恰有k个线性无关的特征向量个线性无关的

3、特征向量. . 二、实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化求正交矩阵求正交矩阵 ，把实对称矩阵，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：化为对角阵的方法：UA1. 解特征方程解特征方程0AI 求出对称阵求出对称阵 的全部不同的特征值。的全部不同的特征值。A即求齐次线性方程组即求齐次线性方程组()0iAI x 的基础解系。的基础解系。3. 将属于每个将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。的特征向量先正交化，再单位化。i 2. 对每个特征值对每个特征值 ，求出对应的特征向量，求出对应的特征向量，i 这样共可得到这样共可得到 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量n12,n 4. 以以 为列

4、向量构成正交矩阵为列向量构成正交矩阵12,n nU 12(,) 有有UAU 1即即mmUAU 111 注意注意：对角阵中：对角阵中 的顺序的顺序12,n 12,n 要与特征向量要与特征向量 的排列顺序一致。的排列顺序一致。例例1 设设U求正交矩阵求正交矩阵 ，UAU 1使得使得 为对角阵。为对角阵。220212 ,020A 解解22021202AI 214 0 1234,1,2. 当当 时，由时，由14 40,AI x2204232024AI 102012000 122 .1 即即132322 xxxx得基础解系得基础解系只需把只需把 单位化，得单位化，得1 12 32 3 ,1 3 （考虑为

5、什么？）（考虑为什么？）当当 时，由时，由21 0,AI x 120202021AI 120021000 221.2 即即123222 xxxx得基础解系得基础解系只需把只需把 单位化，得单位化，得2 ,3231322 当当 时，由时，由22 20,AI x 4202232022AI 201210000 312 .2 即即312122xxxx 得基础解系得基础解系只需把只需把 单位化，得单位化，得3 .3232313 U 1232211,212 ,3122 得正交矩阵得正交矩阵UAU 1400010.002有有例例2 设设324202 ,423A 解解32422423AI 218 0 1231

6、,8. U求正交矩阵求正交矩阵 ，UAU 1使得使得 为对角阵。为对角阵。当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为121 0AI x 424212424AI 212000000 得基础解系得基础解系112 ,0 202 .1 21322xxx 令令1310,01xx 令令先正交化：先正交化：1112 ,0 21221114501(,)4222(,)55101 再单位化：令再单位化：令1151122,5500 244355522535351535 当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为38 80AI x 5248282425AI 1011012000 132312xxxx令令31x

7、 得基础解系得基础解系311,21 单位化得单位化得3213211,323123 U 123(,) 得正交矩阵得正交矩阵142353 5221353 552033 5 有有UAU 1118 实对称矩阵对角化的步骤实对称矩阵对角化的步骤 (1)求出求出A的全部互不相等的特征值的全部互不相等的特征值 1 2 s 它们的它们的重数依次为重数依次为k1 k2 ks(k1 k2 ks n). . (2)对每个对每个ki重特征值重特征值 i 求方程求方程(A E)x 0的基础解系的基础解系 得得ki个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. . 再把它们正交化、单位化再把它们正交化、单位化 得得ki个个两两正交的单位特征向量两两正交的单位特征向量. . 因因k1 k2 ks n 故总共可得故总共可得n个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量. . (