对于抽象的,用定义；

1、1. 对于抽象的，用定义；2. 对于具体的，用定理.402062225Af的矩阵为解：.13. 080|0266225, 055为负定的可知：有定理因为fA22256444. . fxyzxyxz 例例1 1 判判别别二二次次型型的的正正定定性性112123 ,231121 1|1| 10,10,1235.12235. 解：二次型 的矩阵为而所以，当时， 的全部顺序主子式都大于零，从而 为正定的而 所对应的二次型 为正定的f AttttAAAf22211213223322426. 例设二次型为正定的，求 的取值范围fxx xx xxx xtxt,761)(,741)(,1002)(,1111)

2、(dcba 解解：因A 为正定的，所以A的特征值全为正.而A的相似对角阵的主对角线上的元素恰是A的特征值.所以(b)和(d)剔除；又因为所有的特征值之和等于A的迹，故(c) 入选.320242025.AA例3 已知方阵为正定矩阵，与 相似的对角矩阵是（）. AAA例4 设对称矩阵 为正定的，试证：的伴随矩阵也是正定的110 ,0(1,2, ),10 (1,2, ) ,|(1,2, ),.iiiA A in A in A A AA inAA证：因为 所以的特征值 的特征值而 的特征值为 于是的特征值均大于零故 为正定矩阵的特征值，因此是且Anii), 2 , 1(0|2| 2 .n.AnAE例5

3、设 是 阶正定矩阵，证明：1T12,APP APP AP 证 因为 为 阶的正定矩阵，故存在正交矩阵使其中nn11111212|2|(2)|(2)|2|2|222(2)(2)(2)2 .AEPPPE PPE PPEPE nnn .为对称矩阵所以B6,0.TAEBEA AB 例设 为矩阵，是 阶单位矩阵，已知矩阵试证 当时， 为正定矩阵 mn n TTTTTT()()()BEA AEA A证 因为TTTT()EAAEA ABTTTTTTnxx BxxEA A xxExx A Ax对任意 维实向量 ，有()22TTx xAxAxxAx() ()T00000.xxAxx BxB若则有，所以当时，故为

4、正定矩阵,T( ).ABB ABR B例7 设 为阶实对称矩阵，且正定，为实矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是m m nnTTTT.()0,()0,( ).B ABxxB AB xBxA BxABxBxR B证 必要性设为正定阵，则对于任意 维实向量，有即 （）又因为 是正定，于是因此只有零解，从而000n nTTTTTTT()().B ABB ABB AB充分性因为T.B AB故为实对称定阵( ).R BBxxBx若，则线性方程组只有零解，从而对任意 维列向量，有000nnTTTT()()0.()0.A Bx BxA BxBx xB AB xB AB又因为 为正定矩阵，所以对于，有于是当

5、时，故为正定阵00作业; 163页 13、14（2）、15.相似矩阵及二次型向量的内积特征值与特征向量二次型相似矩阵及二次型主要知识网络图向量的内积定义：x,y=xiyi性质范数:|x|= 正交: x,y=0,xxyxyx,arccos夹角1.x,y=y,x2.x,y=x,y3.x+y,z=x,z+y,z特征值与特征向量定义：Ax= x, x0求法：特征值特征向量相似实对称矩阵隐含的信息性质1.定义法；2.特征多项式法| E-A|.1.定义法；2.（A- E）x=0的基础解系法.性质不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量iiinaA21相似 定义： P -1AP=B可对角化 1.A有n个线性无关的特征向量；2.R(A- kE)=n-k, k是A的k重特征值.1.A有n个不同的特征值；2.A是实对称矩阵.应用yyfAxxfPPATTnn.2.11必可以对角化，且可用正交变换 不同的特征值所对应的特征向量正交特征值全为实数k重特征值必有k个线性无关的特征向量与对角矩阵合同二次型 矩阵表示 f =x TAx标准形正定二次型yyfT定义：化标准形. 3. 2. 1合同变换法配方法；正交化方法；惯性定律定义充