1十重积分答案

1、第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值，a2-X2_y2d其中D为X2y22；D解:由二重积分的几何意义知,：222,11.a-x-yd-D厶a?;3M(b-.X2y2)dD其中D为x2y2-a2,ba0.解:由二重积分的几何意义知,11(b_,x2y2)d-D=二a2(b_2a).32根据二重积分的性质，比较下列积分的大小(xy)2d二与(xy)3dj其中D为(x-2)2(y-2)2汨;DD解：由(x-2)2(y-2)2叮知|x-2口1,|y-2匸1,即1乞x岂3,1乞y岂3,于是xy-21,所以(xy)2：(xy)3于是!(xy)2dIi(xy)3

2、d；.DD.In(xy)d二与.In(xy)2d；，其中D是矩形区域:DD3乞x乞5,0空y乞1;解：因在D内x+ye,故In(x+y)1,于是ln(xy)d.hIn(xy)2d；.DDln(xy)d二与.xyd匚,其中D是由直线x=0,y=0,DD1、xy,xy二1所围成.21解：在D中，x一0,y一0,且xy1,而不在直线x+y=1上的D21内任何点(x,y),都有xy：1,故ln(xy)：xy,2于是illn(xy)d-Ilxyd二.DD3利用二重积分的性质估计下列积分的值.(1)11(x24y29)d二,其中D=(x,y)|x2y2-4;D解：在区域D:x2y2乞4上，22229乞x4

3、y94(xy)9乞449=25,而区域D的面积为厂-22=4二,从而94.Ii(x24y29)d；：-254二，D即36-：_(x24y29)d=_100.D(2)(xxyx2y2)d；，其中D=(x,y)|0Ex乞1,0乞y2.D22解：设f(x,y)二xxy-x-y,211则f(x,y)在D上的最大值M二f(,),最小值m二f(0,2)=-4,333区域D的面积=2,第二节二重积分的计算=lim0f(,)=f(0,0).1.计算下列二重积分2(1)Jd其中D:0乞x空1,0空y空1;d1y解:2dR131=-x301arctany0n12从而322-8(xxy-x2-y2)d二D4.设f(

4、x,y)为一连续函数，试证：li_m.2IIf(x,y)dxdy二f(0,0).“兀PX2为2军证：由于f(x,y)连续，由二重积分中值定理知，存在点(,)x,y|x2y2乞，2，使得!cos(xy)dxdy,其中D是由x=0,y=x,y=愿所围成的区域；D解：11cos(xy)dxdy=odx,cos(xy)dyD=0sin(x二)一sin2xdx=-2.(3).(xy)d其中D是以0(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的D三角形区域；解：!(xy)d二1x1320dx0(xy)dy02xdx二iif(x,y)dxdf(,)-?2f(,),x2于夕所以.1啊丁2X1f(x,y)dxd

5、y=lim07y2兰2-1-：-：?2f(,)x(1x)sinydxdy,其中D是以点(0,0),(1,0),(1,2),(0,1)为顶点D的梯形；(4)2d；，其中D是由y=2,y=x,xy=1所围成的区域；dy22x2yx12127解：.-yd；,y1-%飞1(y-5)dy二葛.dy1彳y31y641二o(1x)-(1x)cos(1x)dx32sin2-cos2sin1cos1.2ed；，其中D是由y二ex,y=2,和x=0所围成的区域.dy-1(5)xsinydxdy,其中D是由y=x,y=x2所围成.dyxedadxIno.I-dxxyeyxsinV1sinv2ax-x2、,2aa-a

6、y二0dy.y2f(x,y)dxa2a2a0dyay2f(x,y)dx2a2adyy2f(x,y)dxa2a1x23X(3_x)(3)0dx0f(x,y)dyxdx；f(x,y)dy.1x23X(3_x)13_2y解：0dx0f(x,y)dydx。2f(x,y)dy=dy.yf(x,y)dx.515.设平面板由曲线xy=1及直线xy所围成，质量面密度为，求2x板的质量.解：所求板的质量21x2151=1dxI-|2dy=1(x)dx=5ln2-3.2xx2x2x6.求由坐标平面、平面x=4、y=4及抛物面z=x2y21所围成的立体体积.解：立体在xoy面投影区域为D:0込X込4,0乞yE4,所

7、求立体体积为44V二zdxdy二(x2y21)dxdydx(x2y21)dyDD560-3.7计算二重积分emaxx2dxdy淇中DD-(x,y)|0空x乞1,0乞y叮.解：设D1二(x,y)|0岂x乞1,0乞y乞,D2二(x,y)|0乞x1,x乞八1,222222emaxx,ydxdy=.emaxx,ydxdy.emaxx,ydxdyDD1D2221iexdxdy亠iieydxdy=D1D212x12y0exdxdy亠ieydydx=eT&把二重积分11f(x,y)dxdy化为极坐标下的二次积分，其中积分区域DD是:(1)由x=1,y=0及y=x2所围成；(2)圆x2y2=ax与圆x2y2=

8、2ax(a-0)之间的区域.兀sec日解:(1)iif(x,y)dxdy4d；丨.f(cosHsin_-0tanlseciD2acos-i(2)JJf(x,y)dxdy=Ed8f(Pcos日,Psin日)PdPD_29.将下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分14_x224_x20dx.f(x,y)dy“dx。f(x,y)dy；解：(1)两个二次积分所对应的重积分的积分区域分别是D1:0乞XE1,1x2乞y_.4x2和D2:1x乞2,0空y-、4x2两者的并集是环形区域0w2二，1乞r空2在第一象限的部分，于是224/f(x,y)dyJdx。f(x,y)dy1-|4dx20-1-x2712=

9、2d*f(cossin丁)2R2Ry_y22RsinVdyf(x,y)dx=j2d=0000RRxf(cos,sin：)RR.2(3)01R2dx。fC)dy.x*14r：1R2_x2dx0f(x)dy.arctanRarctanR0f(ta)d，10利用极坐标计算下列各题.i.iln(1x2y2)d二，其中D为x2y2乞1的圆域;D解:222兀12ln(1x2y2)d；二qJn(1訂)巾；=感(2ln21)D11-a2x2-y2d二，其中D:x2y2乞ay,|y|_|x|(a0)；D：4c1：(x2y2)d；2cJ3d4?(44cS-24c4“d=D一24_2=602cos4心-120。彳c

10、os4Mr_2.120-Mji2解:.-a2D-x2-2d匚asin日.一.F.043:asin日22fdj(a22)2d(a445=兀211选用适当的坐标计算下列积分(1)ii(x2y2)d二，其中D是由直线y=x，y=xa，y=a，D3_T：蔦(a22)243lasine0a33二4(|cos3+103；y=3a(a0)所围成的闭区域;解：选用直角坐标计算二重积分3aji2Jcos33石=.sin.x2y2d二，其中D:二2空x2y2乞4二2；D8-52)6).(xy)d-D3ay223a=adyyXy)dXN-fl_3yJady解:11sin.x2y2d-二D=14a4(2)JJx(y+

11、1)db，其中D=(x,y)|x2+y21,x2+y22x兰0；D解：选用极坐标计算二重积分!(x2y2)d；，其中D:x2y2_2x,x2y2_4x.2cos011x(y1)d；丁二3-dI:coCsin1)?d:D_3-T2cos3Y?3cosicosRdT别是(1)由曲面3x2-y2=z及z=1-x2所围成的区域;8icos5二sinv-sincoscos4cos331二3_.(8cos4v-cosRd=3一3532.3(另外，本题亦可用对称性计算)D”y2)3厂其中D由直线y=x,x=2及上半圆周解：两曲面所围立体Q在xoy面上的投影区域为D:4x2y2岂1，故门：一丄乞x_1,.1一

12、4x2乞y乞.1一4x2,3x2y2乞z乞1一x2,22-1_4x21_x2则jdX.亠沖彳亡孑哋2(2)由曲面z=1-.x2y2，平面z=x(x_0)及x=0所围成的区域解：两曲面所围立体Q在xoy面上的投影区域为D:2xy2岂1,x_0,y=2x-x2所围的区域.解：选用极坐标计算11d_d.(x2y2)3匹104豊冷=-G1(COS=-1.)d02cos故门：0空x_1,-.1一2x乞y乞.1一2x,x乞z乞1一.x2y221则l=jdx.j1_2x1-x2y2dy.xf(x,y，z)dz2.利用直角坐标计算下列三重积分第三节三重积分1.化三重积分I：!f(x,y,z)dxdydz为三次

13、积分，其中积分区域-1分Q门(1x；犷其中“为平面x=0,y=0，z=0,yz=1所围成的四面体；解：0_x_1,0_y_1x,0_z_1xytdxdydzIII3-(1xyz)310dx0dy.01-x1-x-ydz(1xyz)311W-x2xd-x32(1dx111_x20dx0(T1_x11一2。叭=F?dy_22、(1X)=2x(1-x)32、2-dx1_x141+x+y01一xdx=In25216(2)111yJ1x2dxdydz其中】由曲面y=.1-x2-y2,Q2z-1与平面y=1所围成的区域;解：-1_x_1,-、1-x2_z_1-x2,.1-x2-z2_y_1，2121-xd

14、xdydz二x._心2dz.1222yd-xdy-xz2845(3)111z2dxdydz其中-1Q成的区域解：利用“先二后一”法计算是由111z2dxdydzz2dz11dxdyQ0c21zz0z2a(z)b(；)dz-=1,x=0,y=0,z=0所围abccz2dz011dxdy0：x丄咱,abc-1-x21(1一x2z2)dzabc36011/.222-dx.亠21-x2(x2z2)dz3利用柱面坐标计算下列积分(1).I,zdv其中门由平面z二所围成的区域；220,曲面x-y=1,及z=x2y21解：门：0V2,0-；一1,0乞Z1,z21t202兀1仆011.zdvdd0d.0zdz

15、=2：o2Q21427二(-21)d?-06(2)hi、x2y2dv,其中I】为x2y2乞z2,1乞z2.Q解：门：0乞二乞2二，0,0_r_2acos:42-2acos：zdvd4drcosrsindr-0-00Q=2“：4sincosd2acosr3dr=8：a44sin：cos5$0J0J0a41:0v2二，0乞辽1,1乞2,(2)ndv11(x2-y2-z2f（n为正整数），其中门由7=Ji6门：0_二_2二，0_二，1岂r乞2，解:)当n=3时,idr213-nx2y2dv二.x2y2dv亠111.x2y2dvQQQ2-1222-222=.0d0.1?dz0djdz1(2-Jdt35

16、二24利用球面坐标计算下列积分(1)其中闭区域门由不等式x2y2(z-a)2岂a2,Qx2寸-z2所确定；(ii)当n=3时，12二dv=oddli出n1(x2y2-z2)22r2sdr2.21-Qsinddr2二Lcos0lnr=4.In25选用适当的坐标计算下列三重积分11-X22-x2-V(1)IdX1dSz2dz；解：积分区域门是由ZOX面、yoz面及曲面zxy和222xy-z=2所围成，用柱面坐标计算，：0,0：_1,丁乞z冬.2?2，21、，1-x2、2-X2_y221寸2一P20dx0dy冷z2dz=02d叫dPjpz2Pdz3zp1013!r兀一2103pp*2(p2)L1P5

17、】1上4丘-26.2550652,2-1=JI15(2)iiie|z|dv,其中门:x2-y2z2_1；Q解：用柱面坐标计算.积分区域i】是关于z二0对称且被积函数是关于z的偶函数,宀：0_二_2二,0_：_1,Oz乞.1二22-11_:?211ie|z|dv=2hiezdv=2dd；iezdzQQ10111=4I!(e_1)d：=4I!ed：、-4-d-=4二Ied，-2二、1-=u=4leudu-200=2二iii(xy2)dv，其中i是由两个半球面z二：A2-x2-y2Q,za2-x2-y2(Aa)及平面z=-0所围成的区域.解：用球面坐标计算.门：0:2二，0,r乞A，2（2）在柱面坐

18、标系下化成三次积分，门：0V2二,0_：_2,：、冬z6-223sin=0d丁2sin3d:&r4dr=令(A5_a5).I矩xyzdv二。刁岀:曲3sinvcoszdzQ02兀上AJJRx?+y2)dv=0d日0dr2sinr2sindrQa（3）在球面坐标系下化成三次积分,-cos;123sin2;2sin26.设I=xyzV,其中I】是曲面z=6-x2-y2禾口z=x2y2所Q围成的立体.试将三重积分I分别在直角坐标、柱面坐标和球面坐标化成三次积分，并任选一种计算I.解：作出区域门图形求出两曲面的交线2=6_x2-y，其方程为x2y2=4z=2_二-cos：；亠1亠23sin2I=xyz

19、dv二&：d：02sin2：r5sin4:cos)sinvdrQL0222227.曲面x-y二az将球体x-yz4az分成两部分，求此两部-1在xoy面上投影为D:x2y2_4.(1)在直角坐标系下化成三次积分，二:-2_x_2,_4_x2_y_4_x2,.x2y2-z-6-x2-y2，24-x22dx_46-x2今2_4ydyx2.y2Zdz分体积之比解：先求两曲面的交线x2x2y2azy2z2二4az，得交线丿x22y3a二3a22.=/dx.4/y亠4-x22二0（对称性）2i打：0_d_2二，0_：_.3a,_z乞2a.4a2-2a2兀/3a2.4aP/丁“.。dJd2z且a,22P2

20、丨373=2I；:2a.4a2-tda3,Ia_643323而球的体积V=(2a)-a,从而3332_.3373_27_.3V2VVaaa366于是，两部分体积之比为从而水面升咼了16-4=12cm.第四节重积分的应用12221.求锥面-y被柱面z=2x所割下部分的曲面面积解:锥面Zhjx2y2被柱面Z2=2x割下部分曲面在xoy面上的投影区域为D:(x-1)2y2乞1,dhood71210于是，所求曲面面积为V_37V2一2722338.形如z=xy形容器，已盛有8二cm的水，今又注入120二cm的水，问水面升高多少？解：设水面高度为hcm，从而容器由=x2y2及z=h所围成，门：02二，0

21、.h,7乞h，兀2dzh22兀2当V=8二cm时，有h=8二=4。口,2no当V2=乂120=128cm时，有h=128二=h2=16cm,2221+2：zrfdxdyxyxy=2dxdy=-2D2.求半球面z=3a2-x2-y2及旋转抛物面x2y2=2az所围成的立体的整个表面积.解：半球面z=3a2-x2-y2与旋转抛物面x2y2二2az的交线为(2,2o2x+y=2a*,z=a两曲面所围立体在xoy上的投影区域为D:x2y2乞2a2,所求立体整个表面积为A=Aa2D詔3a222小+x+y22dxdydxdy-x-yd11xd-JIcosxxdxdy0sinx2-2a0dS.3a3a22-

22、Jo2a工d-ayd-Dcosx04dxsinxdycosx04dxsinxydy、2-14一27，162a.33.求所给图形的形心(1)由2y2=x1及y2=2-x所围成;解：由对称性知形心为（广411_1)&2+1),(V2+1)44在半径为R的均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度为多少?解：设接上去的均匀薄片长度为b，则有x二111xd-ADxd-D.d二D12-y2/J2y2xdx12-y2dy2dx-42y24yd二0=D-D-b二R22Rb2ydy232_R3_b2R3-R2+2Rb23

23、所求形心为（3,0）.5(2)sinx-y-cosx,ji_x_45.设均质立体由抛物柱面y=x,y=2x,平面z=0及xz面围成，求其质心=6四个解：设均质立体的密度为-门：0乞x乞6,、x乞y乞2x,0乞z乞6-x,Sv，0dx*dy0Q6_xdz二48、6J,iiixdviiizdv质心坐标为18oxdx.xdy.odz180dx*ydy0dzT56，odxxdy1561612zdz126.设均匀薄片(面密度为1)所占区域22务121，求ly和|ab解：Iya2-ax2axdxab22dy4bax2a2-x2dxIo=(x2y2)dxdy=x2dxdy亠iiy2dxdy而IIx2dc.(

24、x2D132ab,11yd-4丄ab3,421313y)dxdyabab422二ab(ab)7.设一由y=lnx,x轴及x=e求此板绕直线x二t旋转的转动惯量解:所围成的均匀薄板，其密度为)=1,I(t)，并问t为何值时I(t)最小?2eInx2e2I(t)!(x-1)dxdy=dx0(x-t)dy=(x-t)lnxdxe3lnxd(x-1)=-(x_t)3lnx3e_(x_t)3dx131x令xzasint:二4a3b2sin2tcos2tdt1=兀4a3b，1寸-t)-?x2t+3xt-13lnx332沁22(e1)t2e294.1212令I(t)=0，即卩2t-一(e1)=0，得t=一(

25、e1),4又I(t)=20,所以当t=丄21)时，I(t)最小.4第十章综合练习题一、填空题1设D由y=.4x-x2与x=.4y-y2围成，则!i(x2_y2_x_y)d匚=0.D2设D由x=y-y2,x=.2y-y2,y=x,y=：3x围成，f(x,y)在D内连续，则.f(x,y)d二的极坐标二次积分是x2-y2_x二、选择题11.设D由直线x=0,y=0,x，y,x，y=1所围成，2h二ln(xy)7d；，I?h(xy)7d二，I3hsin(xy)7d二,DDD则它们的关系是c.(A)11：；12：13；(B)13：12：11；(C)h：13：12；(D)I3：I1：I2.1222222.

26、设V是曲面z(xyz)与z=xy所围成较小部分的体2Ilis2SD积，贝廿V二D2兀1、1_卩(A)djVdz;2w4-x23.f(x,y)是连续函数，则.dx.2f(x,y)dy的另一次序的二次积分.dd22opdp1odzp2二11_1_】2(B)d；Iddz；h0J0勺21了(D)L叫PdPJdz.0T4y2v4-y2是Rf(x，y)dx0dyy2f(x，y)dx.3设f(x,y)在原点某邻域内连续，区域D:x2y2乞t2在该邻域内,F(t)二.f(x,y)d-(A)2二f(0,0)；(B)2-;(C)2二A,A为D的面积(D)不存在.4设连续函数f(x,y)在有界闭区域D上有定义，D!

27、是D的在第一象限部分且其面积为D的面积的四分之一，则iif(x,y)d；=4f(x,y)dcDDi成立的条件是D.(A)f(x,y)及D关于原点对称；D关于x轴、y轴对称，f(x,y)关于原点对称；(B) D关于原点对称，f(x,y)关于x轴、y轴对称;D与f(x,y)都关于x轴、y轴对称.arjD1-2y+2X2y-9J-X由D2y-2-XIfD2sinJ1+.-COST32_1二血23二33前(/2+2叫辽诉=20COST11-d-2-121nW；22)詈汁(did(宀J=2(27-2任)1门(2心)一回亠3.2一22.(2|xy|)d二,D:Oy乞Jx2,OExEI.D解：(2|xy|)

28、d；=.2d-亠,|xy|dDDD31=2(十.(y-x)d二D2jdricosd-sin=)2djd=：(sin=-cosF4y=3x围成.nnj解：D:,、.2乞，空3,33x2J30dx=dyii0dxLdy(x2y2)(4-x2-y2)_2sint1J2sinjd：4一P20-arcsin；-0.匚(“)d-4四、已知f(x)具有三阶连续导数，且f(0)=f(0)=f(0)=-1，2xf(2)，计算二次积分I=jdx(2-x)(2-y)f(y)dy.解：利用极坐标计算，积分区域如图所示,0二arcsinsin(-)d寸4兀232解：交换积分次序22I珥dyJyJ(2-x)(2-y)L(y)dx223.2=0|可(2x)(2-y)f(y)dyU3y22222224=右(2-y)f：y)dy=2(y-2)f(y)(y-2)f(y)dy84224(0)一-(2)f(y)0J(y)dy一8f(0)f(0)負f(2)-f(0)333=6五、求抛物面x2y21的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x-1)2y2=1围成的立体体积最小，并求出这个最小的体积.解：设M(x0,y0,z0)是抛物面上任意一点，则过此点的切平