函数单调性和凹凸性

1、函数单调性和凹凸性1第一页，共10页。证证应用拉格朗日中值定理应用拉格朗日中值定理)()(12xfxf0,0 )(f0 12 xx, )( ),( , 2121xxbaxx(1). 设设)(12xxf),(21xx),()( 21xfxf即即)(xfba,所以所以在在上单增上单增.定理定理3.3.1 (函数单调性的判定法函数单调性的判定法)设函数设函数 y=f(x) 在在 a, b 上连续上连续, 在在 (a, b) 内可导内可导.)()(12xfxf)(xf 在某区间内在某区间内有限个点处为零有限个点处为零,若若则函数则函数)(xf在该区间上仍是单增在该区间上仍是单增(或单减或单减)的的.在

2、其余点处在其余点处恒为正恒为正(或负或负),说明说明在在),( ba(1).若在若在0)( xf内内单调单调 增加增加.,ba, 则则上上( )f x在在),( ba(2).若在若在0)( xf内内单调单调 减少减少.,ba, 则则上上( )f x2第二页，共10页。xycos10解解内在 )2 , 0( sin xxy例例1. 判定函数判定函数0,2 在在上的单调性上的单调性. sin xxy0,2 在在上单增上单增. 一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或单调减少单调减少,而往往是在定义域内的某一部分区间上单增而往往是在定义域内的某一部

3、分区间上单增,在另一部分区间上单减在另一部分区间上单减,函数函数)(xf的单增区间的单增区间,单减区间统称为单减区间统称为单调区间单调区间.3第三页，共10页。5xxyoab1x2x3x4x)(xfy 0)()()(321xfxfxf)(4xf 不存在不存在,0)(5 xf确定函数单调区间的方法和步骤确定函数单调区间的方法和步骤:(1). 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域;(2). 求求),(xf 找使找使0)( xf的点的点(驻点驻点),及使及使)(xf 不存在的点不存在的点;(3). 以以(2)中所找点为分界点中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间将定义域分割成部分区间, 判

4、断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。4第四页，共10页。解解 (1).定义域定义域 ,)2)(1(6xx 31292)(23xxxxf例例2.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.0)( xf令令2 , 121xx, 得得)(xf (2).(3).以以2 , 121xx为分界点为分界点,将定义域分割将定义域分割,列表列表:x)x(f )x(f),(1 ),(21),(2 增增减减增增函数函数)(xf的单增区间为的单增区间为: 1 ,(,(2,).单减区间为单减区间为:2 , 1 (121862xx5第五页，共10页。二、函数凸性的判别法二、函数

5、凸性的判别法定义定义3.3.1 (函数的凸性函数的凸性)22 2121)x(f)x(f)xx(f 22 2121)x(f)x(f)xx(f 若对任意若对任意I , 21xx)(xf设设在区间在区间I上连续，上连续， xyoxoy)2(21xxf1x2x2)()(21xfxf1x2x2)()(21xfxf)2(21xxf图形下凸图形下凸图形上凸图形上凸6第六页，共10页。直观观察直观观察)(xf )(xf 0)( xf0)( xf曲线下凸曲线下凸xyo曲线上凸曲线上凸xoy递增递增递减递减7第七页，共10页。定理定理3.3.2设函数设函数)(xf在在,ba上连续上连续,在在),(ba内具有二阶导

6、数内具有二阶导数,(1)若在若在),(ba内内0 )(xf，则，则)(xf在在,ba上曲线是上曲线是0 )(xf(2)若在若在),(ba内内，则，则)(xf在在,ba上曲线是上曲线是下凸的；下凸的；上凸的。上凸的。问题：确定函数在那些区间上图形上凸的，那些区间上图形是下凸的问题：确定函数在那些区间上图形上凸的，那些区间上图形是下凸的，即求函数的凸向区间。，即求函数的凸向区间。8第八页，共10页。解解23xy xy6 xy03xy 3xy 例例1.判断曲线判断曲线的凸向的凸向 , 0 y0 x时时,)0 ,( 曲线曲线 在在 内是上凸的内是上凸的. , 0 y0 x时时,), 0( 曲线曲线 在

7、在 内时是下凸的内时是下凸的.定义定义 曲线上曲线上上上凸弧与下凸弧的分界点凸弧与下凸弧的分界点,称为称为拐点拐点.如例如例1中中,点点)0 , 0(是曲线是曲线 3xy 的拐点的拐点.如如, )( 4xxf, 0)0( f但点但点)0 , 0(不是拐点不是拐点.1.若点若点)(,(00 xfx是拐点是拐点,则则. 0)(0 xf或或 不存在不存在)(0 xf 2.由由. 0)(0 xf所确定的点所确定的点)(,(00 xfx未必是拐点未必是拐点.或不存在或不存在注意注意9第九页，共10页。解解, 3132xy , 9232xxy y 不存在不存在.例例2. 求曲线求曲线 3xy 的拐点的拐点. 0 x时时, , 0 y0 x时时,)0 ,( 曲线曲线 在在 内是下凸的内是下凸的. , 0 y0 x时时,), 0( 曲线曲线 在在 内时是上凸的内时是上凸的.所以所以,曲线曲线 3xy 的拐点是的拐点是 (0,0).确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：1.