高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课堂探究新人教B版

1、2.3.1圆的标准方程课堂探究探究一直接法求圆的标准方程(1)由圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2可知，圆心为(a,b),半径为r,它体现了圆的几何性质；圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2中有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程也就确定了，因此确定圆的方程需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.(2)几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(rw0)过原点(xa)2+(yb)2=a2+b2(a2+b2w0)圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2(rw0)圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2(rw0)圆心在x轴上且过原点(xa)2

2、+y2=a2(a丰0)圆心在y轴上且过原点x2+(yb)2=b2(bw0)与x轴相切(xa)2+(y-b)2=b2(bw0)与y轴相切(xa)2+(yb)2=a2(a丰0)与两坐标轴都相切(xa)2+(yb)2=a2(|a|=|b|w0)【典型例题1】(1)圆心是C(3,4),半径长为5的圆的方程为()A.(x3)2+(y+4)2=5B.(x3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5D.(x+3)2+(y4)2=25解析：因为圆心是C(3,4),半径长为5,所以圆的方程为(x+3)2+(y4)2=25.答案：D(2)已知点A(-4,5),B(6,1),则以线段AB为直径的圆的

3、方程为.解析：AB的中点坐标即为圆心坐标C(1,3),又圆的半径r=|AC|=J29,所以所求圆的方程为(x1)2+(y+3)2=29.答案：(x-1)2+(y+3)2=29探究二待定系数法求圆的标准方程1 .待定系数法求圆的标准方程，需求出圆心和半径，即列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r.一般步骤如下：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根据已知条件，建立关于a,b,r的方程组；(3)解方程组，求出a,b,r,代入圆的方程中，求出圆的标准方程.2 .有时求圆的方程时，用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决.圆的常用几何性质如下：(1)圆心

4、在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d,半弦长m及半径r满足r2=d2+n2;(4)直径所对的圆周角是90。，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.【典型例题2】一个圆经过两点A(10,5),B(4,7),半径为10,求圆的方程.思路分析：本题考查了圆的标准方程的求解，可根据题目中的条件，利用待定系数法求解.解法一：设圆心为(a,b),则(a10)2(b5)2100,(a4)2(b7)2100.一整理得7ab15=0,即b=7a15.将代入得a2-6a+8=0,所以a 2,或a 4, b 13.故所求圆的方程为(x2)

5、2+(y+1)2=100或仅一4)2+(y13)2=100.1解法二：线段AB的中点坐标为(3,6),kAB=，7则线段AB的垂直平分线方程为y-6=7(x-3),即y=7x15.设圆心为(a,b),由于圆心在AB的垂直平分线上，所以b=7a15.又因为(a10)2+(b5)2=100,将代入可得a=2或a=4.(以下同解法一)【典型例题3】求下列圆的方程：(1)圆心在直线y=2x上，且与直线y=1x相切于点(2,1);(2)圆心C(3,0),且截直线y=x+1所得的弦长为4.(3)已知一个圆关于直线2x+3y6=0对称，且经过点A(3,2),B(1,4).思路分析：利用圆的标准方程，把条件转

6、化为关于圆心和半径的方程组来求解.解：(1)设圆心为(a,2a),半径为r,则圆的方程为(xa)2+(y+2a)2=r2.1,2a1(1)1,a2解得-.(a2)2(2a1)2,所以所求圆的方程为(x1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的半径为r,则圆的方程为(x3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d=I3匕1=2#，所以r=(2席24=273.J12所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=12.(3)AB的垂直平分线为y+1=0(x2),即x+3y+1=0.24因为圆心在弦AB的垂直平分线上，也在对称轴上，皿上2x则由xx 7, 3yy108即圆心为7, 8 ,所以半径为r=J(

7、7 3)23 22 二虐03409A(0,1) , B(2,1) , C(3,4) , D(1,2)四点，再验证第四个点是否在这个圆上，即(x - a)2 + (y b) 2= r2.a 1,b 3, r2 5.(x 1)2+ (y 3)2=5.(1 1)2+(2 -3)2=5.A, B, C, D四点在同一个圆上.2一，、28所以圆的方程为(x7)2+y83探究三点与圆的位置关系判断点P(x0,yo)与圆(xa)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种:(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，左端与r2比较.【典

8、型例题4】已知在平面直角坐标系中有这四点能否在同一个圆上，为什么？思路分析：先确定出过其中三点的一个圆的方程,可得出答案.解：设经过A,B,C三点的圆的标准方程为把A,B,C的坐标分别代入，得222a(b1)r,(a2)2(b1)2r2,解此方程组，得(a3)2(b4)2r2,所以，经过A,B,C三点的圆的标准方程是把点D的坐标(一1,2)代入上述圆的方程，得所以，点D在经过A,B,C三点的圆上，即探究四易错辨析易错点：因考虑问题不全面而致误【典型例题5】已知圆C的半径为2,且与y轴和直线4x3y=0者B相切，试求圆C的标准方程.错解：由题意可设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,又圆C与y轴相切，可知a=2,又圆C与4x3y=0相切，可知J423b=2解得b=6或b=2.,42(3)23一22.222所以圆C的标准万程为(x-2)+(y6)=4或仅一2)+y-=4.3错因分析：圆C与y轴相切意味着|a|=2,而不是a=2.正解：设圆C的标准方程为(xa)2+(yb)2=4,由题意可得|a|=2,即a=2.当a=2时，由圆