空间向量及二面角的向量求法专题

1、第四讲空间向量一、定义：（1）已知，则 AB( x2x1, y2y1, z2z1 )（2）已知 a( x1, y1 , z1), b( x2 , y2 , z2 ) ，则 ab(x1x2 , y1y2 , z1z2 ) ；ab( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) ； a bx1 x2y1 y2z1z2（3）数量积： a bab cos22(a b)2 ； | a | x2y 2z2注： aa ； a b（4）应用：已知a(x1, y1 , z1 ), b( x2 , y2 , z2 )a / / b bax1y1 = z1x2y2 z2aba b0x1x2y1 y2z1z20二、空间向

2、量解决空间立体几何问题：1、位置关系判定：（1）线线平行：x1y1z1a/ / b aby2z2x2线线垂直： ab(cos0)x1 x2y1 y2z1 z202（2）线面平行：aml / /（其中 m 为平面的法向量）线面垂直： a/ / ml（3）面面平行： m/ / n/ / ,其中m为n的法向量的法向量，为面面垂直： m n,其中m为n的法向量的法向量，为2、求夹角：（ 1）线线角： | cos | |a b0, |，其中| a | |b |2（ 2）线面角：a m|，其中0, sin | cos | | a | | m |2（ 3）二面角： cosm n ，其中0, )|m | n|

3、向量法求解二面角向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。一 .利用法向量求二面角的大小的原理:设 n1 , n2 分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量n1 ,n2 的夹角为，则有（图 1）或（图 2）n2n1n1ll

4、图 1n2图 2基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角二.如何求平面的一个法向量:例题 1:如图 3，在正方体ABCD-A1B!C1D1中 G、E、 F 分别z为 AA1、 AB、 BC的中点，求平面GEF的法向量。DC11AB11GDCEFAB图3x略解：以 D为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1 ， 1 ,0)、F( 1 ，1,0)、22G(1,0 ， 1 ) 由此得 : GE(0, 1,1) FE( 1,1 0 )22222设平面的法向量为n( x, y, z)由 nGE 及 nFE 可得nGE1 y1 z0xy22nFE110zyxy2 2令 y

5、=1 取平面的一个法向量为 n (1,1,1)评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。y三 .法向量的应用举例:例题 4. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB=2， BC=4，AA1=2,点 Q是 BC的中点，求此时二面角 AA1DQ的大小评析（ 1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的 , 更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。（ 2）此法在处理二面角问题时，可能会

6、遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令a11，则n 2 ( 1,1, 2)，cos n1,n6，二面角的大小2AA1D Q6是n1 , n2arccos6 的补角 arccos6 。所以在计算之前不妨先依题意直观判66断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例 5如图 5，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中， AD/BC， ABC=900，SA面 ABCD， SA=1 ， AB=BC=1， AD=1 。 求侧面 SCD与面 SBA所成的二面角的大小。22zSAByDxC图 5评析：（ 1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在

7、这里就体现出它特有的优势；（ 2）但判断侧面 SCD与面 SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时 , 以下给出解决方案。四 . 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角 .原理首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系：如上图 6 所示，当我们把法向量控制成“一进一出”，此时两法向量在三个坐标平面xoy, yoz, xoz 的投影也可以看成是“一进一出”，这时不难得出n1, n2 的夹角就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想n1n2要的“向上或向下”，“向后或向

8、前”，“向左或向右”呢？图 6如图 7 所示：平面ABC的法向量 nz若要法向量 n 的方向“向上” , 可设 n ( x, y,1) 或nAn (x, y, z0 ) , 其中 z0 >0；若要法向量 n 的方向“向前” , 可设 n (1, y, z) 或 n ( x0 , y, z) , 其中ox0 0 ；若要法向量 n 的方向“向右”，可设n yC( x,1, y) 或 n (x, y0 , z) , 其中 y0 0xB所以，只要我们判断两个法向量的方向是图 7“一进一出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的

9、夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。1，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中， AD/BC， ABC=900，SA面 ABCD，SA=1 ， AB=BC=1，AD=1 。 求侧面 SCD与面 SBA所成的二面角的大小。22zSAByDxC2 如图，正三棱柱 ABCA1 B1C1的所有棱长都为AA12， D为CC1中点（）求证： AB1 平面 A1BD ；CC1（）求二面角 A A1 BC1 的大小；DBB13. 如图，已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD ， ABC60 ， E，F 分别是 BC，PC 的中点（1）证明： AE PD ；（2）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为6 ，求二面角EAF C 的余弦值2PFADBEC4如图，在底面是菱形的四棱锥 P ABC中， ABC=600， PA=AC=a，PB=PD= 2a , 点 E 在 PD上，且 PE:ED=2:1.（ 1）证明 PA平面 ABCD；（2