电磁感应定律和麦克斯韦方程组

1、第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲72.5.1 电磁感应定律电磁感应定律 1881年年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉化有密切关系

2、，由此总结出了著名的法拉第第电磁感应定律。电磁感应定律。 负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。inddt 1. 法拉第电磁感应定律的表述法拉第电磁感应定律的表述 in,i 当通过导体回路所围面积的磁通量当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时，回路中产生的感应电动势发生变化时，回路中产生的感应电动势 的大小等于磁通量的时间变化率的负值，的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即方向是要阻止回路中磁通量的改变，即 in第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科

3、学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7SSBd 设任意导体回路设任意导体回路 C 围成的曲面为围成的曲面为S，其单位法向矢量为其单位法向矢量为 ，则穿过回路的磁通，则穿过回路的磁通为为 neindddSBSt ne B CS dl 导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场 ，回路，回路中的感应电动势可表示为中的感应电动势可表示为inE因而有因而有SCSBtlEddddinClEdinin第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平

4、主讲7 感应电场是由变化的磁场所激发的电场。感应电场是由变化的磁场所激发的电场。 感应电场是有旋场。感应电场是有旋场。 感应电场感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外 的空间。的空间。 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有，都有 对感应电场的讨论对感应电场的讨论：SCSBtlEddddinSCSBtlEdddd0dcClE 若空间同时存在由电荷产生的电场若空间同时存在由电荷产生的电场 , ,则总电场则总电场 应为应为 与与 之和，即之和，即 。由于。由于 ，故有，故有 EinEincEEEc

5、EcE推广的法拉第推广的法拉第电磁感应定律电磁感应定律第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7相应的微分形式为相应的微分形式为(1) 回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化ddddSSBBSStt2. 引起回路中磁通变化的几种情况引起回路中磁通变化的几种情况磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有BEt SCStBlEdd( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动导体回路在恒定磁场中运动( 3 ) 回路在时变磁场中运动回路在时变磁场中运动CCl

6、BvlEd)(dinCSCStBlBvlEdd)(din动生电动势动生电动势第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 （1） ，矩形回路静止；，矩形回路静止；0cos()zBe Btxbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvBin00dcos()dsin()zzSSBSe Bte SabBttt （3） ，且矩形回路，且矩形回路上的可滑动导体上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。vevx)cos(0tBeBz 解解：(1) 均匀磁场均匀磁场 随时间作简谐随时间作简谐变化，而

7、回路静止，因而回路内的感应变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故电动势是由磁场变化产生的，故B 例例 2.5.1 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。B （2） ，矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大；运动而随时间增大；0BeBzxve v第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科

8、学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体 L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得00sin()cos()vt bBtvbBt ( 2 ) 均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产在磁场中运动产生的，故得生的，故得B或或in00ddd()ddSBSbB vtbB vtt CyzxCvbBleBevelBv0

9、0ind)(d)(CSStBlBvdd)(inCSzzyzxSetBetBletBeved)cos(d)cos(00第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 （1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势； 解解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故 （2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。ab 例例 2.5.2 在时变磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的的矩形线

10、圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，如角，如图所示。试求：图所示。试求： 0sin()yBe Btneye0sin()dynSe BteSt 0cos()cos dSBtS 0cos()cosB abt xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈neCSStBlEddin第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故故0t 0net 方法一方法

11、一：利用式：利用式 计算计算indddSBSt 00d1sin(2)cos(2)d2B abtB abtt （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。感应电动势可以用两种方法计算。ne0n0ddsin()dsin()cos()ddySe BteSabBtttt indddSBSt 第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲70sin()sinB abt0022000cos()cossin()sinco

12、s ()sin ()cos(2)inabBtB abtB abtBabtB abt 上式右端第一项与上式右端第一项与( 1 )相同，第二项相同，第二项xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈ne12 234 方法二方法二：利用式：利用式计算。计算。xetBebelBvxyCd)sin()2(d)(012nxetBebexyd)sin()2(034nCSStBlBvdd)(in第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变在时变情况

13、下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变 化？即化？即问题问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场 是否会产生磁场？是否会产生磁场？2.5.2 位移电流位移电流 静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即0EtBE 这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即了重要的物理事实，即 时变磁场可以激发电场时变磁场可以激发电场 。JH（恒定磁场）（恒定磁场）?H（时变场）（时变场）第第 2 2 章章 电磁

14、场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲71. 全电流定律全电流定律而由而由JH非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有 )(DtJ发生矛盾发生矛盾在时变的情况下不适用在时变的情况下不适用 解决办法解决办法： 对安培环路定理进行修正对安培环路定理进行修正由由 D0)(HJ0)(tDJ0tJ将将 修正为：修正为： JHtDJH矛盾解决矛盾解决时变电场会激发磁场时变电场会激发磁场第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技

15、学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7全电流定律：全电流定律：tDJH 微分形式微分形式StDJlHCsd)(d 积分形式积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。关系。第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7dtDJ2. 位移电流密度位移电流密度q 电位移矢量随时间的变化率

16、，能像电电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称流一样产生磁场，故称“位移电流位移电流”。注注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。q 位移电流只表示电场的变化率，与传位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。导电流不同，它不产生热效应。q 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时

17、变电场产生磁场这一重要的物理概念。揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。dJ第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 例例 2.5.3 海水的电导率为海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为，相对介电常数为 81 ，求频，求频率为率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。 解解：设电场随时间作正弦变化，表示为设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为则位移电流密度为其振幅值为其振幅值为传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为故故mc

18、osxEe Etd0rmsin()xDJeEtt 3dm0rmm4.5 10JEE cmmm4JEE3dmcm1.125 10JJ第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7mcos()(A/m)xHe Htkzdm2m()cos()sin()(A/m )xyzxxxyyyDJHeeee HtxyzHeeHtkzzze kHtkz m000m011dsin()dcos()(V/m)yyDDEte kHtkzttkeHtkz 式中的式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。为常数。试求

19、：位移电流密度和电场强度。 例例 2.5.4 自由空间的磁场强度为自由空间的磁场强度为 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由式 , 得得DHt第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7 例例 2.5.5 铜的电导率铜的电导率 、相对介电常数、相对介电常数 。设铜中的传导电流密度为设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。75.8 1

20、0 S/mr12mcos() A/mxJe Jtdr0r0mr0mcos()sin()xxDEJe EteEtttt dmr0mJE 而传导电流密度的振幅值为而传导电流密度的振幅值为mmJE通常所说的无线电频率是指通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使以下的频率范围，即使扩展到极高频段（扩展到极高频段（f = 30300 GHz），从上面的关系式看出比），从上面的关系式看出比值值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。 解解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅

21、值为位移电流密度的振幅值为1213dmr0mm7mmm21 8.854 109.58 105.8 10JEfEfJEE 第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲72.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式VSVSJddSVSCSCSdVSDSBStBlEStDJlHd0dddd)(d第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7DBtBEtDJH02.6.2 麦克斯韦方程

22、组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线无源场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场表明电荷产生电场第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲72.6.3 媒质的本构关系媒质的本构关系 EDHBEJ)

23、(0)()()(EHHtEEtEH代入麦克斯韦方程组中，有代入麦克斯韦方程组中，有0/EHEtHEtHE 限定形式的麦克斯韦方程限定形式的麦克斯韦方程（均匀媒质）（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为各向同性线性媒质的本构关系为第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7q 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激

24、发源，相互激发磁场互为激发源，相互激发。q 时变电磁场的电场和磁场不时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，再相互独立，而是相互关联，构成一个整体构成一个整体 电磁场。电磁场。电场和磁场分别是电磁场的电场和磁场分别是电磁场的两个分量。两个分量。q 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。成电磁振荡并传播，这就是电磁波。第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人

25、文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7q 在无源空间中，两个旋度方程分别为在无源空间中，两个旋度方程分别为tDHtBE, 可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与

26、电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组时变场时变场静态场静态场缓变场缓变场迅变场迅变场电磁场电磁场(EM)准静电场准静电场(EQS)准静磁场准静磁场(MQS)静磁场静磁场(MS)0t0t0tD0tB小结小结： 麦克斯韦方程适用范围麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。：一切宏观电磁现象。静电场静电场(ES)恒定电场恒定电场(SS)第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7cmmddsin()d

27、dcos()uiCCUtttCUt=msin()UtDEd 解解：( 1 ) 导线中的传导电流为导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板的两平行板之间的电场为之间的电场为E = u / d ，则，则 msinuUt 例例 2.6.1 正弦交流电压源正弦交流电压源 连接到平行板电容器连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。的两个极板上，如图所示。(1) (1) 证明电容器两极板间的位移电流证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；与连接导线中的传导电流相等；(2)(2)求导线附近距离连接导线为求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交平行板电容器与交流电压源相接流电压源相接第第 2 2 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波湖南人文斜技学院湖南人文斜技学院电子信息科学与技术专业电子信息科学与技术专业 阮许平主讲阮许平主讲7与闭合线铰链的只有导线中的传导电流与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ，故得，故得cmcos()iC Ut